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文档简介
第一节大数定律 大数定律依概率收敛定义及性质小结 大量随机试验中 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的废品率 一 大数定律 定理1 切比雪夫定理的特殊情况 切比雪夫 则对任意的 0 有 做前n个随机变量的算术平均 证 由切比雪夫不等式 上式中令 得 说明 二 依概率收敛定义及性质 定义 性质 请注意 问题 伯努利 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数 p是事件A发生的概率 是事件A发生的频率 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数 p是事件A在每次试验中发生的概率 则对于任意正数 0 有 定理2 贝努里大数定律 或 伯努利 证明 证毕 注 贝努里大数定律表明 当重复试验次数n充分大时 事件A发生的频率nA n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小 或 下面给出的独立同分布下的大数定律 不要求随机变量的方差存在 设随机变量序列X1 X2 相互独立 服从同一分布 具有数学期E Xi i 1 2 则对于任意正数 有 定理3 辛钦大数定律 辛钦大数定律 辛钦 请看演示 1 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径 注 2 伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 3 辛钦定理具有广泛的适用性 要估计某地区的平均亩产量 要收割某些有代表性块 例如n块地 计算其平均亩产量 则当n较大时 可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计 例在一个罐子中 装有10个编号为0 9的同样的球 从罐中有放回地抽取若干次 每次抽一个 并记下号码 问对序列 Xk 能否应用大数定律 即对任意的 0 解 诸Xk独立同分布 且期望存在 故能使用大数定律 三 小结 大数定律
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