高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换（2）课时提升作业2 新人教A版必修4.doc

简单的三角恒等变换(二)一、选择题(每小题3分，共18分)1.已知sin=23，则cos3-2等于()a.-53b.19c.-19d.53【解析】选c.cos3-2=cos-2=-cos2=2sin2-1=2232-1=-19.2.(2014湖州高一检测)函数fx=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为()a.-3，1b.-2，2c.-3，32d.-2，32【解析】选c.fx=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2sinx-122+32，则函数的最大值、最小值分别是32，-3.【变式训练】下列各值中，函数y=2sinx+23cosx不能取得的是()a.3b.3.5c.4d.4.5【解析】选d.因为y=2sinx+23cosx=412sinx+32cosx=4sinx+34，所以函数y=2sinx+23cosx不能取得的是4.5.3.(2014济南高一检测)函数f(x)=1-cos2xcosx()a.在0,2，2,上递增，在,32，32,2上递减b.在0,2，,32上递增，在2,，32,2上递减c.在2,，32,2上递增，在0,2，,32上递减d.在,32，32,2上递增，在0,2，2,上递减【解析】选a.f(x)=1-cos2xcosx=2sin2xcosx=2|sinx|cosx，当x0,2时，f(x)=2tanx在0,2上递增，当x2,时，f(x)=2tanx在2,上递增，当x,32时，f(x)=-2tanx在,32上递减，当x32,2时，f(x)=-2tanx在32,2上递减.【变式训练】将函数y=fxcosx的图象向左平移4个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y=2cos2x-1的图象，则fx可以是()a.-2cosxb.2cosxc.-2sinxd.2sinx【解析】选c.y=2cos2x-1=cos2x关于x轴的对称变换得到函数y=-cos2x，向右平移4个单位后得到y=-cos2x-4=-cos2x-2=-sin2x=-2sinxcosx，即函数y=fxcosx，所以函数fx=-2sinx.4.(2014安徽高考)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是()a.8b.4c.38d.34【解析】选c.将函数f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+4的图象向右平移个单位，所得函数为f(x)=2sin2(x-)+4=2sin2x+4-2，其图象关于y轴对称，所以4-2=2+k，kz，所以的最小正值是38.5.已知cos2-cos2=a，那么sin+sin-等于()a.-a2b.a2c.-ad.a【解析】选c.cos2-cos2=121+cos2-121+cos2=12cos2-cos2=12cos+-cos+-=12-2sin+sin-=-sin+sin-=a所以sin+sin-=-a.6.函数y=1-cosxsinx图象的对称中心是()a.k2,0kzb.k+2,0kzc.k+4,0kzd.k,0kz【解析】选d.y=1-cosxsinx=2sin2x22sinx2cosx2=tanx2，由x2=k2kz，解得x=kkz，其图象的对称中心是k,0kz.【误区警示】解答本题容易将正切函数y=tanx的对称中心误认为只有k,0kz而导致错误.二、填空题(每小题4分，共12分)7.函数fx=2sinx2sin3-x2的最大值是 .【解析】fx=2sinx2sin3-x2=2sinx232cosx2-12sinx2=3sinx2cosx2-sin2x2=32sinx-121-cosx=32sinx+12cosx-12=sinx+6-12，当x+6=2k+2kz，即x=2k+3kz时，fx取得最大值，最大值为12.答案：128.如图是半径为1的半圆，且pqrs是半圆的内接矩形，设sop=，则其值为时，矩形的面积最大，最大面积的值为.【解析】sop=，则sp=sin，os=cos，故s矩形pqrs=sin2cos=sin 2，故当为45时，s矩形pqrs的面积最大，最大值为1.答案：4519.在abc中，sinc-a=1，sinb=13，则sina的值为.【解题指南】首先根据题目条件求角c-a，再根据三角形内角和定理分析角a和角b的关系，最后先求sin2a再求sina.【解析】由c-a=2，且c+a=-b，所以a=4-b2，所以sina=sin4-b2=22cosb2-sinb2，所以sin2a =121-sinb=13，又sina0，所以sina=33.答案：33三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014成都高一检测)已知aob中，aob=2，且向量oa=(-1，3)，ob=(cos，-sin).(1)求sin(-2)+cos22cos2+sin2+2.(2)若是钝角，-是锐角，且sin(-)=35，求sin的值.【解析】(1)由oa=(-1，3)，ob=(cos，-sin)且oaob，得-cos-3sin=0，从而tan=-13.sin(-2)+cos22cos2+sin2+2=2sincos+cos24cos2+2sincos=2tan+14+2tan=110.(2)因为为钝角，tan=-13，-为锐角，sin(-)=35，所以cos=-31010，sin=1010，cos(-)=45.所以sin=sin-(-)=sincos(-)-cossin(-)=135010.11.(2014衡水高一检测)已知函数f(x)=12sin2xsin+cos2xcos-12sin2+(0)，其图象过点6,12.(1)求的值.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在0,4上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)=12sin2xsin+cos2xcos-12sin2+(0)，所以f(x)=12sin2xsin+1+cos2x2cos-12cos=12sin2xsin+12cos2xcos=12(sin2xsin+cos2xcos)=12cos(2x-).又函数图象过点6,12，所以12=12cos26-，即cos3-=1.又0，所以=3.(2)由(1)知f(x)=12cos2x-3.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则g(x)=12cos4x-3.因为0x4，所以-34x-323.当4x-3=0，即x=12时，g(x)有最大值12；当4x-3=23，即x=4时，g(x)有最小值-14.【变式训练】(2013天津高考)已知函数f(x)=-2sin2x+4+6sinxcosx-2cos2x+1，xr.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.【解题指南】(1)利用两角和的正弦公式及二倍角公式将f(x)化为asin(x+)的形式求解.(2)根据正弦函数的单调性求解.【解析】(1)f(x)=-2sin2xcos4-2cos2xsin4+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=22sin2x-4.所以f(x)的最小正周期t=22=.(2)因为f(x)在区间0,38上是增函数，在区间38,2上是减函数，又f(0)=-2，f38=22，f2=2，故函数f(x)在区间0,2上的最大值为22，最小值为-2.一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知函数fx=1+cos2xsin2x，xr，则fx是()a.最小正周期为的奇函数b.最小正周期为的偶函数c.最小正周期为2的奇函数d.最小正周期为2的偶函数【解析】选d.fx=1+cos2xsin2x=2cos2xsin2x=12sin22x=141-cos4x，是最小正周期为2的偶函数.2.(2014温州高一检测)已知sin2=13，则cos2-4=()a.13b.-13c.23d.-23【解析】选c.cos2-4=1+cos2-22=1+sin22=1+132=23.3.已知函数f(x)=sin2x-23sin2x+3+1，那么f(x)的单调递增区间是()a.k-512,k+12(kz)b.k+12,k+712(kz)c.2k-2,2k+2(kz)d.2k-56,2k+6(kz)【解析】选a.因为f(x)=sin2x+3(1-2sin2x)+1=sin2x+3cos2x+1=2sin2x+3+1.由正弦函数的性质知，当2k-22x+32k+2(kz)，即k-512xk+12(kz)时，函数y=sin2x+3为单调递增函数，故函数f(x)的单调递增区间为k-512,k+12(kz).【举一反三】本题中，若x-6,6，求函数f(x)的值域.【解析】因为x-6,6，所以2x+30,23，所以sin2x+30，1，所以f(x)=2sin2x+3+11，3.所以f(x)的值域为1，3.4.(2014郑州高一检测)已知曲线y=2sinx+4cos4-x与直线y=12相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为p1，p2，p3，则|p1p5|等于()a.b.2c.3d.4【解题指南】先化简函数解析式，再画出函数图象，最后利用图象结合函数周期性分析|p1p5|的值.【解析】选b.注意到y=2sinx+4cos4-x=2sin2x+4=1-cos2x+4=1+sin2x，又函数y=1+sin2x的最小正周期是22=，结合函数y=1+sin2x的图象(如图所示)可知，|p1p5|=2.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知+=34，求值cos2+cos2+2coscos=.【解析】原式=1+cos22+1+cos22+2coscos=1+12(cos2+cos2)+2coscos=1+cos(+)cos(-)+22cos(+)+cos(-)=1-22cos(-)+22-22+22cos(-)=12.答案：126.如图所示，有一块正方形的钢板abcd，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板efgh，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x=来截.【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则a2b2=32，ab=32，又a=gc+cf=bsinx+bcosx所以sinx+cosx=62，所以sinx+4=32.因为0x2，4x+434，所以x+4=3或23，x=12或512.答案：12或512【误区警示】解答本题容易忽视角度x的取值范围，而导致解三角方程时产生漏解.三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014长沙高一检测)已知函数f(x)=2cosxsinx+3-32.(1)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的零点的集合.(2)在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f(x)在一个周期内的图象.【解析】(1)f(x)=2cosxsinxcos3+cosxsin3-32=2cosx12sinx+32cosx-32=12sin2x+32(1+cos2x)-32=sin2x+3.所以函数f(x)的最小正周期为.令sin2x+3=0，得2x+3=k(kz)，得x=k2-6(kz)，所以f(x)的零点的集合为x|x=k2-6,kz.(2)列表：2x+302322x-612371256f(x)010-10描点连线，如图所示.8.(2014鹤岗高一检测)如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边ad为半圆的直径，o为半圆的圆心，ab=1，bc=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形pmn，其底边mnbc.(1)设mod=30，求三角形铁皮pmn的面积.(2)求剪下的铁皮三角形pmn的面积的最大值.【解析】(1)由题意知om=12ad=12bc=122=1，所以mn=omsinmod+cd=omsinmod+ab=1sin30+1=32，bn=oa+omcosmod=1+1cos30=1+32=2+32，所以spmn=12mnbn=12322+32=6+338，即三角形铁皮pmn的面积为6+338.(2)设mod=x，则0x，因为bp=12mn122=1，所以点p在线段ab上.mn=omsinx+cd=sinx+1，bn=omcosx+oa=cosx+1，所以spmn=12mnbn=12(sinx+1)(cosx+1)=12sinxcosx+sinx+cosx+1，令t=sinx+cosx=2sinx+4，由于0x，所以4x+454，则有-22sinx+41，所以-1t2，且t2=sinx+cosx2=1+2sinxcosx，所以sinxcosx=t2-12，故spmn=12t2-12+t+1=14t2+2t+1=14t+12.而函数y=14t+12在区间-1,2上单调递增，故当t=2时，y取最大值，即ymax=142+12=3+224，即剪下的铁皮三角形pmn的面积的最大值为3+224.【拓展延