组合思想及数学组合化猜想.ppt

毛林繁 中国科学院数学与系统科学研究院 北京100080 maolinfan 二OO六年八月 天津南开大学 组合思想及数学组合化猜想 axXiv GM 0606702 摘要 组合学在二十世纪得到了突飞猛进的发展 已经成长为处理客体之间关系的一种有效工具 作为数学工作者 一项更重要的任务是应用组合学解决其他数学或其他科学领域中的问题而不是单纯地研究客体间的组合结构 最近几年 国际数学界和物理学界一些研究人员在大范围地应用组合思想对经典数学进行组合重组 应用组合思想和爱因斯坦场方程建立新的宇宙模型 组合宇宙 探寻宇宙的创生 本报告拟就这一过程中的采用的组合思想作一个简单综述 同时对作者在2005年提出的数学组合化猜想做一个介绍 以期引起国内数学界 特别是组合学界的重视 一 组合学的地位及问题重要程度的判定 组合学在数学中的地位组合学研究的问题或是为解决某一个数学问题而提出组合手段或就是某一个图论或组合论问题的深化与繁衍 组合学是一类三流数学 对问题三个提问 1 研究什么 2 目标是什么 3 有什么用 数学问题重要程度判定第1级 对自然科学及人类认识自然有贡献 第2级 对整个数学发展有贡献 第3级 对某一个数学分支 如图论或组合论有贡献 二 组合的度量化与数学组合化猜想 科学认识的基础 度量度量是科学认识自然 建立数学模型进行数学模拟的基础 组合学的特点组合学是一门无度量的学科 组合学引入度量应用于其他学科Forapplyingcombinatoricstootherbranchofmathematics agoodideaispullbackmeasuresoncombinatorialobjectsagain ignoredbytheclassicalcombinatoricsandreconstructedormakethecombinatorialgeneralizationforclassicalmathematics suchas thoseofalgebra differentialgeometry Riemanngeometry Smarandachegeometries andthemechanics theoreticalphysics 摘自LinfanMao AutomorphismGroupsofMaps SurfacesandSmarandacheGeometriesAmericanResearchPress2005 公理化思想给定一门数学分支 公理化思想假定可以通过选择出有限条公理 经过逻辑推理而得到整个学科的所有结果 公理化思想的代表 Hilbert为初等几何建立的公理体系 主要学派 法国的布巴基学派 数学组合化猜想任何数学学科均可以组合化或进行组合重建 猜想释义 1 通过选择有限条组合规则及公设 任何一门数学学科均可以采用组合技巧进行组合重建 2 原学科是该学科组合化后的特例 3 组合化思想可以促成不同数学学科之间的组合 从而发现新的规律与结果 组合地图 曲面组合化的一个成功范例地图就是曲面的一种划分 使得沿着划分线将曲面剪开后得到的每个面块均同胚于2维圆盘 例子 完全图K4在环面上产生的地图 曲面分类定理每个曲面或者同胚于球面 或者同胚于球面上挖去2p个洞 每两个洞之间采用一根管子相连 或者同胚于在球面上挖去q个洞 每个洞的边界与麦比乌斯带的边界相粘合 前者的亏格定义为p 后者为q 曲面分类定理的代数表述 采用地图的观点 曲面分类定理对应的地图就是单点单面地图 地图是任意图G在曲面上的嵌入 地图是曲面的组合化或组合细化 经典数学问题的组合化 数学组合化猜想导致了组合学家对经典数学的一种组合重组的观点 在L F Mao AutomorphismGroupsofMaps SurfacesandSmarandacheGeometries一书最后一章例举了许多这类问题 三 组合思想对数学的贡献 代数组合化n 重代数系统 对任意给定的整数n 设集合Ai有运算集O Ai 且 Ai O Ai 为一个代数系统 1 i n 则称并集 A1 O A1 A2 O A2 An O An 为一个n 重代数系统 n 重群 m 重环 k 重向量空间 一个例子 n 重加法群 设n为一个正整数 取Z1 0 1 2 n 1 为通常模n加法群 P 0 1 2 n 1 为一个n 置换 对任意整数i 0 i n 1定义Zi 1 PiZ1 满足 若k l m 则Pi k iPi l Pi m 则并集Z1 Z2 Zn为一个有限的n 重群 几何组合化m 重度量空间 Smarandache几何 一个例子 地图几何地图几何首先出现在 L F Mao Onautomorphismsofmaps surfacesandSmarandachegeometries ScientiaMagna Vol 1 No 2 2005 地图几何顶点分类 3 维空间中的实现定理 有界与无界地图几何中均存在Smarandache几何 伪度量空间几何 在伪度量空间中取U W n 维流形Mn 则得到伪流形 Mn 定理 伪流形几何 一般地 Smarandache几何中包含Finsler几何 特别地 包含Riemann几何 几种几何的关系详见 L F Mao Smarandachemulti spacetheory Hexis America 2006 四 组合思想对理论物理的一些贡献 爱因斯坦的场方程 宇宙大爆炸模型 宇宙学原理当度量尺度为104l y时 宇宙中任何一点和一个点的任何方向无任何差别 标准宇宙模型 Friedmann模型 引申的数学问题 M 理论M 理论的出发点是假定粒子不是质点而是有p个方向的p 膜 1 膜称为弦 2 膜称为面膜 下图中给出了1 膜 2 膜在空间中的运动方式 M 理论对宇宙创生的描绘 组合宇宙文献Smarandachemulti spacetheory中给出的定义是代数几何中的层与重空间概念的组合 例如 M 理论中采用的宇宙模型就是一种最简单的组合宇宙 即在人类的可视宇宙外还存在高维宇宙并与人类的可视宇宙发生相互作用 如下图所示 5 维 6 维组合宇宙特别地 5 6 维组合宇宙均是在爱因斯坦场方程中寻求在Robertson Walker度规基础上增加一个或两个方向维x y的度规在不同条件下的解 进而研究宇宙动力学以及探寻宇宙的发展规律 这里 k表示人类的可视3 维宇宙空间的度规 k 1 0 1分别对应双曲 平坦和椭圆空间 宇宙学引申的组合问题经典力学以研究单体 即质点问题为主 采用图的术语就是K1的运动力学 多体问题虽有涉及 但进展不大 伴随着宇宙物理学的深入研究 需要解决以下组合问题 实际上 图的相空间动力学类似于经典物理学中的多体问题 但不完全等同 因为这里的空间维数 3 例如 给定一组n个逐一包含的球面 一个图G在其上存在嵌入的充分必要条件为 证明见L F Mao Smarandachemulti spacetheory Hexis America 2006 CallforPapers 受美国AmericaResearchPress的委托 下述数学 物理方面的论文可通过电子邮件发给我 结集在美国出版 1 与图论及组合论度量化相关或与数学组合化相关的论文 2 重空间理论 包括代数重空间 重度量空间 非