《复变函数论》PPT课件.ppt

复变函数论 By王建Email wjmath 多媒体教学课件 复变函数的应用背景 世界著名数学家M Kline指出 19世纪最独特的创造是复变函数理论 象微积分的直接扩展统治了18世纪那样 该数学分支几乎统治了19世纪 它曾被称为这个世纪的数学享受 也曾作为抽象科学中最和谐的理论 4 应用于计算绕流问题中的压力 力矩 5 应用于计算渗流问题 例如 大坝 钻井的浸润曲线 6 应用于平面热传导问题 电 磁 场强度 例如 热炉中温度的计算 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算 从而解决机翼的造型 7 Laurent级数应用于数字信号处理 8 积分变换也是复变函数的重要应用 9 Laplace变换可以求解微积分方程 积分变换的理论需要复变函数的留数等理论 利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换 10 Laplace变换应用于控制问题 在控制问题中 传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比 11 Fourier变换应用于频谱分析 12 Fourier变换应用于信号处理 频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数 对各次谐波的频率 振幅 相位之间的关系进行分析 随着计算机的发展 语音 图象作为信号 在频率域中的处理要方便得多 第一讲 2011年2月22日 第一章复数与复变函数 第一节复数 第二节复平面上的点集 第三节复变函数 第四节复球面与无穷远点 第一节复数 1 复数域2 复平面3 复数的模与辅角4 复数的乘幂与方根5 共轭复数6 复数在几何上的应用举例 1 复数域 称非空集合F为域 如果F关于加法 和乘法 运算满足 i F关于加法 成交换群 ii F 0 关于乘法 也成交换群 iii F关于加法 和乘法 成立分配律 即 b c b c例如有理数全体Q和实数全体R都是域 1 域的概念 2 复数域概念 复数 1835年 Hamilton给出如下定义 具有z x iy的形状 其中x和y是实数 i是虚数单位 i2 1 x和y分别称为z的实部和虚部 分别记作 相等 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2当且仅当x1 x2且y1 y2 复数是实数的推广 若Imz 0 则z是一个实数 特别0 0 i0 虚数 若Imz 0 那么称z为一个虚数 纯虚数 若Imz 0 而Rez 0 则称z为一个纯虚数 3 复数的四则运算 复数的四则运算定义为 复数在四则运算这个代数结构下 构成一个复数域 对加 减 乘 除运算封闭 零元0 单位元1 记为C 复数域可以看成实数域的扩张 2 复平面 复数域C也可以理解成平面R2 我们称C为复平面 作映射 则在复数集C与平面R2之建立了一个1 1对应 双射 平面上横坐标轴我们称为实轴 纵坐标轴称为虚轴 复平面一般称为z 平面 w 平面等 3 复数的模与辐角 既然复数域C可以理解成平面R2 复数z x iy可以看成平面中的向量 x y 所以也能借助于极坐标来确定 实际上复数可以等同于平面中的向量等价类 在平移关系下 2 非零复数z与实轴之间的夹角为其辐角 定义为 1 向量的长度称为复数的模 定义为 3 辐角主值的定义 注 z 0时 辐角无意义 z在第一 四象限argz arctany x z在第二象限argz arctany x z在第三象限argz arctany x 第一 四象限 第二象限 第三象限 虚轴正向 虚轴负向 5 复数的三角表示 非零复数的三角形式 利用直角坐标与极坐标的关系 指数形式 利用 数学分析 中我们讲幂级数时介绍的欧拉公式 则z r cos isin rei z eiArgz 指数形式 z x iy rcos irsin r cos isin z cosArgz isinArgz 三角表示 利用复数的三角形式和指数形式 我们可以更简单的表示复数的乘法与除法 设 由级数的乘法运算得到复变量指数函数的性质 特殊地 有 则有 同理 对除法 也有 其中后一个式子也应理解为集合相等 6 乘法 除法的几何意义 两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 7 复数加减法的几何表示 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致 设z1 z2是两个复数 8 基本不等式 关于两个复数的和与差的模 有以下不等式 4 复数的乘幂与方根 1 复数的乘幂 非零复数z的正整数次幂zn利用复数的三角表示以及指数表示 我们也可以考虑复数的乘幂 2 复数的方根 二项式方程wn z的根的全体 n为大于2的整数 不同的值只有n个 比如取k 0 1 2 n 1时 可得n个不同的值 其余的依次n个数循环前n个不同的值 即z有n个n次方根 其模相同 相邻辐角相差一个常数2 n 均匀分布于一个圆上 事实上 这n个不同的值可由w0 依次绕原点旋转 z n w1 w2 w3 w4 w5 w0 注 复数的乘幂可以推广到有理数的情形 注 求方根图示 2 求z的主辐角 1 在平面上作出复数z 解 由于 所以有 有四个根 例1求所有值 5 共轭复数 复数的共轭定义为 例2设z1 z2是两个复数 证明 例3设z1 z2是两个复数 求证 6 复数在几何上的应用举例 1 曲线的复数方程 解 设z在z1与z2的连线上 则 例5作出过复平面C上过不共线三点a b c的圆的表示式 注意到圆内接四边形的对角和为 并且任何一个外角都等于它的内对角 解 其中 a b c d是实常数 解 利用 例6试用复数表示圆的方程 例7证明三角形内角和等于 2 利用复数证明几何问题 证明 设三角形三个顶点分别为 对应的三个角分别为 于是 于是 所以 由于 同理可证 7 复球面与无穷大 在三维空间 x y u 中把xOy面看作是z平面 考虑单位球面S 取定球面上一点N 0 0 1 称为球极 我们可以建立一个复平面C到S N 之间的一个1 1对应 球极射影 我们称上面的映射为球极射影 x y 0 x y u 0 0 1 三点共线 x y 1 x y u 1 8 无穷远点 对应于球极射影为N 我们引入一个新的非正常复数 称为无穷远点 称C 为扩充 复平面 记为C 注 关于无穷