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精品文档2 函数极限的性质. 教学目的与要求1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限. 教学重点与难点:重点: 函数极限的性质. 难点: 函数极限的性质的证明及其应用. 讲授内容在1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1) ；2)；3) 4)； 5)； 。它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可. 定理32(唯一性) 若极限存在，则此极限是唯一的 证 设都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得当时有 ， 当时有 ， 取，则当时，(1)式与(2)式同时成立，故有 由的任意性得，这就证明了极限是唯一的. 定理3。3（局部有限性）若存在，则在的某空心邻域内有界 证 设取，则存在使得对一切有 这就证明了在内有界 定理34(局部保号性) 若 (或)，则对任何正数（或，存在，使得对一切有 （或） 证 设，对任何，取，则存在，使得对一切， 这就证得结论对于的情形可类似地证明 注 在以后应用局部保号性时，常取 定理35(保不等式性) 设与都都存在，且在某邻域内有则 （） 证 设 =，=，则对任给的，分别存在正数与使得当时有，当 时有令，则当时，不等式与(4)、(5)两式同时成立，于是有 从而由的任意性推出，即(3)式成立 定理36(迫敛性) 设=，且在某内有 则 证 按假设，对任给的，分别存在正数与，使得当 时有， (7) 当时有 (8) 令，则当时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有 由此得，所以 定理37（四则运算法则）若极限与都存在，则函数当时极限也存在，且；2）； 又若，则当时极限存在，且有3） 这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限例 1求解 当时有 ， 而故由迫敛性得： =另一方面，当有，故又由迫敛性又可得： 综上，我们求得 例 2求解由及1例4所得的， ，并按四则运算法则有 =例 3求解当时有 故所求的极限等于例4 证明 证 任给 (不妨设)，为使 （9）即，利用对数函数（当时）的严格增性，只要 于是，令 ，则当时，就有(9)式成立，从而证得结论 小结与提问:本节要求学生理解
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