初中数学动态几何问题

中考数学专题中考数学专题 动态几何问题动态几何问题 第一部分第一部分 真题精讲真题精讲 例 1 如图 在梯形中 梯形的高ABCDADBC 3AD 5DC 10BC 为 动点从点出发沿线段以每秒 2 个单位长度的速度向终点运动 动点同4MBBCCN 时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运动 设运动的时间为 秒 CCDDt D N CMB A 1 当时 求 的值 MNAB t 2 试探究 为何值时 为等腰三角形 tMNC 思路分析思路分析 1 本题作为密云卷压轴题 自然有一定难度 题目中出现了两个动点 很多本题作为密云卷压轴题 自然有一定难度 题目中出现了两个动点 很多 同学看到可能就会无从下手 但是解决动点问题 首先就是要找谁在动 谁没在动 通过同学看到可能就会无从下手 但是解决动点问题 首先就是要找谁在动 谁没在动 通过 分析动态条件和静态条件之间的关系求解 对于大多数题目来说 都有一个由动转静的瞬分析动态条件和静态条件之间的关系求解 对于大多数题目来说 都有一个由动转静的瞬 间 就本题而言 间 就本题而言 M N 是在动 意味着是在动 意味着 BM MC 以及以及 DN NC 都是变化的 但是我们发现 都是变化的 但是我们发现 和这些动态的条件密切相关的条件和这些动态的条件密切相关的条件 DC BC 长度都是给定的 而且动态条件之间也是有关系长度都是给定的 而且动态条件之间也是有关系 的 所以当题中设定的 所以当题中设定 MN AB 时 就变成了一个静止问题 由此 从这些条件出发 列出时 就变成了一个静止问题 由此 从这些条件出发 列出 方程 自然得出结果 方程 自然得出结果 解析解析 解 1 由题意知 当 运动到 秒时 如图 过作交于点 MNtDDEAB BCE 则四边形是平行四边形 ABED A BMC N E D ABDE ABMN 根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法 成功将 根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法 成功将 MNMN 放在三角形放在三角形DEMN 内 将动态问题转化成平行时候的静态问题 内 将动态问题转化成平行时候的静态问题 这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键 这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键 MCNC ECCD 解得 102 1035 tt 50 17 t 思路分析思路分析 2 2 第二问失分也是最严重的 很多同学看到等腰三角形 理所当然以为是第二问失分也是最严重的 很多同学看到等腰三角形 理所当然以为是 MN NCMN NC 即可 于是就漏掉了即可 于是就漏掉了 MN MC MC CNMN MC MC CN 这两种情况 在中考中如果在动态问题当中碰见这两种情况 在中考中如果在动态问题当中碰见 等腰三角形 一定不要忘记分类讨论的思想 两腰一底一个都不能少 具体分类以后 就等腰三角形 一定不要忘记分类讨论的思想 两腰一底一个都不能少 具体分类以后 就 成为了较为简单的解三角形问题 于是可以轻松求解成为了较为简单的解三角形问题 于是可以轻松求解 解析解析 2 分三种情况讨论 当时 如图 作交于 则有即 利用等腰三角 利用等腰三角MNNC NFBC BCF2MCFC 形底边高也是底边中线的性质 形底边高也是底边中线的性质 4 sin 5 DF C CD 3 cos 5 C 3 1022 5 t t 解得 25 8 t A BMC N F D 当时 如图 过作于 H MNMC MMHCD 则 2CNCH 3 2 102 5 tt 60 17 t A BMC N H D 当时 MCCN 则 102tt 10 3 t 综上所述 当 或时 为等腰三角形 25 8 t 60 17 10 3 MNC 例例 2 在 ABC 中 ACB 45 点 D 与点 B C 不重合 为射线 BC 上一动点 连接 AD 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 1 如果 AB AC 如图 且点 D 在线段 BC 上运动 试判断线段 CF 与 BD 之间的位置关 系 并证明你的结论 2 如果 AB AC 如图 且点 D 在线段 BC 上运动 1 中结论是否成立 为什么 3 若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P 设 AC 4 2 CD 求线段 CP 的长 用含的式子表示 3 BCxx 思路分析思路分析 1 本题和上题有所不同 上一题会给出一个条件使得动点静止 而本题并未本题和上题有所不同 上一题会给出一个条件使得动点静止 而本题并未 给出那个给出那个 静止点静止点 所以需要我们去分析由 所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中 什么条件是不运动产生的变化图形当中 什么条件是不 动的 由题我们发现 正方形中四条边的垂直关系是不动的 于是利用角度的互余关系进动的 由题我们发现 正方形中四条边的垂直关系是不动的 于是利用角度的互余关系进 行传递 就可以得解 行传递 就可以得解 解析解析 1 结论 CF 与 BD 位置关系是垂直 证明如下 AB AC ACB 45 ABC 45 由正方形 ADEF 得 AD AF DAF BAC 90 DAB FAC DAB FAC ACF ABD BCF ACB ACF 90 即 CF BD 思路分析思路分析 2 这一问是典型的从特殊到一般的问法 那么思路很简单 就是从一般中构这一问是典型的从特殊到一般的问法 那么思路很简单 就是从一般中构 筑一个特殊的条件就行 于是我们和上题一样找筑一个特殊的条件就行 于是我们和上题一样找 AC 的垂线 就可以变成第一问的条件 的垂线 就可以变成第一问的条件 然后一样求解 然后一样求解 2 CF BD 1 中结论成立 理由是 过点 A 作 AG AC 交 BC 于点 G AC AG 可证 GAD CAF ACF AGD 45 BCF ACB ACF 90 即 CF BD 思路分析思路分析 3 这一问有点棘手 这一问有点棘手 D 在在 BC 之间运动和它在之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不延长线上运动时的位置是不 一样的 所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是一样的 所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4 X 还是还是 4 X 分类讨论之后利 分类讨论之后利 用相似三角形的比例关系即可求出用相似三角形的比例关系即可求出 CP 3 过点 A 作 AQ BC 交 CB 的延长线于点 Q 点 D 在线段 BC 上运动时 BCA 45 可求出 AQ CQ 4 DQ 4 x 易证 AQD DCP CPCD DQAQ 44 CPx x 2 4 x CPx 点 D 在线段 BC 延长线上运动时 BCA 45 可求出 AQ CQ 4 DQ 4 x 过 A 作交 CB 延长线于点 G 则 CF BD ACAG ACFAGD AQD DCP CPCD DQAQ 44 CPx x G A B C D E F 2 4 x CPx 例例 3 已知如图 在梯形ABCD中 24ADBCADBC 点M是AD的中点 MBC 是等边三角形 1 求证 梯形ABCD是等腰梯形 2 动点P Q分别在线段BC和MC上运动 且60MPQ 保持不变 设 PCxMQy 求y与x的函数关系式 3 在 2 中 当y取最小值时 判断PQC 的形状 并说明理由 思路分析 1 本题有一点综合题的意味 但是对二次函数要求不算太高 重点还是在考本题有一点综合题的意味 但是对二次函数要求不算太高 重点还是在考 察几何方面 第一问纯静态问题 自不必说 只要证两边的三角形全等就可以了 第二问察几何方面 第一问纯静态问题 自不必说 只要证两边的三角形全等就可以了 第二问 和例和例 1 一样是双动点问题 所以就需要研究在一样是双动点问题 所以就需要研究在 P Q 运动过程中什么东西是不变的 题目给运动过程中什么东西是不变的 题目给 定定 MPQ 60 这个度数的意义在哪里 其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件 这个度数的意义在哪里 其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件 联系了起来联系了起来 因为最终求两条线段的关系因为最终求两条线段的关系 所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系 怎怎 么证相似三角形呢么证相似三角形呢 当然是利用角度咯当然是利用角度咯 于是就有了思路于是就有了思路 解析解析 1 证明 MBC 是等边三角形 60MBMCMBCMCB M是AD中点 AMMD ADBC 60AMBMBC 60DMCMCB AMBDMC ABDC 梯形ABCD是等腰梯形 2 解 在等边MBC 中 4MBMCBC 60MBCMCB 60MPQ 120BMPBPMBPMQPC 这个角度传递非常重要这个角度传递非常重要 大家要仔细揣大家要仔细揣 AD C B P M Q 60 摩摩 BMPQPC BMPCQP PCCQ BMBP PCxMQy 44BPxQCy 4 44 xy x 2 1 4 4 yxx 设元以后得出比例关系设元以后得出比例关系 轻松化成二次函数的样子轻松化成二次函数的样子 思路分析思路分析 2 第三问的条件又回归了当动点静止时的问题 由第二问所得的二次函数 第三问的条件又回归了当动点静止时的问题 由第二问所得的二次函数 很轻易就可以求出当很轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时取对称轴的值时 Y 有最小值 接下来就变成了有最小值 接下来就变成了 给定给定 PC 2 求 求 PQC 形状形状 的问题了 由已知的的问题了 由已知的 BC 4 自然看出 自然看出 P 是中点 于是问题轻松求解 是中点 于是问题轻松求解 3 解 PQC 为直角三角形 21 23 4 yx 当y取最小值时 2xPC P是BC的中点 MPBC 而60MPQ 30CPQ 90PQC 以上三类题目都是动点问题 这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件 例如以上三类题目都是动点问题 这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件 例如 某边相等 某角固定时 将动态问题化为静态问题去求解 如果没有特殊条件 那么就需某边相等 某角固定时 将动态问题化为静态问题去求解 如果没有特殊条件 那么就需 要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的 当动的不是点 而是一些具体的图形时 思要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的 当动的不是点 而是一些具体的图形时 思 路是不是一样呢路是不是一样呢 接下来我们看另外两道题接下来我们看另外两道题 例例 4 已知正方形中 为对角线上一点 过点作交于 ABCDEBDEEFBD BCF 连接 为中点 连接 DFGDFEG CG 1 直接写出线段与的数量关系 EGCG 2 将图 1 中绕点逆时针旋转 如图 2 所示 取中点 连接 BEF B45 DFGEG CG 你在 1 中得到的结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明 3 将图 1 中绕点旋转任意角度 如图 3 所示 再连接相应的线段 问 1 中BEF B 的结论是否仍然成立 不要求证明 图 3 图 2 图 1 F E A BC D A BC D E F G G F E D CB A 思路分析思路分析 1 这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题 从旋转这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题 从旋转 45 到旋转任意到旋转任意 角度 要求考生讨论其中的不动关系 第一问自不必说 两个共斜边的直角三角形的斜边角度 要求考生讨论其中的不动关系 第一问自不必说 两个共斜边的直角三角形的斜边 中线自然相等 第二问将中线自然相等 第二问将 BEF 旋转旋转 45 之后 很多考生就想不到思路了 事实上 本题之后 很多考生就想不到思路了 事实上 本题 的核心条件就是的核心条件就是 G 是中点 中点往往意味着一大票的全等关系 如何构建一对我们想要的是中点 中点往往意味着一大票的全等关系 如何构建一对我们想要的 全等三角形就成为了分析的关键所在 连接全等三角形就成为了分析的关键所在 连接 AG 之后 抛开其他条件 单看之后 抛开其他条件 单看 G 点所在的四点所在的四 边形边形 ADFE 我们会发现这是一个梯形 于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法 自然 我们会发现这是一个梯形 于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法 自然 想到过想到过 G 点做点做 AD EF 的垂线 于是两个全等的三角形出现了 的垂线 于是两个全等的三角形出现了 1 CGEG 2 1 中结论没有发生变化 即 CGEG 证明 连接 过点作于 与的延长线交于点 AGGMNAD MEFN 在与中 DAG DCG ADCDADGCDG DGDG DAGDCG AGCG 在与中 DMG FNG DGMFGN FGDGMDGNFG DMGFNG MGNG 在矩形中 AENMAMEN 在与中 Rt AMG Rt ENG AMEN MGNG AMGENG AGEG EGCG M N 图 2 A BC D E F G 思路分析思路分析 2 2 第三问纯粹送分 不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立 但第三问纯粹送分 不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立 但 是我们不应该止步于此 将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因 如果是我们不应该止步于此 将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因 如果 BEF BEF 任意任意 旋转 哪些量在变化 哪些量不变呢 如果题目要求证明 应该如何思考 建议有余力的旋转 哪些量在变化 哪些量不变呢 如果题目要求证明 应该如何思考 建议有余力的 同学自己研究一下 笔者在这里提供一个思路供参考 在同学自己研究一下 笔者在这里提供一个思路供参考 在 BEF BEF 的旋转过程中 始终不变的旋转过程中 始终不变 的依然是的依然是 G G 点是点是 FDFD 的中点 可以延长一倍的中点 可以延长一倍 EGEG 到到 H H 从而构造一个和 从而构造一个和 EFGEFG 全等的三角形 全等的三角形 利用利用 BE EFBE EF 这一条件将全等过渡 要想办法证明三角形这一条件将全等过渡 要想办法证明三角形 ECHECH 是一个等腰直角三角形 就需是一个等腰直角三角形 就需 要证明三角形要证明三角形 EBCEBC 和三角形和三角形 CGHCGH 全等 利用角度变换关系就可以得证了 全等 利用角度变换关系就可以得证了 3 1 中的结论仍然成立 G 图 3 F E A BC D 例例 5 5 已知正方形 ABCD 的边长为 6cm 点 E 是射线 BC 上的一个动点 连接 AE 交 射线 DC 于点 F 将 ABE 沿直线 AE 翻折 点 B 落在点 B 处 1 当 1 时 CF cm CE BE 2 当 2 时 求 sin DAB 的值 CE BE 3 当 x 时 点 C 与点 E 不重合 请写出 ABE 翻折后与正方形 ABCD 公共部 CE BE 分的面积 y 与 x 的关系式 只要写出结论 不要解题过程 C A D B 思路分析思路分析 动态问题未必只有点的平移 图形的旋转 翻折 就是轴对称 也是一大热动态问题未必只有点的平移 图形的旋转 翻折 就是轴对称 也是一大热 点 这一题是朝阳卷的压轴题 第一问给出比例为点 这一题是朝阳卷的压轴题 第一问给出比例为 1 第二问比例为 第二问比例为 2 第三问比例任意 第三问比例任意 所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目 同学们需要仔细把握翻折过程中哪些所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目 同学们需要仔细把握翻折过程中哪些 条件发生了变化 哪些条件没有发生变化 一般说来 翻折中 角 边都是不变的 所以条件发生了变化 哪些条件没有发生变化 一般说来 翻折中 角 边都是不变的 所以 轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系 所以要利用这些来获得线段之间的比例关系 轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系 所以要利用这些来获得线段之间的比例关系 尤其注意的是 本题中给定的比例都是有两重情况的 尤其注意的是 本题中给定的比例都是有两重情况的 E 在在 BC 上和上和 E 在延长线上都是可能在延长线上都是可能 的 所以需要大家分类讨论 不要遗漏 的 所以需要大家分类讨论 不要遗漏 解析解析 1 CF 6 cm 延长之后一眼看出 延长之后一眼看出 EAZY 2 如图 1 当点 E 在 BC 上时 延长 AB 交 DC 于点 M AB CF ABE FCE FC AB CE BE 2 CF 3 CE BE AB CF BAE F 又 BAE B AE B AE F MA MF 设 MA MF k 则 MC k 3 DM 9 k 在 Rt ADM 中 由勾股定理得 k2 9 k 2 62 解得 k MA DM 设元求解是这类题型中比较重要的 设元求解是这类题型中比较重要的 13 2 5 2 方法 方法 sin DAB 13 5 AM DM 如图 2 当点 E 在 BC 延长线上时 延长 AD 交 B E 于点 N 同 可得 NA NE 设 NA NE m 则 B N 12 m 在 Rt AB N 中 由勾股定理 得 m2 12 m 2 62 解得 m AN B N 15 2 9 2 sin DAB 5 3 AN NB 图 2 图 1 3 当点 E 在 BC 上时 y 18x x1 所求 所求 A B E 的面积即为的面积即为 ABE 的面积 再由相似表示出边长 的面积 再由相似表示出边长 当点 E 在 BC 延长线上时 y 18x18 x 总结总结 通过以上五道例题 我们研究了动态几何问题当中点动 线动 乃至整体图形通过以上五道例题 我们研究了动态几何问题当中点动 线动 乃至整体图形 动这么几种可能的方式 动态几何问题往往作为压轴题来出动这么几种可能的方式 动态几何问题往往作为压轴题来出 所以难度不言而喻所以难度不言而喻 但是希望但是希望 考生拿到题以后不要慌张考生拿到题以后不要慌张 因为无论是题目以哪种形态出现 始终把握的都是在变化过程中因为无论是题目以哪种形态出现 始终把握的都是在变化过程中 那些不变的量 只要条分缕析那些不变的量 只要条分缕析 一个个将条件抽出来一个个将条件抽出来 将大问题化成若干个小问题去解决将大问题化成若干个小问题去解决 就就 很轻松了很轻松了 为更好的帮助考生为更好的帮助考生 笔者总结这种问题的一般思路如下 笔者总结这种问题的一般思路如下 第一 仔细读题 分析给定条件中那些量是运动的 哪些量是不动的 针对运动的量 第一 仔细读题 分析给定条件中那些量是运动的 哪些量是不动的 针对运动的量 要分析它是如何运动的 运动过程是否需要分段考虑 分类讨论 针对不动的量 要分析要分析它是如何运动的 运动过程是否需要分段考虑 分类讨论 针对不动的量 要分析 它们和动量之间可能有什么关系 如何建立这种关系 它们和动量之间可能有什么关系 如何建立这种关系 第二 画出图形 进行分析 尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量第二 画出图形 进行分析 尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量 的关系 如果没有静止状态 通过比例 相等等关系建立变量间的函数关系来研究 的关系 如果没有静止状态 通过比例 相等等关系建立变量间的函数关系来研究 第三 做题过程中时刻注意分类讨论 不同的情况下题目是否有不同的表现 很多同学第三 做题过程中时刻注意分类讨论 不同的情况下题目是否有不同的表现 很多同学 丢分就丢在没有讨论 只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式 没有想到另外的方丢分就丢在没有讨论 只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式 没有想到另外的方 式 如本讲例式 如本讲例 5 5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况 是否能想到就成了关键 当中的比例关系意味着两种不一样的状况 是否能想到就成了关键 第二部分第二部分 发散思考发散思考 思考思考 1 1 已知 如图 1 射线射线 是它们的公垂线 点 分别 AMBNABDC 在 上运动 点与点不重合 点与点不重合 是边上的动AMBNDACBEAB 点 点与 不重合 在运动过程中始终保持 且EABECDE aABDEAD 1 求证 ADE BEC 2 如图 2 当点为边的中点时 求证 EABCDBCAD 3 设 请探究 的周长是否与值有关 若有关 请用含有的mAE BEC mm 代数式表示的周长 若无关 请说明理由 BEC 第 25 题 1 第 25 题 2 思路分析思路分析 本题动点较多 并且是以和的形式给出长度 思考较为不易 但是图中有多本题动点较多 并且是以和的形式给出长度 思考较为不易 但是图中有多 个直角三角形 所以很自然想到利用直角三角形的线段 角关系去分析 第三问计算周长 个直角三角形 所以很自然想到利用直角三角形的线段 角关系去分析 第三问计算周长 要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中 看是否为定值 如果是关于要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中 看是否为定值 如果是关于 M 的函数 那的函数 那 么就是有关 如果是一个定值 那么就无关 于是就可以得出结论了 么就是有关 如果是一个定值 那么就无关 于是就可以得出结论了 思考思考 2 ABC 是等边三角形 P 为平面内的一个动点 BP BA 若 PBC 180 0 且 PBC 平分线上的一点 D 满足 DB DA 1 当 BP 与 BA 重合时 如图 1 BPD 2 当 BP 在 ABC 的内部时 如图 2 求 BPD 的度数 3 当 BP 在 ABC 的外部时 请你直接写出 BPD 的度数 并画出相应的图形 思路分析思路分析 本题中 和动点本题中 和动点 P 相关的动量有相关的动量有 PBC 以及 以及 D 点的位置 但是不动的量就点的位置 但是不动的量就 是是 BD 是平分线并且是平分线并且 DB DA 从这几条出发 可以利用角度相等来找出相似 全等三角形 从这几条出发 可以利用角度相等来找出相似 全等三角形 事实上 事实上 P 点的轨迹就是以点的轨迹就是以 B 为圆心 为圆心 BA 为半径的一个圆 那为半径的一个圆 那 D 点是什么呢 留给大家思点是什么呢 留给大家思 考一下考一下 思考思考 3 如图 已知 四边形 ABCD 中 AD BC DC BC 已知 AB 5 BC 6 cosB 3 5 点 O 为 BC 边上的一个动点 连结 OD 以 O 为圆心 BO 为半径的 O 分别交边 AB 于点 P 交线段 OD 于点 M 交射线 BC 于点 N 连结 MN 1 当 BO AD 时 求 BP 的长 2 点 O 运动的过程中 是否存在 BP MN 的情况 若存在 请求出当 BO 为多长时 BP MN 若不存在 请说明理由 3 在点 O 运动的过程中 以点 C 为圆心 CN 为半径作 C 请直接写出当 C 存在时 A BC D O P M N A B C D 备用图 O 与 C 的位置关系 以及相应的 C 半径 CN 的取值范围 思路分析思路分析 这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题 在和圆有关这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题 在和圆有关 的问题当中 时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件 本题第一问的问题当中 时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件 本题第一问 比较简单 等腰梯形中的计算问题 第二问则需要用设元的方法表示出比较简单 等腰梯形中的计算问题 第二问则需要用设元的方法表示出 MN 和和 BP 从而讨 从而讨 论他们的数量关系 第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论 论他们的数量关系 第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论 思考思考 4 在ABCDA中 过点 C 作 CE CD 交 AD 于点 E 将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EF 如图 1 1 在图 1 中画图探究 当 P 为射线 CD 上任意一点 P1不与 C 重合 时 连结 EP1绕点 E 逆时针旋转90 得到线段 EC1 判断直线 FC1与直线 CD 的位置关系 并加以证明 当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时 连结 EP2 将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EC2 判断直线 C1C2与直线 CD 的位置关系 画出图形并直接写出你的结 论 2 若 AD 6 tanB 4 3 AE 1 在 的条件下 设 CP1 x S 11 PFCA y 求y与x之间的函 数关系式 并写出自变量x的取值范围 思路分析思路分析 本题是去年中考原题 虽不是压轴 但动点动线一起考出来 难倒了不少同本题是去年中考原题 虽不是压轴 但动点动线一起考出来 难倒了不少同 学 事实上就在于如何把握这个旋转学 事实上就在于如何把握这个旋转 90 的条件 旋转的条件 旋转 90 自然就是垂直关系 于是又出自然就是垂直关系 于是又出 现了一堆直角三角形 于是证角 证线就手到擒来了 第二问一样是利用平行关系建立函现了一堆直角三角形 于是证角 证线就手到擒来了 第二问一样是利用平行关系建立函 数式 但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想 漏掉了很多种情况 失分非常数式 但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想 漏掉了很多种情况 失分非常 可惜 建议大家仔细研究这道中考原题 按照上面总结的一般思路去拆分条件 步步为营可惜 建议大家仔细研究这道中考原题 按照上面总结的一般思路去拆分条件 步步为营 的去解答 的去解答 第三部分第三部分 思考题解析思考题解析 思考思考 1 解析解析 1 证明 ECDE 90DEC 90BECAED 又 90BA 90EDAAED EDABEC ADE BEC 2 证明 如图 过点作 交于点 EEFBC CDF 是的中点 容易证明 EAB 2 1 BCADEF 在中 DECRt CFDF CDEF 2 1 2 1 BCAD CD 2 1 CDBCAD 3 解 的周长 AED DEADAE ma maBE 设 则 xAD xaDE 即 90A 222 ADAEDE 2222 2xmxaxa a ma x 2 22 由 1 知 ADE BEC 的周长 的周长 BEC ADE BE AD ma a ma 2 22 a ma 2 第 25 题 的周长的周长 BEC ma a2 ADE a2 的周长与值无关 BEC m 思考思考 2 2 答案答案 解 1 BPD 30 2 如图 8 连结 CD 解一 点 D 在 PBC 的平分线上 1 2 ABC 是等边三角形 BA BC AC ACB 60 BP BA BP BC BD BD PBD CBD BPD 3 3 分 DB DA BC AC CD CD BCD ACD 1 3430 2 ACB BPD 30 解二 ABC 是等边三角形 BA BC AC DB DA CD 垂直平分 AB 1 3430 2 ACB BP BA BP BC 点 D 在 PBC 的平分线上 PBD 与 CBD 关于 BD 所在直线对称 BPD 3 BPD 30 3 BPD 30 或 150 图形见图 9 图 10 图 8 4 32 1D A B C P 图 9 或 D A BC P D A CB P 图 10