试论作图题的重要性

试论作图题的重要性在平面几何习题集中有一类习题，谓之平面几何作图习题，简称作图题，作图题的特点是利用没有刻度的尺子和学生规（即无特殊配置的圆规）将所求图形精确画出，这一作图的过程在数学界简称为尺规作图。有关尺规作图的习题与其它类型的习题相比，其占有量不算多，而在完成作业的过程中的繁杂手续却一点也不少：在画出图形之前要进行分析，分析的情形有的是开门见山，有的则是在假设图形已经作出的前提下才来进行的。在图形画出之后要进行证明，也只有进行了完整有效的证明，才能确定画出的图形是否正确。在这些工作全部结束之后，比较复杂一点的题目还要进行讨论，看看在什么条件下有这种作出的可能，且是否存在多解的现象等等。从上述作业流程可以看出，掌控此类尺规作图题的难度比较大，而折磨人的大难度往往会破坏学生在解题过程中应该享受的乐趣，也许由于作图题杵在了这一令人尴尬和不甚其烦的情势中，至令其芳容仿如披上一层漫妙的轻纱，有此高傲隔膜挡驾，当然更难于被人们亲近和爱怜，进而使得从事此域之研究的人也相应减少，甚或因此情的延漫而少有著书立说之新人，即算偶有资料触及此一樊篱，也如蜻蜓点水，似乎深究之即为画蛇添足。应该说此中除有不宁的心绪造成了一定的负作用之外，还必有有口难言之隐情，而我等则不能不自责于在此一题型方向没有投入多大工夫的事实，若究其原因，则大多理由指向此类题型在高考试卷中出现的概率极低，有时出则出之，考则考之，而在试卷整体得分的配比上则无足轻重（此本是出题者不得已之安排而不应该多有非议） ，但这情形着实也为将宝贵的时间挪作别用的安排者所弃之而不惜，有时教则教之，学则学之，画则画之，而确实没有用多少心思思之想之，或者说仅仅只是为了完成授业解惑的大纲的需要而在应付式地走走过场。这现象是一种不和谐的教与学，且势态有如面开卷席来势颇凶，其危害颇大，这是我们教育界不能容忍之大敌。似此等思想意识使然的危机，不能不引起老师们和同学们的广泛注意，事实上有很多有学之士也都在为作图题型被冷落的境遇而忧虑，且一筹莫展地在此一伤痛之中深深无奈。我们若想从思想上去除此弊病和陋习带来的烦恼，转而从现实中认识到作图题型的大作用，那么从现在起我们就要在舆论上开其先河正其视听，以达最后之受益的目的。是不是作图题在对学生知识量的获取果真无足轻重呢？对此我们的态度非然，因为作图题型作业的完成，其间的思考分析，动手操作，全面表述，画法证明及画法讨论等，这演练中涉汲的是集数学知识之大成，这努力中按下的是融会贯通各学科知识的快捷键。我们深切地感悟到如此唯实唯根的课堂，对学生学业水平的提高，严谨作风的形成，科学思维的训练，慎密心思的培养，实有其独到而无可替代的作用，显然此题型是一种不可等闲视之的综合题型，是一种不可不平等待之的有益题型。因此我们在对待此一问题上，要加大其呐喊的力度，要增加其宣传的效果。并殷切地希望这一宝贵的作图题型能正常地合理合法地加盟我们学生的学习内容。因此我要借此平台来作一动员。或许这有点愚痴的举措更能求取大家的理解和认可，但愿由此衷情的渗入而达到在此题型上人人能用心待之的目的。开篇千头万绪而其实还真不知从何处说起，首先还是就作图题的准备题型来作一综合的叙述，并希望从以下有点挖空心思或曰别出心裁的罗列之中，在人们浏览其内容成系列性推出的同时，能够从其中进一步认识到此题型的品质和内涵的不一般，继而能够认识到其地位的重要性。同时也希望能从另外一个侧面，譬如：学业的复习和梳理，知识的温故而知新，兴趣的培养和引导，技能的获取和提速，等方面来为我们学生学业的进步起到一点点协助的作用。一者、线段的相加和相减。此即为在直线、射线或线段上用尺规进行已知长度的线段的加取和减取的情形（此情形中包括这些线段的以整数系数为题的画出） ，其画出的过程是，先用圆规在相应的线型上，从其端点开始，依照已知条件的要求分别截点，最后的结果是取所截得的线段之总长或其中之一段。二者、线段的等分。根据平行线截割线段定理，我们可以对任意长度的已知线段作任意段数的等分。其画出的过程是：首先从此线段的一个端点出发，作一条有一定夹角的射线，并在此射线上从其顶点开始，依次作出适当等长的若干截点，且将最后一个截点与线段的另一端点相连结（即形成一个临时的辅助三角形） ，然后过所有画出的截点，作此一连结线段的平行线，则平行线们与已知线段形成的交点即为已知线段的若干等分点（此情形中包括这些线段的以分数系数为题的画出，其结果是取所画得的等分段中的一份） ，此操作过程可用于生活实践的方方面面，这种方式的学以致用很是重要。三者、线段的平行。根据同位角相等、内错角相等、和同旁内角和互补三条定理，或根据线段平行的其它相关理论，我们可以有各种不同的方法对已知线段作出其平行线。其中无刻度的学生专用丁字尺画平行线的方法就是根据上述原理而设计的。其操作过程是将丁字尺在画图板上作上下移动，于是我们可沿移动位置画出系列水平线。而工程视图的任意方向的剖面线的画出，则是用可控三角板在定位的丁字尺上作左右移动而画出。当然我们若利用一块三角板的边当成丁字尺，将另一块三角板沿边作上下移动也同样可作此一画出。四者、线段的相互垂直（即画作直角） 。画作线段相互垂直的方法有很多，我们在教学中常用的方法首推从最看好最简单的中垂线的作法当中获得。当然我们也可根据题目的不同，而从勾股定理中，特别是从勾 3、股 4、弦 5 的直角三角形中获得，简单地说，此法就是以勾 3 的两个端点为圆心，且分别以股 4 和弦 5 之长为半径画弧，并将所画得的两弧的交点，与勾 3 的两个端点连结，则在如此画得的这个三角形中即有其直角存在。进一步，如果我们以直角三角形中两直角边的平方和等于第三边的平方这一定理为依据，则随时可以画出 的长度，其具体画出过程可从控制直角三角形a(2,34.)的各种可画边长入手。譬如在圆内的直角三角形中即由控制斜边和直角边可得 ， 等。譬如直接由控235a224(5)1a制两直角边可得 等。至此我想同学们已完全明了此213法之根底。五者、已知角的等分（或曰已知弧的等分） ，利用大家所熟知的等腰三角形底边上的高又是其角平分线的特性，我们可利用中垂线的画出对已知角或已知弧进行 等分。如果已知角是可画已知角2n（即其角是一种能用尺规而精确画出的角）的倍数角，则可以将其角作倍数次等分，此意即为可将其中小特殊角在大特殊角中一一画出，此画出的情形包括某 3 倍特殊角的三等分。但尺规作图是不能将任意角三等分的（这情形已被数学家们从理论上进行了证明） 。我们不要将任意角的三等分与三倍特殊角的三等分混为一谈，常指的能用尺规精确画出的特殊角有 、 、 、 、 、 3o69o125o83on，更特殊的有这些特殊角的 等分角，更更特殊的还有(1,23.)n n这些被等分角的和差及倍角。值得引起注意的是：特殊角的这种综合提法，从未在已问世的各种资料或期刊中露过面，故我认定这是一种新的归纳，此归纳的意义在于统一了所有特殊角存在的理义。有缘诸君可对此归纳的全面性进行认证。我相信这一举措，能使学生对特殊角的理解会有一定帮助，且给今后有需要的解题和记忆带来方便。六者、圆周的等分。利用尺规可对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分、六等分、八等分、十等分、十二等分、十五等分、十六等分及这些等分的 倍等分 但不能进行七等分、九等分、2n十一等分（以上两省略号的使用不规范，只能说明其后还有很多能等分或者不能等分的情形） 。有趣的是利用尺规还可以进行少量已知更大奇数的等分。譬如在 年，印度年轻的大数学家高斯，180曾证明了如果 是素数中的费马数，就可以用尺规将其圆周 进行K K等分，根据这个定理，高斯本人曾用五十多个步骤，作出了一个正宗的圆内接正十七边形，一举解决了这个两千多年来悬而未决的大难题，这真是一个了不起的壮举，你只要看看那些步骤，并去推敲一下那个作图过程中显露的天机，你就知道作为一个数学家是多么地不容易。除了高斯的十七等分圆周光耀环宇外，在所有尺规等分圆周的活动之中，五等分圆周也是很是趣味横生，黄金分割点就是取自此一画法之中，而此画法又包含在基础方程 之中，210X这个一元二次方程来自一个顶角为 的等腰三角形，或说这化身是36o该等腰三角形与自身底角平分线形成的相似三角形的边长之比。对此情形的存在，如果我们反其序而用之，则可求得一个顶角为 的36o等腰三角形。此言下之意即为，可以用上述方程中之有用根，即以为底边，以 1 为腰我们能作出一个等腰三角形，则此1(5)/2X等腰三角形的顶角即为 ，有此 角的存在而知正五边形、正十36oo边形、正二十边形等的尺规作图可以得到解决。其证明过程是在此三角形的底角中分出一角与其顶角相等，则在此中必有两三角形相似的情形存在，于是我们可求得腰上的一部份与底边相等，进而知此三角形的内角和由五个 相等的角构成。作为趣味的延续(5180)ox和增加，你能不能仅用一个圆规求得圆内接正四边形的四个顶点呢？进行此一操作也许能让你更多的品味到尺规作图的魅力，请通过自己的努力试画之。七者、作角的相等。利用两块常用的三角板作两角边的平移可得角的相等。平移是尺规精确作图的最基本手法之一，其具体的操作方法是两块三角板在对位之后，一者不动（此即将不动三角板当成了丁字尺） ，一者动（此即可沿三角板的边逐一画出移动线） ，然后换另一条角边在对位之后进行同一情形的操作，如此为之，我们则可对任意方向的线段进行平移（此结果即为相等的角由此方法而形成） 。此法的理论依据就是两直线平行与第三线相交，则同位角相等。还有一种同样简便且适用的方法是：利用圆规在已知角的两边分别截得同一长度的点，以此长度为半径在欲画角的一条射线上画弧，并以此弧在射线上的交点为圆心，以两截点之距离为半径画弧，将两弧之交点与射线顶点相连结，则所画之角即为所求。八者、两已知非等长线段之积转化成线段的自乘（此即为比例中项在尺规作图中的运用） ，此情形是高次方线段降阶画出的必由之路径，且其过程中常常出现与二项式平方公式及平方差公式联合使用的情形，在这些公式的相互转化之中，非等长线段之积必须要转化成线段的自乘才能进行后续之论证，但不必着急，我们知此公的身影常常在射影定理、圆幂定理及其它特定的相似形里出现，在解题时如遇到高次方线段必须化简画出，则可视情请出此公来助我们一臂之力。这是此类尺规作图的一个攻无不克的法宝。九者、三角形的五心。我们对三角形的内心，外心、旁心、垂心、重心的画法和证明都要很好地掌握，其特性也要分别进行了解。这五心在日常生活和工作中非常重要，我们常常要用到它们的一此有趣的特性。譬如 1、从三角形的板材上取最大的圆料毛坯就要用到内心的性质，内心即为三角形三个角平分线的交点，此其实就是求一点到三边的距离相等的情形。譬如 2、三棱柱物件要用圆环框框起来加以固定，恢复齿轮、阀轮、皮带论等配件的原貌就要用到外心的性质，外心即为三角形三边垂直平分线的交点。此其实就是求一点到三顶点的距离相等。譬如 3、火箭、垂发导弹的发射钢架等的设计就要用到旁心的性质，旁心即为三角形一个角平分线和另外两角的外角的平分线的交点，此其实就是求一点到三边的距离（或其延长线的距离）相等的情形。譬如 4、以三角形的边为直径的四点共圆常与垂心的性质联系在一起，这是直径同侧张等角（此处为张两个直角）的情形，显然在三条边上都有此同一情形出现，垂心就是过三角形三顶点作边的垂直线的情形。 譬如 5、假设汉字写在一个个形状不同，但面积相等的三角形内，如果这些三角形的重心处在不论方向的同一条直线上时，则整个书写看起来就会美得爽心，公园内大小不同的三角形石块的任意方向的垂直叠加而成型的宝塔也要用到重心来平衡等。重心即为三角形三条边的中线的交点。在以上五心中都有一些有趣的性质可供我们作解题专用，它们的画出和求证过程并不为难，只是垂心和重心的求证隐含了一些特别的讲究，对此不能不小心噢，若马虎了事则其理一定述说不清，呵呵！快试一试吧，你将乐在其中。十者、关于圆和多圆的各种切线和公切线的作法。此中之诸法在教科书中已有相应阐述的我们不再赘述。而本文要推荐的是我的关于两圆公切线的作图，在此一构思中，我们对两圆公切线的作图给出了一种优于传统的作法，此作法可在中学生数理化 年1983第 期中找到，且可供同学们作欲推新之参考。10从一到十者的综合，就是一个作图题的准备题型的大观园，从这些准备题型的组合、拆分和相互渗入中，我们可以设想存在着一个琳琅满目的作图题的大千世界，而在这个大千世界的秘藉里有深藏不露的解题技巧专供有心人们去发现，只有多加练习的人，才有可能生出巧来，只有生了巧的人，才有可能获得更多的智慧。只有多了智慧的人，才有可能进入其清新可人的良性循环之中。另外，在许多平面几何习题的求解过程也要用到辅助线，其实辅助线的作出也属于作图题的一个范畴，只是辅助线的使用大多局限在垂直线、平行线、角平分线和拐点的连线等简单的形式上，作出一个完整的辅助图形来解题的情形还是不多的，否则那将进入图形解题的另一研究领域 总之我们要根据例题所给条件的不同，机智地进行分析，具体问题具体对待，才能作出正确的画图。我们盼望着上述资源的开发和利用的迷人季节的来临，我们深信在那个特定的知识的花园里，我们的学生的素质一定会得到空前的提高，我们的理由有以下四条：一、作图题型有利于学生动手能力的提高。任何一道作图作业的完成，在思考过了作出的程序之后，你得利用工具一步一步，且仔仔细细地将这个分析程序完成，这是理论与实践相结合的第一步，这是学习心灵、手巧、眼快、思明的一个天赐过程。其它类型的习题根本就不可能作此特色提供，况且在图形画得漂亮与不漂亮之间，在位置安排得合理与不合理之间，在次序协合得科学与不科学之间，还有很多且很深奥的讲究要操心，此实为培养工科人材绝不可缺少的一种题型，此实为工程人员掌控技术图样必不可少的磨砺路径。我们深知作图题与建筑图、机械图、管路图、电路图、甚至生化基因图等工程图的关系一脉相承，是基础中之基础，对此我们一定要加倍珍视之。二、作图题型有利于学生画与计算相结合的能力的提高。一道作图作业题的完成，在动手之前，大多要进行运算推理，有道是切脉准则不会出错，要义清则能对症下药，由于在此题型下的运算推理都是有模有样的，这是形象思维和逻辑思维相结合下的一种切脉方式，这其中量物而衡的要义比纯粹的计算高出了一个结构的层次，其学习的效果必然好上加好。而在此情形之下获取的知识量也必然是事半而功倍，就我多年的教学和工程实践的经验感悟而言，我觉得如果我们的学生能在这样一个特定的画出与计算相结合的环境中历练，今后在上岗工作中表现出的各种能力都肯定会比较强。三、作图题型有利于学生分析和解决问题的能力的提高。我曾在一本国外的期刊上看到一个有意思的作图题：怎样在以 为圆心，O以 为半径的扇形 里，用尺规画出一个正方形 ，使 、rOEFABCD落在扇形的 上，并使 、 分别落在两弧角边上呢？这道题初BCD看很简单，我不以为意，摘录下来交给我的学生当作业，不想学生们在咬笔头思之之后，不得其果，遂来问我，我一时无语，推说将在课堂上进行讲解，幸好思得一法，于是我洋洋得意地挑逗学生说：如果能想得到的话，其实作法非常简单。又说：谁能解得此题，谁就是我们班上最聪明的人。此言一出高潮叠起，一个个都成了钻牛角尖的英雄。我赞美钻牛角尖，只要钻得科学，钻得合理，有什么可以斥责的呢？且我们已有多方面的信息确定，大凡在学生时期钻过牛角尖的人都是有出息有作为的人，不信吗？您去了解了解。这中间的道理其实就一句话，迷在其中必有所获，至少思之想之脑子更灵光。经过一段时日的推敲，我们的学生有了这道题的标准答案：简言之就是以其弦 为边向外侧作正方形 ，连结 、 交EFEFGHOH于 、 。过 、 分别作轴线的平行线交 于 ，交 于 ，EFAB CED则 即为所求。其求证过程是利用两组三角形的相似，且由其比CD值方程的联立可证得 的画出符合要求。此处证明从略的原因是ACD要留给有缘人自作练习。由于图形的表述已很是清楚，其画出的练习当然也就又留给有缘人了。我们在此文中做此题目之目的，不是为了做题而做题，但通过对此题的叙述，你知道学生理解了什么，提高了什么。四、作图习题有利于学生启迪性思维的提高。说来也真正叫人奇怪，自从进行了上次那个谁是最聪明的人的斗智斗勇的求解活动之后，我们的学生仿佛变成了另外一个人，他们在一个短短的时日里似乎成熟了很多，有好几个受到启发的学生认定：在半径分别为和 的同心圆环上作正方形 ，使顶点 、 分别落在 的圆RrABCDABRO周上， 、 分别落在 的圆周上的这道习题一定与前述例题有相CDrO似之处。乍一看题还真感觉有其联系，再说如果 就等于 的话，Dr则前叙例题即为圆环中的一部分，难怪同学会作此一联想。我赞许同学们能作此联想，这就是启迪性思维起的作用。说句心里话，我虽然不是什么有出息有作为的人，但我就是在钻此牛角尖的过程中获得过一些灵感，再说在此题中的这种启迪性思维下产生的这种正向能还有另外一种令人入迷的作用，且此作用就浸润在此例题之破解的字里行间：假设正方形 已经作出，设大圆上的边心距为 ，ABCD1K小圆上的边心距为 ，正方形的边长为 2a，则由图中的直角三角形2K可得：(1)221Ra(2)2rK将（1）和（ 2）联立并整理于是可得 ：(3)21Rr在（3）中有两个未知量，虽然在边心距的假设下知有 的12Ka情形存在，但将其代入（3）后还是两个未知量的情形，这就要求我们必须再找一个新的方程，尽管你采用了很多方法：譬如面积法、直线方程法、三角函数法、实践公式法等等，但无论你怎么努力都会进入一个怪圈（有很多题目都有此相同形式的怪圈） ，此题中怪就怪在你得到的只能是（3） ，也许此时的你会将（3）变形进行观察，而这样你则会进入相似三角形或等高相连的直角三角形的另一怪圈。只有在怪圈中煎熬过的人才知道，如要解题必须另劈溪径。此即为入迷的收获，此收获是由亲身体验得来宝贵无比。至此同学们知的利用是关键之关键，如若将图中直角三角形中的方程改12Ka写为：(4)21R(5)2Kra将（4）（ 5） ，并将 代入其中， 于是我们就可以得到一12Ka个仅仅关于未知量 的方程：(6)22aRr将（6）变身的话，则是一个高次方程，显然其解中之有用根的二倍即为正方形的边长。由于解此方程要花费很多时间，还不知道解得的根能不能用尺规精确画出，我们只好同有缘人一起来探索。如果解得的有用根不能用尺规画出的话，那麻烦就来了，或者说我们遇到了前功尽弃的困难，此时你得而今迈步从头越，而从头越的道路也不一定平坦，说不定还得再次努力，而再次努力的结果也可能还同样是劳而无功。不过也好，这算是让我们初步见证什么叫数学领域的难度。由于此一过程给人们的启发非比寻常，借此平台，抛此题后感是希望能引起同学们的兴趣，兴致高则求解有望，有此回报则达到了我们写文章的目的。在这里我要郑重其事说的是：如果由分析而求得的方程是一个高次方程，则一定要利用好一元二次方程的求根公式降阶画出所希望的结果。为了求得画法的正确，还可以从简化方程本身繁杂的已知系数入手，从而达到简化作图的目的，对于（6）来说，如果直接将其两边同时平方，则麻烦就大了，不如采用平方差公式即将（6）的两边同时乘上 ，则其22()Rar过程就简单了很多：2222()()()aRraRar（7）将（7）进行整理于是可得：222()()/RarRra（8）在（8）中利用直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方的尺规作图可将 用已知量 来取代，于是（8）可变简为：2Rr2b2/aa（9）将（9）与（6）相加，于是可得：22/Raba（10）将（10）进行整理于是可得：2244aRba（11）将（11）两边同时平方于是可得：242416816aRba（12）将（12）进行整理于是可得： 422438()0aRb（13）在（13）中，由于 在等腰直角三角形中是可画作的已知量，2()我们再次利用两直角边的平方和等于第三边平方这一利器的尺规作图又可将 用画作已知量 来取代，于是（13）可变简为：2()Rb2c424380ac（14）（14）是我们将方程之系数一步步变简的最后过程，此过程是本习题尺规作图的要领之一，由于此方程是一个四次方程，利用好一元二次方程的求根公式降阶则是画作的要领之二，如果要降阶画出所希望的结果则必须设 ，于是我们就得到如下方程：2aX24380Xcb（15）利用求根公式 于是可解得（15）的两根：2(4)/xac2218)3Xcb（16）224()/2c（17）以上两根也许都是有用根吧，这是要进行讨论的。现我们仅就（16）的情形为例进行继续探索。而（17）则只好又留给同学们作加强印象的练习。将（16）整理于是可得： 24241(88)/32Xcb（18）将（18）整理于是可得：2418Xcb（19）将（19）整理于是可得：222418()Xcbcb（20）在（20）中，由于可用尺规将 及 作出，则知22()cd2()cbe及 都是已知量，由（20）于是可得：2de22418Xcdeb（21）在（21）中，由于 及 都是已知量，由射影定理（以二者之差段2e为弦作任意圆，则过二者在圆外端点所作切线即为所求） 、圆幂定理（以二者之和为直径作圆，则垂直二者连接点的半弦即为所求）等，而可用尺规将