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三个正数的算术 几何平均不等式 天马行空官方博客 类比基本不等式的形式 猜想对于3个正数a b c 可能有 天马行空官方博客 类比基本不等式的形式 猜想对于3个正数a b c 可能有 那么 当且仅当a b c时 等号成立 和的立方公式 立方和公式 定理如果 那么当且仅当a b c时 等号成立 若三个正数的积是一个常数 那么当且仅当这三个正数相等时 它们的和有最小值 若三个正数的和是一个常数 那么当且仅当这三个正数相等时 它们的积有最大值 n个正数的算术 几何平均不等式 例 求函数的最小值 下面解法是否正确 为什么 解法 由知 则当且仅当 解法2 由知 则 例 求函数的最小值 下面解法是否正确 为什么 例 求函数的最小值 解法 由知则 变式 C 8 例2如下图 把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形 再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子 问切去的正方形边长是多少时 才能使盒子的容积最大 a x 解 设切去的正方形边长为x 无盖方底盒子的容积为V 则 当且仅当即当时 不等式取等号 此时 取最大值 即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时 盒子的容积最大 练习 D 3 A 4B C 6D 非上述答案 B 9 D 小结 这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题 现在 我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法 这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容 应用定理时需注意 一正二定三相等 这三个条件缺一不可 不可直接利用定理时 要善于转化 这里关键是掌握好转化的条件 通过运用有关变形的具体方法 以达到化归的目的 作业 习题 第 页 第 题 思考题 已知 长方体的全面积为定值 试问这个长方体的长 宽 高各是多少时 它的体积最大 求出这个最大值 解 设长方体
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