概率论与数理统计4(第2章).ppt

概率论与数理统计 交通学院曹建波 温故 第一章小结六个概念 随机试验 事件 概率 条件概率 独立性四个公式 加法公式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式一个概型 古典概型 第一节随机变量第二节离散型随机变量及其分布律第三节随机变量的分布函数第四节连续型随机变量及其概率密度第五节随机变量的函数的分布 第二章随机变量及其分布 例将一枚硬币抛掷3次 如果感兴趣的是三次抛掷中出现H的总次数X 则对于每个结果 都有一个X的值与之对应 即结果HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110例X表示乘客在地铁站的候车时间 X可能的取值区间 0 5 单位 分钟 事件 候车时间不超过2分钟 可表示为 第一节随机变量 定义随机试验的结果可以用一个实值变量表示 这个变量的取值是随机的 但又服从一定的统计规律性 这种变量称为随机变量 通常用X Y Z表示 中心问题 将试验结果数量化随机变量分为离散型和连续型 离散型 X的取值是有限个或可列无限个 连续型 X的取值是连续的 X f e 为S上的单值函数 X为实数 第二节离散型随机变量及其分布律 称为离散型随机变量X的分布律 分布律可用列表的方式直观的表示出来 X 分布律 概率分布 举例 例将一枚硬币抛掷3次 X出现正面H的次数 则对于每个结果 都有一个X的值与之对应 即结果HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110注 例 某人骑自行车从学校到火车站 一路上要经过3个独立的交通灯 设各灯工作独立 且设各灯为红灯的概率为p 0 p 1 以X表示首次停车时所通过的交通灯数 求X的概率分布律 解 设Ai 第i个灯为红灯 则P Ai p i 1 2 3且A1 A2 A3相互独立 举例 例 从生产线上随机抽产品进行检测 设产品的次品率为p 0 p 1 若查到一只次品就得停机检修 设停机时已检测到X只产品 试写出X的概率分布律 解 设Ai 第i次抽到正品 i 1 2 则A1 A2 相互独立 举例 1 两点分布 又称为 0 1 分布 0 1 分布的分布律为也可以写为对随机实验 若样本空间只包括两个元素 即 则一定能在S上定义一个服从 0 1 分布的随机变量 令例抛硬币一次 定义随机变量X为出现正面的次数 则 三种重要的离散型随机变量 2 二项分布 随机试验E只有两个可能结果 A和 则称E为伯努利试验 设P A p 0 p 1 则将伯努利试验独立地重复进行n次 称为n重伯努利试验 X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数 X所有可能取值k 0 1 2 n 求P X k P X k 记q 1 p 随机变量X服从参数为n p的二项分布 记为当n 1时 即为 0 1 分布 例 某人骑了自行车从学校到火车站 一路上要经过3个独立的交通灯 设各灯工作独立 且设各灯为红灯的概率为p 0 p 1 以Y表示一路上遇到红灯的次数 1 求Y的概率分布律 2 求恰好遇到2次红灯的概率 解 这是三重贝努利试验 举例 例 某人独立射击n次 设每次命中率为p 0 p 1 设命中X次 1 求X的概率分布律 2 求至少有一次命中的概率 解 这是n重伯努利试验 同时可知 上式的意义为 若p较小 p 0 只要n充分大 至少有一次命中的概率很大 即 小概率事件 在大量试验中 至少有一次发生 几乎是必然的 举例 例 有一大批产品 其验收方案如下 先作第一次检验 从中任取10件 经检验无次品接受这批产品 次品数大于2拒收 否则作第二次检验 从中任取5件 仅当5件中无次品便接受这批产品 设产品的次品率为p 求这批产品能被接受的概率L p L P P A 解 设X为第一次抽得的次品数 Y为第2次抽得的次品数 则X b 10 p Y b 5 p 且 X i 与 Y j 独立 A 接受该批 举例 若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为 的泊松分布 记 3 泊松分布 Poisson分布 Poisson定理设是一个常数 n是任意正整数 设 则对于任一固定的非负整数k 有 当时近似公式近似效果更佳 例 设某汽车停靠站候车人数 1 求至少有两人候车的概率 2