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高一数学必修一复习 集合结构图 集合 集合含义与表示 集合间关系 集合基本运算 列举法 描述法 图示法 子集 真子集 补集 并集 交集 1 确定性 集合中的元素必须是确定的 1 集合中元素的性质 2 互异性 一个给定的集合中的元素是互不相同的 3 无序性 集合中的元素是没有先后顺序的 自然数集 非负整数集 记作N 正整数集 记作N 或N 整数集 记作Z 有理数集 记作Q 实数集 记作R 2 常用的数集及其记法 含0 不含0 ex1 集合A 1 0 x 且x2 A 则x 1 子集 A B 任意x A x B 真子集 A B x A x B 但存在x0 B且x0 A 集合相等 A B A B且B A 空集 性质 A 若A非空 则 A A A A B B C A C 3 集合间的关系 子集 真子集个数 一般地 集合A含有n个元素 A的非空真子集个 则A的子集共有个 A的真子集共有个 A的非空子集个 2n 2n 1 2n 1 2n 2 4 并集 5 交集 6 全集 一般地 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素 那么就称这个集合为全集 7 补集 类比并集的相关性质 并集的性质 交集的性质 练习 1 集合A 1 0 x 且x2 A 则x 3 满足 1 2 A 1 2 3 4 的集合A的个数有个 1 B 3 变式 4 集合S M N P如图所示 则图中阴影部分所表示的集合是 A M N P B M CS N P C M CS N P D M CS N P D 总结 例已知集合A x 2 x 5 集合B x m 1 x 2m 1 若 求m的取值范围 已知B和A是一个连续的数集 且A是一个已知的数集 B是一个带有参数的数集 设集合A x 1 x 2 B x x a 若A B 则a的取值范围是A a 2B a 2C a 1D 1 a 2 由图看出a 1 思考 1 改A 1 2 2 改A x x2 x 2 0 3 改A x 0 4 改A B 5 改A B A 6 改B x 1 x a a 1 a 2 当a 1时B 不满足题意 当a 1时 B 1 a 满足题意 故a 1 已知集合A a 二次方程x2 2x a 0有实根 a R B a 二次方程ax2 x 2 0无实根 a R 求A B A B 解 由x2 2x a 0有实根 0 即4 4a 0 a 1 A 1 由ax2 x 2 0无实根 0 即1 8a 0 A B R 故A B 5 设 其中 如果 求实数a的取值范围 此时方程无根 0 方程有两个相等的根x1 x2 a 方程有两个相等的根x1 x2 a 方程有两个不相等的根x1 x2 a 当集合A B是一个二次函数的的根组成的集合 其中集合A a b 是一个已知的集合 B是一个带有参数m二次函数的根组成的集合 求m的值此时对B进行以下四种情况进行讨论 知识结构 概念 三要素 图象 性质 指数函数 应用 大小比较 方程解的个数 不等式的解 实际应用 对数函数 函数的概念 函数的三要素 定义域 值域 对应法则 A B是两个非空的集合 如果按照某种对应法则f 对于集合A中的每一个元素x 在集合B中都有唯一的元素y和它对应 这样的对应叫做从A到B的一个函数 函数的定义域 使函数有意义的x的取值范围 求定义域的主要依据 1 分式的分母不为零 2 偶次方根的被开方数不小于零 3 零次幂的底数不为零 4 对数函数的真数大于零 5 指 对数函数的底数大于零且不为1 6 实际问题中函数的定义域 例1求函数的定义域 例2 抽象函数的定义域 指自变量x的范围 求函数解析式的方法 待定系数法 换元法 配凑法 1 已知求f x 2 已知f x 是一次函数 且f f x 4x 3求f x 3 已知求f x 求值域的一些方法 1 图像法 2 配方法 3 逆求法 4 分离常数法 5 换元法 6单调性法 a b c d 求函数值域的方法 主要问题及方法 1 已知函数f x x 2 x 1 x2 1 x 2 2x x 2 若f x 3 则x的值是 A 1 B 1或 C 1 D D 一个函数的三要素为 定义域 对应关系和值域 值域是由对应法则和定义域决定的 判断两个函数相等的方法 1 定义域是否相等 定义域不同的函数 不是相等的函数 2 对应法则是否一致 对应关系不同 两个函数也不同 例 下列函数中哪个与函数y x相等 反比例函数 1 定义域 2 值域 3 图象 k 0 k 0 二次函数 1 定义域 2 值域 3 图象 a 0 a 0 指数函数 1 定义域 2 值域 3 图象 a 1 0 a 1 R y x o 1 y x o 1 对数函数 1 定义域 2 值域 3 图象 a 1 0 a 1 R 1 1 在同一平面直角坐标系内作出幂函数y x y x2 y x3 y x1 2 y x 1的图象 函数的性质 单调性 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间D上是增函数 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间D上是减函数 3 定义法 证明函数单调性的步骤 简单函数的单调性 1 一次函数y kx b2 二次函数y ax 2 bx c3 反比例函数y k x4 指数函数y a x5 对数函数y logax6 幂函数y x a 证明 设x1 x2 0 且x1 x2 则 f x 在定义域上是减函数吗 减函数 例1 判断函数f x 1 x在区间 0 上是增函数还是减函数 并证明你的结论 若二次函数在区间上单调递增 求a的取值范围 解 二次函数的对称轴为 由图象可知只要 即即可 练习 已知函数y x2 x 1 作出函数的草图 2 写出函数的单调区间 由图知 此函数的单调递增区间为 单调递减区间为 单调性 当a 1时 f x ag x 的单调性与g x 相同 当0 a 1时 f x ag x 的单调性与g x 相反 A 解 设 则 对任意的 有 又 是减函数 在是减函数 同理在是增函数 函数的单调区间 并证明 单调性 当a 1时 f x logag x 的单调性与g x 相同 当0 a 1时 f x logag x 的单调性与g x 相反 D 总结 y logag x 的单调性1 先求定义域2 求出g x 在定义域内的单调性3 再求出y logag x 的单调性 单调性的应用 抽象函数的单调性 重要思想 拆项配凑 一 函数的奇偶性定义 前提条件 定义域关于数 0 对称 1 奇函数f x f x 或f x f x 0 2 偶函数f x f x 或f x f x 0 二 奇函数 偶函数的图象特点 1 奇函数的图象关于原点成中心对称图形 2 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形 奇函数里的定值 如果奇函数y f x 的定义域内有0 则f 0 0 如果函数的定义域不关于原点对称 则此函数既不是奇函数 又不是偶函数 奇函数关于原点对称的两个区间上的单调性一致 偶函数则相反 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 确定f x 与f x 的关系 作出相应结论 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是偶函数 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是奇函数 例4已知函数f x m 1 x2 2mx 3是偶函数 求函数的解析式 例5函数 是定义在 1 1 上的奇函数 且 求函数的解析式 三 利用奇偶性求解析式 例6设f x ax5 bx3 5 其中a b为常数 x是任意实数 若f 2 6 则f 2 三 利用奇偶性求解析式 例3已知函数f x 是定义在 上的奇函数 当x 0 时 f x x2 2x 3 则当x 0 时 f x 5已知定义在 4 4 上的奇函数f x 为减函数 且f 1 2a f a 0 求实数a的取值范围 已知f x 是奇函数 当x 0时 f x x2 2x 求当x 0时 f x 的解析式 并画出此函数f x 的图象 解 f x 是奇函数 f x f x 即f x f x 当x 0时 f x x2 2x 当x 0时 f x f x x 2 2 x x2 2x 函数f x 为定义在R上的奇函数 在 0 上单调递增 且f 3 0 则不等式f x 0的解集为 3 3 提示 可以描绘大致图形如右 3 0 3 例1判断函数的奇偶性 变 若函数为奇函数 求a 例2若f x 在R上是奇函数 当x 0 时为增函数 且f 1 0 则不等式f x 0的解集为 例3若f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且在 1 1 是单调增函数 求不等式f x 1 f 2x 0的解集 抽象函数的奇偶性 1 已知函数f x 的定义域是x 0的一切实数 对定义域内的任意x1 x2都f x1 x2 f x1 f x2 求证 f x 是偶函数 已知函数f x x2 2x 3 作出下列函数的图象 1 y f x 2 y f x 3 y f x 图象的变换 最值 几何意义 最值 几何意义 函数的最值与值域 单调性之间的关系 若函数在闭区间 a b 上是减函数 则f x 在 a b 上的最大值是 最小值是 其值域是 若函数在闭区间 a b 上是增函数 则f x 在 a b 上的最大值是 最小值是 其值域是 f a f a f b f b 函数在某个区间上具有单调性 该函数的最值在端点处取得 f b f a f a f b 解 设x1 x2是区间 2 6 上的任意两个实数 且x1 x2 则 f x1 f x2 2 x2 x1 6 x2 x1 0 x1 1 x2 1 0 于是f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 因此函数在时取得最大值 最大值是 在时取得最小值 最小值是 x 2 2 x 6 0 4 例题 利用单调性求最值 例题 例3 求函数y x 1 x 2 的最大值和最小值 解 作出函数的图象 由图可知 y 3 3 所以函数的最大值为3 最小值为 3 利用图象求最值 例题 例4 求函数的最大值及最小值 令u x x 2 则u 0 u 0 y 0 即ymin 0 函数的最大值为 最小值为0 配方法求函数最值 解 函数的定义域为 1 2 例5 求f x x 2ax 1在区间 0 2 上的最大 小值 例题 提示 求出函数的对称轴x a 就a与区间 0 2 的关系进行讨论 可分对称轴在区间左边 中间 右边几种位置关系来考虑 注意数形结合 借助图象帮助解题 基本初等函数 ar as ar s a 0 r s Q ar s ars a 0 r s Q ab r arbr a 0 b 0 r Q 指数幂的运算 7 18 1 对数的运算性质 2 3 如果a 0 a 1 M 0 N 0有 指数函数与对数函数 在R上是增函数 在R上是减函数 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 1 0 0 1 单调性相同 指数函数与对数函数 B 总结 在第一象限 越靠近y轴 底数就越大 指数函数与对数函数 若图象C1 C2 C3 C4对应y logax y logbx y logcx y logdx 则 A 0 a b 1 c dB 0 b a 1 d cC 0 d c 1 b aD 0 c d 1 a b D 规律 在x轴上方图象自左向右底数越来越大 1 16 1 指数函数与对数函数 分类讨论 指数函数与对数函数 奇偶性 奇函数 单调性 减函数分离常数法 求值域的方法 指数函数与对数函数 指数函数与对数函数 三 幂函数的性质 所有的幂函数在 0 都有定义 并且函数图象都通过点 1 1 幂函数的定义域 奇偶性 单调性 因函数式中 的不同而各异 如果 0 则幂函数在 0 上为减函数 3 如果 0 则幂函数在 0 上为增函数 2 当 为奇数时 幂函数为奇函数 当 为偶数时 幂函数为偶函数 1 图象都过 0 0 点和 1 1 点 2 在第一象限内 函数值随x的增大而增大 即在 0 上是增函数 1 图象都过 1 1 点 2 在第一象限内 函数值随x的增大而减小 即在 0 上是减函数 3 在第一象限 图象向上与y轴无限接近 向右与x轴无限接近 图象又如何 试写出函数的定义域 并指出其奇偶性 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 若f x 是单调