牛顿-莱布尼茨公式的详细证明.doc

牛顿莱布尼茨公式l 前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！(Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)l 定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间a,b上连续，我们在区间a,b上插入n-1个点分成n个区间a,x1,x1,x2xn,xn-1，其中x0=a，xn=b，第i个小区间xi= xi-xi-1(i=1,2n)。由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为Si=f(i) xi ,为此定积分可以归结为一个和式的极限即：性质1：证明dx = C(b-a)，其中C为常数.几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C为常数.设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K即对任意的xK,都存在一个以|为半径的区间,使得K(x+)=K(x)函数值在K内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即: F(x)-G(x)=C性质3：如果f(x)g(x),则 设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)0. 即 l 相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间a,b上连续，当xa,b,取m为f(x)的最小值,M为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m,M的数C,至少存在一点(a,b),有f()=C证明：运用零点定理:设f(x)在a,b上连续,若f(a)*f(b)0,则至少存在一点(a,b),有f()=0设x1,x2a,b,且x1x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中mCM则：g(x1)=f(x1)-C0即: g(x1)*g(x2) f()=CPs: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显 的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x轴上方），一个小于0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x轴有一个交点。严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查查.积分中值定理: 若函数 f(x)在区间a, b上连续,，则在区间 a, b上至少存在一个点(a,b),有 几何意义:曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等设f(x)在区间a, b的最大值为M，最小值为m，即：mf(x)M由介值定理：在区间 a, b上至少存在一个点(a,b)，有 l 积分上限函数(变上限的定积分)的定义设函数f(x)在区间a,b上连续，则定积分 的值由区间a,b与f(x)决定，与积分变量的记号x无关，因此可以记为而对于积分 ，当xa,b时，都会有一个由积分所确定的值与之对应，因此积分 是上限x的函数.记为：下面证明显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用(x)的定义，用到导数的定义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。(因为有的人是在看，有的人是在观察，这明显存在很大的差别)由积分中值定理，有：(其中是在x与x+x之间) 这就是你想看到的，显然，当x-0时，-x l 通往真相