高数第八章作业答案

高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 一 选择题 1 函数 22 4 yx xy yxf 则 1 y x f值为 D A B C D 0 1 f1 xf 1 yf xyf 2 2 0 0 lim 3 x y 2 xy xy 的值为 B A 0 B 不存在 C 1 3 D 1 4 二 填空题 1 22 0 1 1 lim x y xy xy 1 2 22 0 1 lim x x y ye xy 2 3 22 lim x y xy xy 0 4 0 0 lim 1 1 x y xy xy 2 三 计算题 1 求函数 2 arcsinln 1 x zy y 的定义域 22 2 11 10 10 0 x yxy y y yy 2 用定义证明 220 0 lim0 x y xy xy 证明 对于任意0 要使得 22 22 222222 1 1 2 0 2 xy xyxy xy xyxyxy 只需要 22 2xy 的偏导数 解 333333 333 222222222 222 uy zyzux zxzux yxy xyz xyzxyzxyz 高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 3 求函数 22 22 22 0 0 0 xy xy f x yxy xy 的偏导数 解 33 33 2222 22 0 0 xy yx x yfx yfx y xyxy 00 0 0 0 0 0 0 0 0 limlim0 0 0 0 xy xx fxf x yff xx 2 4 求函数的二阶偏导数 442 zxyx y 解 3232 42 42 zz xxyyx y xy 2222 2222 22 122 122 4 zzzz xyyx xyx yy x xy 7 求函数 yz ux 的 223 22 uuu xx zxy 解 2 12 2 1 yzyz uu yz xyz yzx xx 2 11 3 22222 2 ln 2 ln yzyz yzyz u yxyz xxy x z u z yz xy zyz xx z xy 高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 第三节 全微分及其应用 一 选择题 1 函数 22 22 22 0 0 0 xy xy xyf x y xy 在点 0 0 处 C A 偏导数存在但不连续 B 连续但偏导数不存在 C 连续 偏导数存在但不可微 D 具有连续的偏导数 2 设为二元函数 则在点 zf x y 00 xy处下结论成立的是 C A 可微 全微分存在 可导 偏导数存在 B 可微可导连续 C 可微可导 可微连续 但偏导数存在却不一定连续 D 可导连续 但不一定可微 二 填空题 1 设函数 则 22x zexy dz xydydxye x 2 2 22 2 设函数 则 y zx 1 e dz edydx 二 计算题 1 求函数 y z x 的全微分 解 2 1 y dzdxdy xx 2 求函数 22 y z xy 的全微分 解 2 33 2222 22 zxyzx xy xyxy 2 33 2222 22 xyx dzdxdy xyxy 高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 3 求函数 22 arcsin z u xy 的全微分 解 22222 uxy x xyxyz 22222 222 2222222222222 1 1 uyz y xyxyz u z xyz xyyz dzdxdydz xyxyzxyxyzxyz 4 求函数的全微分 sin cos ux y 解 cos cos coscos cos sin duxyydxxy xydy 5 设 22 22 22 1 sin0 0 0 xyxy f x yxy xy 证明 1 存在 0 0 0 0 xy ff 2 f x y在 0 0 处可微 证明 1 00 0 0 0 0 0 0 limlim0 0 0 0 xy xx fxf ff xx 2 22 22222222000 000 1 sin 0 0 1 limlimlimsin0 xxx yyy xy xyf x yfxy xyxyxyxy 则 00 0 0 22 yxoyxfyxf 于是 f x y在 0 0 处可微 高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 第三节 多元复合函数的求导法则 一 选择题 1 函数 y z x 而 t 2 1 t x e ye 则 dz dt 为 D A B C t ee tttt ee t ee D tt ee 二 填空题 1 设具有二阶连续偏导数 vuf 22 xyyxfz z x 2 2 1 2yfxf 三 计算题 1 设 222 xyz uf x y ze 而 求 2 sinzxy u x 和 u y 解 222222 222 xyzxyz u exezx x iiisin y 222222 2 22 xyzxyz u eyez x y iiicos y 2 设 vuf具有二阶连续偏导数 2 sin zfxy yx 求 2z x y 解 12 2co z s fxfyx x ii 2 111221222 1 sin 2 1 sin coscos z ffxxffx yxf x y iiiiix 4 设具有二阶连续偏导数 vuf 2 y zfx y x 求二阶偏导数 2 2 z x 和 2z x y 解 12 2 2 uy ffxy xx ii 2 2 2 1112121222 22 222 22 11121222 243 111 2 2 24 4 2 uy ffxfffxxyfx x yxxxx uyyy ffffx yf xxxx iiiiiiii iii 高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 第五节 隐函数的求导公式 一 选择题 1 设 yxzzzxyyzyxx 都是由方程0 zyxf所确定的具有 连续偏导数的函数 則 y x z y x z A A B 1 C 1 z x f f D z y f f 2 设是由方程 zz x y f xaz ybz0 所定义的隐函数 其中 f u v 是 变量为的任意可微函数 则必有 B u v A 1 y z a x z b B 1 y z b x z a C 1 y z a x z b D 1 y z b x z a 二 填空题 1 设函数2sin 23 23xyzxy z 则 z x 3 1 三 计算题 1 设函数由方程 z x y zz F xy yx 0 所确定 证明 zz xyzx xy y 证明 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 x F y FFF y z FF y z FFF zyx 则 z y z x F F y z F F x z 代入等式成立 高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 2 设22xyzxyz 0 求 zz xy 解 两边同时对x和y求偏导 xyxyz xyzxz y z xyxyz xyzyz x z 3 设ln xz zy 求 zz xy 解 两边同时对x和y求偏导 2 zxy z y z zx z x z 4 设 求 222 0 1 xyz xyz dx dy dzdz 解 10 2220 dxyz dxdy dzxy dzdz dxdydyzx xyz dzdzdzxy 高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 第六节 微分法在几何上的应用 一 选择题 1 在曲线 2 3 xt yt zt 的所有切线中 与平面2xyz4 平行的切线 B A 只有一条 B 只有两条 C 至少有三条 D 不存在 二 填空题 1 过曲面上点处的切平面平行于 2 4zx 2 y0P221xyz 则点的 坐标为 P 1 1 2 三 计算题 1 求旋转抛物面在点 2 1 4 处的切平面及法线方程 22 1zxy 解 1 2 4 2 2 4 1 2 ny y z x x z 则切平面方程 0 4 1 2 2 4 zyx 法线方程 1 4 2 1 4 2 zyx 2 求椭球面 222 222 1 xyz abc 在点 000 xyz处的切平面方程和法线方程 解 2 2 2 222 a z F a y F a x F xxx 则切平面方程 1 2 0 2 0 2 0 c zz b yy a xx 法线方程 2 2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 z zzc y yyb x xxa 3 求曲线 2 1 1 tt xyz tt t在2t 处的切线方程和法平面方程 高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 解 2 1 1 1 22 ttz t ty t tx 则法平面方程 0 4 4 2 3 4 1 3 2 9 1 zyx 切线方程 4 4 4 1 2 3 9 1 3 2 z yx 4 求曲线 222 6 0 xyz xyz 在点 1 2 1 处的切线方程和法平面方程 解 2220 10 dyzx dydz xyz dxyz dxdx dydzdzxy dxdxdxyz 所以切向量为 1 0 1 则法平面方程 0 1 1 zx 切线方程 2 1 1 1 1 y zx 5 求曲面在 1 1 2 处的切平面方程和法线方程 2 zxy 2 解 1 2 2 2 2 4 1 2 ny y z x x z 则切平面方程 0 2 1 2 1 2 zyx 法线方程 1 2 2 1 2 1 zyx 6 求曲面上 222 1xyz 平行于平面20 xyz 的切平面方程 解 平面法向量为 2 1 1 曲面过的法向量 zyx 2 1 1 2 2 2 kzyxn 则 3 2 k 则切平面方程 0 3 2 2 3 2 2 1 3 2 2 1 zyx 高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 第七节 方向导数与梯度 一 选择题 1 设 f x y在点处可微 则 P x y f x y在点处沿着Px轴负向的方向导 数为 C A x f B y f C x f D y f 二 填空题 1 设函数 则 x yxyxyxf 2 2 1 1 grad f 1 4 2 已知 则 222 432 zyxzyxf 1 1 1 grad f 8 6 4 三 计算题 1 求函数 2 f x y zxy z 在点 1 1 2 处取得最大方向导数的方向 解 2 22 xyfxyzfzyf zyx 则最大方向导数的方向为 1 1 2 2 4 1 grad f 2 求函数uxyz 在点 5 1 2 处沿 5 1 2 到点 9 4 14 的方向的方向导数 解 13 12 cos 13 3 cos 13 4 cos 12 3 4 l xyuxzuyzu zyx 5 2 1 5 10 2 1 5 2 2 1 5 zyx uuu 则 13 98 13 12 5 13 3 10 13 4 2 2 1 5 l u 3 求函数在曲线 22 uxyz 232 xt ytzt 上点 1 1 1 处沿曲线在该点的 切线正方向 对应于t增大的方向 的方向导数 解 曲线切向量所以 3 2 1 2 tttztytx 1 t时 切线方向为 3 2 1 14 3 cos 14 2 cos 14 1 cos 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 zyx uuu 则 14 12 1 1 1 l u 高等数学 标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 第八节 多元函数的极值及其求法 一 选择题 1 设 f x y的全微分为dzxdxydy 则点 0为 D 0 A 不是 f x y的连续点 B 不是 f x y的极值点 C 是 f x y的极大值点 D 是 f x y的极小值点 二 填空题 1 函数 2 4 2 f x yxyxy 的驻点为 2 2 三 计算题 1 求函数的极值 2322 3334f x yx yyxy 解 0633 066 22 yyxfxxyf yx 66 66 66 1 1 1 1 2 0 0 0 xfyfyf y x y x y x y x yyxyxx 6 6 6 66 yCxByA 分四种情况讨论 极大值2 极小值 0 0 2 0 2 和 1 1 1 1 不是极值 2 求函数 22 2 x f x yexyy 的极值 解 则 0