北航数理统计-课件.ppt

第九讲假设检验 续 一 一致最优功效检验 一 单边假设检验 二 双边假设检验 二 一致最优功效无偏检验 一 一致最优功效检验 设统计模型为 考虑检验问题 对这个一般的假设检验问题给出最优检验的定 义如下 定义9 1 在检验问题 7 中 的检验 有 不等式 简记为UMPT 对所有的都成立 对复合假设检验而言 UMPT的存在性不 但与总体的分布有关 而且与所考虑的假设检 验问题有关 为了说明问题 我们先看下面两个 例子 例9 1 的简单样本 求检验问题 解 由例8 1可知 检验问题 水平为的最优功效检验具有拒绝域 或检验函数 它显然也 是检验问题 9 的水平为的检验 又由于 是检验问题 9 的水平为的MPT 所以对任意 给定的 有 都有 由此例可知对简单原假设对简单备择假设检 如果MPT不依赖于备择假设的参数 验问题 则 可适当扩大备择假设 并由MPT获得UMPT 这 扩大了N P引理的应用范围 例9 2 的简单样本 试证明检验问题 证明 反证法 假设所考虑检验问题的水平为 的UMPT是 有 则对任何水平为的检验 因此有 特别地 根据N P引理知具体 表示式为 此时MPT的功效为 由分布函数的非减性知 单调增函数 这与 9 矛盾 故结论成立 我们将N P引理应用这个例子 对检验问题 而对检验问题 这说明对检验问题 相应MPT的拒绝域与备择假设有关 因此一致 最优功效检验 UMPT 就不一定存在 那么在什 么情况下UMPT存在 若存在 如何来求 为 了方便我们将检验问题分成单边检验问题和双边 检验问题 双边检验问题 并分别进行讨论 一 单边假设检验 从例9 1可知 在有些情况下 关于单边假设检 验问题 存在 UMPT 但一般来说对单边检验问题 由于MPT 依赖于参数的备选值 所以UMPT可以不存在 那么在什么情况下UMPT存在及如何求呢 我们 有下面的判断定理 定理9 1 率 是单参数的并可表示为 函数 则对单边检验问题 1 其检验函数为 水平为的UMPT存在 10 其中常数和有下式确定 2 的增函数 注意 有关这个定理的详细证明可参看BickelP J MathematicalStatistics BasicIdeasandSelectedTopics 1 的确定方法可参看N P引理的注 如果定理中的是的严格单减函数 则 定理的结论同样成立 只需要将 10 中的不 等号改变方向 2 3 对假设检验问题 则定理8 1的结论全部成立 4 对假设检验问题 和假设检验问题 可以分别化为假设检验问题 同样可以使用定理8 1来求UMPT 和假设检验问题 例9 3 分布 设某种设备的寿命服从参数为的指数 即密度函数为 我们想知道这种类型的设备的平均寿命是否 大于 即所考虑假设检验问题为 现抽取个此类设备进行试验直到设备不能正 解 常工作为止 并记录其寿命分别为 样本的联合密度函数为 令 则假设检验问题变为 可改写为 这样 的拒绝域为 由定理9 1可知水平为的UMPT 单调增函数 连续随机变量 其中满足 因此只要求出的分布 就可确定常数 留 作课后习题 例9 4 设是来自正态总体 的简单样本 其中是未知参数 试求检验问 题 的水平为的UMPT 解 样本的联合密度函数为 11 即 这样 格单调增函数 所以有定理9 1对检验问题 11 而言 UMPT存在 由于是连续随机变量 水平为的UMPT的检验函数为 其中常数由下式确定 又由于当时 再由相互独立性可得 所以 得 故所求的检验问题的水平为的 UMPT的拒绝域为 二 双边假设检验 这里仅讨论假设检验问题 的UMPT的存在性及求法 至于另两类双边假设 检验问题留在后面讨论 定理9 2 率 是单参数的并可表示为 12 函数 则对双边检验问题 12 存在水平为 的UMPT 其检验函数为 其中四个常数由下式确定 二 一致最优功效无偏检验 对另外两类双边假设检验问题 和 即使样本的联合密度函数 或分布率 单参数 具 有定理9 1和定理9 2中的常见表达式 关于这两 类检验问题的UMPT也不存在 实际上例9 2早 已说明了这一事实 13 14 既然对上述两类检验问题不存在UMPT 哪 如何处理呢 象估计问题一样 自然是对检验提 出某种合适的要求 然后在满足这种特定要求的 较小的检验类中寻找最优的检验 其中一种简单 的要求就是所谓的无偏性 定义9 2 设是假设检验问题 的检验函数 若其功效函数满 足条件 显然 水平为的UMPT一定是无偏检验 定义9 3 在检验问题 中 若存在一个水平为的无偏检验 使得 对任一水平为的无偏检验 不等式 对所有的都成立 则称检验是水平 简记为UMPUT 对某些检验问题 虽然不存在UMPT 但存 在UMPUT 例如对上面提到的两类双边检验问 题 就存在UMPUT UMPUT存在性及如何构 造归结为如下两个定理 定理9 3 率 是单参数的并可表示为 函数 则对双边检验问题 14 和任一水平 存在UMPUT 其检验函数为 其中四个常数由下式确定 定理9 4 率 是单参数的并可表示为 函数 则对双边检验问题 13 和任一水平 存在UMPUT 其检验函数为 其中四个常数由下面两个式子确定 例9 5 设是来自正态总体的 简单样本 其中是未知参数 试求检验问题 的水平为的UMPUT 解 样本的联合密度函数为 这样 增函数 又由于 所以由 定理9 4知水平为的UMPUT存在 其检验函数 为 其中满足 所以由第一 式可得 由于被积函数是奇函数 将代入第二式可得 所以只有当 15 时上式才能成立 这样分布的对称性及 15 式可 即 故水平