数阶幻方的编排方法

精品文档 1欢迎下载 奇数阶幻方的编排方法奇数阶幻方的编排方法 简便易学的编排方法 一 九子排列法一 九子排列法 宋朝数学家杨辉在 续古摘奇算法 中 总结 洛书 幻方的编排方法时说 三阶幻方的编 排方法是 九子排列 上下对易 左右相更 四维挺出 这四个句子是什么意思呢 我们通过下面的一组图来加以理解 先画出一个 3 3 的 九宫格 并在第二列上 下方和第二行左 右边各添加一个虚线格子 把 1 9 这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上 然后上 下对调 左右交换 因为我 们是在格子上进行排列 就不必再进行 四维挺出 了 最后将虚线格子擦掉就可以了 利用这种方法我们就很容易得到幻方 一 中例 1 的图 A 但是这种方法有一定的局限性 只能编排三阶幻方 如果要编排 5 5 7 7 9 9 等奇数阶幻方又该怎么办呢 我们继续 看第二种方法 二 罗伯法二 罗伯法 请大家注意观察幻方 一 中例 1 的图 H 可以总结出下面的编排方法 1 在第一行正中央的方格子中填上 1 2 按斜上方向在 1 的右上角填入 2 但出上框了 这时要把 2 改填在 2 所在这一列的最下边 3 按斜上方向在 2 的右上角填入 3 又出右框了 把 3 改填在 3 所在这一行的最左边 上 图 1 4 按斜上方向在 3 的右上角填入 4 但与先填入的 1 重合了 这时就把 4 改填在 3 的下面 然后把 5 6 依次按斜上方向填入方格内 5 按斜上方向在 6 的右上角填入 7 但出框的右上角 这时就把 7 改填在 6 的下面 与重 合相同 重复上面的做法 把 8 9 依次填入方格中 这样就得到了图 2 与左边的图 H 完全相同 这种编排奇数阶幻方的方法叫 罗伯法 使用 罗伯法 时总是向右上的斜行方向进行编 排 编排过程中会出现五种情况 第一行正中央排什么数 排出上框怎么办 排 出右框怎么办 排重复了怎么办 排出右上角怎么办 为了便于记忆 我们把罗伯法概括成下面的的几句话 1 居上行正中央 依次斜排莫忘记 上出框时往下写 右出框时左边放 重叠就在下格填 右上出框一个样 精品文档 2欢迎下载 罗伯法不仅可以编排三阶幻方 而且可以编排任何奇数阶幻方 下图就是用罗伯法编排的五 阶幻方 请大家在方格子中跟着做一 二次 并逐行 逐列及对角线检验幻和是否正确 三 巴舍法三 巴舍法 下面以五阶幻方为例 再介绍一种奇数阶幻方的编排方法 步骤如下 先画出一个 5 5 五行五列 的方格 在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格 如下图 1 把 1 25 这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中 如上图 2 以 3 15 23 11 四个数为顶点 实际上就是五阶幻方的四个顶点 画出一个正方形 把正方形外面凸出的虚线方格中的数按 上移下 下移上 左移右 右移左 的方法 全 部平移 5 格到对应部分的方格中 擦掉虚线格子 就得到一个五阶幻方 见下图 这种编排幻方的方法叫 巴舍法 也叫平移补空法 它和 罗伯法 一样 也适用于一切 的奇数阶幻方的编排 需要提醒大家注意的是 在步骤 中 填写 1 25 这二十五个数时 可以从左向右上填写 也可以从右向左上填写 或者从上向右下填写 还可以从上向左下填写 其移动后的结果都是一 个五阶幻方 同学们可以自己动手试一试 另外 编排 n 阶幻方时 不一定非要从 1 开始 只要是这些数能构成等差数列就可以了 精品文档 3欢迎下载 练习练习 一定要完成的哦 一定要完成的哦 1 使用 罗伯法 将 4 12 编排一个三阶幻方 2 用 罗伯法 将 编成一个三阶幻方 2 1 3 1 3 2 4 1 4 3 6 1 12 1 12 5 12 7 3 使用 巴舍法 将 1 49 编排一个七阶幻方 双偶数阶幻方的编排方法双偶数阶幻方的编排方法 一 中心对称交换法一 中心对称交换法 例例 1 1 用 用 1 1 1616 这十六个数编排一个四阶幻方 四行四列 这十六个数编排一个四阶幻方 四行四列 分析与解答 用 1 至 16 编排一个四阶幻方 就是把 1 16 这十六个数填入四行四列的方格 内 使每行 每列 两条对角线上的四个数的和都相等 先计算这个相等的和是多少 也就是前面学过的幻和 1 2 3 15 16 4 34 再想办法将这十六个数排列成幻和是 34 的四阶幻方 先把 1 16 按顺序填入 4 4 的方格中 如下图 A 我们把图 A 称为四阶自然方阵 这时可以发现 两条对角线上的四个数的和都恰好是 34 其它每行 每列上四个数的和都不 是 34 因此 这两条对角线上的八个数都不动 作为四阶幻方两条对角线上的数 观察自然方阵 图 A 中的第一列和第四列 第一列上四个数的和是 1 5 9 13 28 比 34 少 6 第四列上四个数的和是 4 8 12 16 40 比 34 多 6 为了使第一列和第四列上四个数的和分别是 34 只要把这两列中 对角线以外的相应的数 即 5 和 8 9 与 12 相互交换就可以了 图 B 同样地 为使第二 三列上的四个数的和也是 34 只要把这两列中对角线以外的相应的数 即 2 与 3 14 与 15 相互交换就可以了 图 C 再观察上图 C 的第一 第四行 第一行上四个数的和是 1 3 2 4 10 比 34 少 24 第四行上四个数的和是 13 15 14 16 58 比 34 多 24 为了使第一行和第四行上四个数的和分别是 34 只要把这两 行中对角线以外的相应的数 即 2 和 14 3 与 15 相互交换就可以了 同样地 为使第二 三行上的四个数的和也是 34 只要把这两行中对角线以外的相应的数 即 8 与 12 5 与 9 相互交换就可以了 交换后的结果见图 D 这就是一个四阶幻方 这样编排太复杂了 能不能由四阶自然方阵直接得到四阶幻方 对比图 A 与图 D 可以发现 只要把图 A 中的 2 2 与 1515 3 与 14 5 与 12 8 与 9 互相交换 就 可以直接得到图 D 见下图 那么 2 与 15 3 与 14 5 与 12 8 与 9 是什么关系呢 不难看出 它们的位置是 对称 的 例如 2 在从上往下 从左往右数的第一行第二列 而 15 在从下往上 从右往左数的第一行第 二列 又如 9 在从上往下 从左往右数的第三行第一列 而 8 在从下往上 从右往左数的第三 精品文档 4欢迎下载 行第一列 我们把这样的两个数叫 中心对称数 也就是说只要把四阶自然方阵中对角线以外 的数作中心对称交换就可以直接得到四阶幻方 把这种编排双偶数阶幻方的办法叫 中心对称交中心对称交 换法换法 由例 1 可以看到 用 中心对称交换法 编排四阶幻方的主要步骤归纳如下 把 1 16 按顺序排成四阶自然方阵 四阶自然方阵中对角线上的八个数不动 作为四阶幻方两条对角线上的数 把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换 运用 中心对称交换法 不仅可以编排四阶幻方 而且可以编排任意的双偶数阶幻方 例例 2 2 用 用 1 1 6464 这六十四个数编排一个八阶幻方 八行八列 这六十四个数编排一个八阶幻方 八行八列 分析与解答 编排步骤如下 把 1 至 64 按顺序填入 8 8 的方格子中 排成八阶自然方阵 见左下图 把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵 左下图粗线条 每个四阶自然方阵分别画出对 角线 图中有颜色的数字 每个四阶自然方阵中对角线的数字都不动 把对角线以外的数字在八阶自然方阵中八阶自然方阵中进行中 心对称交换 这样就得到一个八阶幻方 见右下图 二 环形平移补空法二 环形平移补空法 例例 3 3 用 用 环形平移补空法环形平移补空法 编排一个八阶幻方 编排一个八阶幻方 分析与解答 编排步骤如下 画一个 8 8 的八阶幻方空格 下图 A 的中间实线部分 并在左右两端画出凸阶梯状虚 线方格 如图 A 所示 每向外一层上 下各减少一格 把 1 至 64 这六十四个数分成四组 即第一组 1 16 第二组 17 32 第三组 33 48 第四组 49 64 把第一组的十六个数从八阶幻方的第一行第八列开始 按顺时针方向依次排成环形 红色 第二组的十六个数从八阶幻方的第八行第四列开始 按逆时针方向依次排成环形 蓝色 第 三组的十六个数从八阶幻方的第一行与 1 相隔一格开始 按顺时针方向依次排成环形 深绿色 第四组的十六个数从八阶幻方的第八行第二列开始 按逆时针方向依次排成环形 浅绿 见 图 B 精品文档 5欢迎下载 把右边凸阶梯状虚线方格中的数分别向左平移 8 格到相应的八阶幻方中 去掉右边凸阶梯 状虚线格 图 C 把左边凸阶梯状虚线方格中的数分别向右平移 8 格到相应的八阶幻方中 去 掉左边凸阶梯状虚线格 这样就编成了一个八阶幻方 图 D 环形平移补空法可分为 画左 右阶梯状图 数字分组 环形填数 平移补 空 四个步骤 一般地 当编排任意 4k 阶幻方时 先画一个 4k 4k 且左 右有凸阶梯状虚线方格 再把 1 至 4k 2个自然数依次分成 4k 2 组 如 8 阶就分成 8 2 4 组 12 阶就分成 12 2 6 组 把第一 三 五 等组中的各数 从 4k 阶幻方的右上角开始 每次起点左移