高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程学案 理 北师大版.doc

9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫作直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，180)2斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan .(2)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式axbyc0(a2b20)平面直角坐标系内的直线都适用题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(4)若直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(6)经过任意两个不同的点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()题组二教材改编2若过点m(2，m)，n(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()a1 b4 c1或3 d1或4答案a解析由题意得1，解得m1.3过点p(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.题组三易错自纠4(2018石家庄模拟)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()a. b.c. d.答案b解析由直线方程可得该直线的斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是.5如果ac0且bc0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限6过直线l：yx上的点p(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(x2)，令y0，得x2，依题意有22，即1，解得k，所以直线m的方程为y2(x2)，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.题型一直线的倾斜角与斜率典例 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是 ()a. b.c. d.答案b解析直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)直线l过点p(1,0)，且与以a(2,1)，b(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 答案(，1，)解析如图，kap1，kbp，k(， 1，)引申探究1若将本例(2)中p(1,0)改为p(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解p(1,0)，a(2,1)，b(0，)，kap，kbp.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2若将本例(2)中的b点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围解如图，直线pa的倾斜角为45，直线pb的倾斜角为135，由图像知l的倾斜角的范围为0，45135，180)思维升华 直线倾斜角的范围是0，)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论跟踪训练 (2017南昌模拟)已知过定点p(2,0)的直线l与曲线y相交于a，b两点，o为坐标原点，当aob的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()a150 b135 c120 d不存在答案a解析由y，得x2y22(y0)，它表示以原点o为圆心，以为半径的圆的一部分，其图像如图所示显然直线l的斜率存在，设过点p(2,0)的直线l为yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，弦长|ab|22，所以saob21，当且仅当(2k)222k2，即k2时等号成立，由图可得k，故直线l的倾斜角为150.题型二求直线的方程典例 (1)求过点a(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程；(2)求经过点a(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4.又直线经过点a(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况跟踪训练 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点p(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (00，b0，直线l的方程为1，所以1.|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.命题点2由直线方程解决参数问题典例 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解由题意知直线l1，l2恒过定点p(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积s2(2a)2(a22)a2a42，当a时，四边形的面积最小思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解跟踪训练 已知直线l过点p(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于a，b两点，如图所示，求abo的面积的最小值及此时直线l的方程解方法一设直线方程为1(a0，b0)，把点p(3,2)代入得12，得ab24，从而saobab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.方法二由题意知，直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有a，b(0,23k)，sabo(23k)(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立即abo的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.求与截距有关的直线方程典例 设直线l的方程为(a1)xy2a0(ar)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示：现场纠错解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，直线方程可写为1，a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，直线l的方程为3xy0或xy20.(2)由(a2)，得a20或a11，a2或a2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解1直线xya0(a为常数)的倾斜角为()a30 b60c150 d120答案b解析化直线方程为yxa，ktan .00，b0时，a0，b0.选项b符合5.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ()ak1k2k3bk3k1k2ck3k2k1dk1k3k2答案d解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选d.6已知两点m(2，3)，n(3，2)，直线l过点p(1,1)且与线段mn相交，则直线l的斜率k的取值范围是()ak或k4 b4kc.k4 dk4答案a解析如图所示，kpn，kpm4，要使直线l与线段mn相交，当l的倾斜角小于90时，kkpn；当l的倾斜角大于90时，kkpm，k或k4.7已知直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点 答案(2，2)解析直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2)8若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是 答案解析当时，tan 1，k1；当时，tan