《matlab数学运算》PPT课件.ppt

Matlab仿真及其应用 主讲 陈孝敬E mail chenxj9 主要内容 矩阵运算 矩阵元素运算 第3章数学运算 3 1矩阵运算 3 1 1矩阵分析 1 向量范式定义 向量的3种常用范数及其计算函数在MATLAB中 求向量范数的函数为 1 norm V 或norm V 2 计算向量V的2 范数 2 norm V 1 计算向量V的1 范数 3 norm V inf 计算向量V的 范数 例3 1求向量x 1 2 3 4 5 和y 3 0 5 2 2 间的距离x 1 2 3 4 5 y 3 0 5 2 2 norm x 1 1 范式norm x inf 范数norm x e x y norm e 2 矩阵的秩 矩阵中线性无关的列 行 向量个数 称为列 行 秩 Matlab中用函数rank 来计算矩阵的秩 例3 2求向量eye 4 magic 4 和A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的秩 rank eye 4 rank magic 4 rank A 3 矩阵的行列式 Matlab中用函数det 来计算矩阵的行列式 例3 3求向量eye 4 magic 4 和A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的行列式 det eye 4 det magic 4 det A 4 矩阵的行列迹 矩阵的迹定义为对角元素之和 Matlab中用函数trace 来计算矩阵的行列式 例3 4求向量eye 4 magic 4 和A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的行列式 trace eye 4 trace magic 4 trace A 5 矩阵化零矩阵 对于非满秩矩阵A 若存在矩阵Z使得AZ 0且ZZ I 则称矩阵Z为矩阵A的化零矩阵 Matlab中用函数null 来计算矩阵的化零矩阵 例3 5求矩阵A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的化零矩阵 Z null A 验证AZ 0的具体代码如下 AZ A Z验证ZTZ的具体代码如下 ZTZ Z Z 6 矩阵的正交空间 矩阵A的正交空间Q满足QTQ I 且矩阵Q与A具有相同的列基底 Matlab中用函数orth 来计算正交空间Q 例3 6求矩阵A1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 和A2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 的正交空间Q Q orth A1 R orth A2 7 矩阵的简化化梯形式 矩阵A的简化化梯形式为 其中为r阶单位矩阵 Matlab中用函数rref 来计算矩阵的简化梯形形式例3 7求矩阵A1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 和A2 1 2 3 1 1 5 7 8 9 10 11 12 的正交空间Q Q rref A1 R rref A2 9 矩阵空间之间的角度 矩阵空间之间的角度代表具有相同行数的两个矩阵线性相关程度 夹角越小代表线性相关度越高 Matlab中用函数subspace 来计算矩阵空间之间的角度 例3 9求矩阵A1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 和A2 1 2 3 1 1 5 7 8 9 10 11 12 的正交空间Q Q subspace A1 3 1 2线性方程组 Ax b有x A 1b 但实际上并不显式求A 1 例子 7x 21x 21 7 3如果求逆x 7 1 21 142857 21 2 99997这就需要一次除和一次乘 且精度更低 Backslash运算符 AX B X A B 左除 XA B X B A 右除 3 by 3的例子 线性方程组的解结构 齐次线性方程组的解结构非齐次线性方程组的解结构 1 齐次线性方程组的解结构 例3 10 判别方程组 有无非零解 若有 写出其通解 解在MATLAB中输入该方程组的系数矩阵A并将它化为最简行阶梯形矩阵 所用命令如下 A 12 1 252 147 133 rref A ans 10 9014000000 由阶梯形矩阵可知R A 2 3 所以齐次线性方程组有非零解 即有无穷多个解 该齐次线性方程组通解的参数形式为 其中k为任意实数 例3 11 用基础解系表示齐次线性方程组 的通解 解所用MATLAB命令及运行结果为 A 11111 3211 3 01226 5433 1 formatrat B null A r 求基础解系 B 115 2 2 6100010001 symsk1k2k3 定义符号参数 X k1 B 1 k2 B 2 k3 B 3 X k1 k2 5 k3 2 k1 2k2 6k3 k1 k2 k3 即 为方程组的通解 其中k1 k2 k3为任意实数 2 齐次线性方程组的解结构 例3 12 求解方程组 解在MATLAB中输入系数矩阵及常数列向量 并检验系数矩阵是否逆 所用命令及结果如下 A 211 312 1 10 b 33 1 det A 检验A是否可逆ans 2 系数矩阵行列式值等于2 是可逆的 则可以用矩阵相除来求解 X A bX 12 1 即是原方程组的解 3 1 2矩阵分解 矩阵分解 把矩阵分解成比较简单或对它性质比较熟悉的若干矩阵的乘积的形式 1 Cholesky分解 Cholesky分解是把对称正定矩阵表示成上三角矩阵的转置与其本身的乘积 即 A RTR 在Matlab中用函数chol来计算Cholesky分解例3 13求矩阵A pascal 4 的Cholesky分解 A pascal 4 R chol A RTR 2 LU分解 LU分解是将任意一个方正A分解成为一个交换下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积 A LU 在Matlab中用函数lu来计算LU分解例3 14求矩阵A 1 4 2 5 6 9 4 1 8 的LU分解 L1 U1 LU A L1 U1 3 奇异分解 奇异值分解就是将的矩阵A分解为U S V 其中U为的酉矩阵 V为的酉矩阵 S为 并可以表示如下 其中 r rank A Matlab中奇异值是有函数svd 实现的 用svd计算矩阵A 142 569 例3 15求矩阵A 142 569 的奇异分解 U S V SVD A 3 1 3矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值与特征向量在MATLAB中 计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig A 常用的调用格式有3种 1 E eig A 求矩阵A的全部特征值 构成向量E 2 V D eig A 求矩阵A的全部特征值 构成对角阵D 并求A的特征向量构成V的列向量 3 V D eig A nobalance 与第2种格式类似 但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量 而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量 例3 16求矩阵A 6 12 19 9 20 33 4 9 15 的特征值和特征向量 V D eig A 例3 17用求特征值的方法解方程 3x5 7x4 5x2 2x 18 0p 3 7 0 5 2 18 A compan p A的伴随矩阵x1 eig A 求A的特征值x2 roots p 直接求多项式p的零点 例3 18 求解方程组 解先用MATLAB函数null求出对应的齐次线性方程组的基础解系 再利用其系数矩阵的上 下三角阵求出方程组的一个特解 这样即可得到该方程组的通解 程序如下 A 11 3 1 3 1 34 15 9 8 b 140 formatrat C null A r 求基础解系 L U lu A A LU L为上三角阵 U为下三角阵 X0 U L b 用LU求出一个齐次方程的特解 symsk1k2 X k1 C 1 k2 C 2 X0 运行结果为 X0 00 8 153 5 X 3 2 k1 3 4 k2 3 2 k1 7 4 k2 k1 8 15 k2 3 5 即 为该非齐次方程组的通解 其中k1 k2为任意实数 3 2矩阵元素运算 矩阵运算主要是对矩阵里的每个元素进行运算 3 2 1三角函数 p48 例3 18计算矩阵A 6 12 19 9 20 33 4 9 15 每个元素的正弦 其中元素值的单位为弧度 Y sin A 3 2 2指数和对数函数 p48 49 例3 19计算矩阵A 6 12 19 9 20 33 4 9 15 每个元素的正指数和对数 其中元素值的单位为弧度 Y exp A Y1 log2 abs A 3 2 2截断和求余函数 p49 50 例3 21分别使用函数mod 和rem 对标量除法 5 2进行求余 rem 5 2 mod