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基金的使用计划精编推荐 实验四基金的使用计划实验四基金的使用计划【实验目的】【实验目的】1介绍了与线性方程组有关的基本概念。 2了解线性方程组的消去法、迭代法等基本求解方法。 3学习MATLAB软件中有关线性方程组运算的命令。 【实验内容】【实验内容】某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行，当前银行存款及各期的利率见下表，取款政策参考银行的现行政策。 校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。 校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。 请你帮助校基金会在上述情况下设计基金存款使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果银行存款税后年利率（%）活期半年期一年期二年期三年期五年期0.7921.6641.8001.9442.1602.304【实验准备】【实验准备】自然科学和工程实践很多问题的解决都归纳为线性方程组的求解和矩阵运算。 有些问题本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题、投入产出分析问题和各种晶体管电路分析问题；另一方面有些数值计算方法也导致线性方程组求解，如数据拟合问题、非线性方程组和偏微分方程组数值解问题等等。 1线性方程组线性方程组n个变量m个方程的线性方程组一般形式为11a12aa22a1ma2ma令11a12ana1A21a22ana2,x1ma2mamna则可以得到矩阵形式1x1x2x2xna1a2n xn x1b2b21n1x2xmnan xmb1x2x,b1b2b n x nb A xb （1）若右端b0，即A x0 （2）则称方程组为齐次齐次的。 方程组 （1）可能有唯一解，可能有无穷多解，也可能无解，主要取决于系数矩阵A及增广矩阵（A，b）的秩。 若秩（A）秩（A，b）n，存在唯一解，其解理论上可用Cramer法则求出，但由于这种方法要计算n1个n阶行列式，计算量太大通常并不采用；若秩（A）秩（A，b）n，存在无穷多解，其通解可表示为对应齐次方程组 （1）的一个基础解系与 （2）式的一个特解的叠加；若秩（A）秩（A，b），则无解，这时一般寻求最小二乘近似解，即求x使向量A xb长度最小。 方阵A称为可逆可逆的，如果存在方阵B，使得A BB AE （3）这里E表示单位阵。 并称B为A的逆矩阵逆矩阵，记作BA0。 求逆矩阵的公式为1AA1?A。 方阵A可逆的充分必要条件是1?A* （4）这里x由于这个公式涉及大量行列式计算，数值计算不采用。 求逆矩阵的数值算法一般是基于求解线性方程组的方法。 2线性方程组求解方法线性方程组求解方法线性方程最基本的求解方法有高斯消元法高斯消元法，其思想是对 （1）式的一般形式由上至下逐个方程消去变量，到最后一个方程解出*A为A的伴随矩阵伴随矩阵。 利用逆矩阵， （1）式的解可表示为1?Ab （5）n x，代入它上面的一个方程解出1x全部解出。 这样由上而下的消元和由下而上回代，就构成了方程组的消元法。 其实这种解题思路我们在中学就运用于求解一元一次、二元一次方程等。 高斯消元法的过程说明，矩阵A左乘单位下三角矩阵M，可化为上三角矩阵U，即M AU因为单位下三角阵的逆仍为单位下三角阵，记AL U （6）这种分解是唯一的，称为矩阵的L U分解分解。 象高斯消元法、L U分解法都是直接去求解，它们一般适合A为低阶的稠密矩阵（指n不大，且元素多为非零）的情况，而在工程技术和科学计算中常会遇到大型稀疏矩阵（指n很大，且元素多为零）的方程组，这时就适合用迭代法进行方程组的求解。 迭代法中最常用的是雅可比迭代，将A分解为ADLU，其中Ddiag（a，nna），L、U分别为下三角矩阵和上三角矩阵。 则A xb化为xD（LU）x若记1BD（LU），1f则方程组 （7）的迭代形式可写作)1(?kxx1?n x，并如此进行下去，好可依次将n x，1?ML，可得到如下结果11a，121?1?Db （7）1?1?Db （8）1Bk1f，（k0，1，2，） （9）如果序列kx收敛于x，则x必是方程 （7）的解，因而也是Axb的解， （8）、 （9）称为雅可比迭代雅可比迭代。 3有关线性代数运算的有关线性代数运算的MATLAB命令MATLAB是矩阵化程序设计语言，所以处理矩阵和向量运算特别方便。 下面给出一些矩阵和向量的一些基本运算命令zeros生成全0矩阵ones生成全1矩阵eye生成单位矩阵det求方阵的行列式eig特征值与特征向量有关上述命令的用法可以参阅MATLAB帮助。 命令inv求方阵的逆norm矩阵或向量的范数cond方阵的条件数diag对角阵trace方阵的迹rank方阵的秩null求基础解系左除法AB求解矩阵方程AXB；右除法B/A求解矩阵方程XAB；矩阵除法会根据A的特点自动特定合适的算法求解，然后尽可能地给出一个有意义的结果当A为方阵，其结果与inv（A）*B基本一致；当A不是方阵，除法将自动检测，若为超定方程组（即无解），除法将给出最小二乘意义上的近似解，即使得向量AXB的长度达到最小；若为不定方程组（即无穷多解），除法将给出一个具有最多零元素的特解；若为唯一解，除法将给出这个解；用户可以使用rank比较系数矩阵和增广矩阵的秩来对结果进行分析。 【实验方法与步骤】【实验方法与步骤】1引例问题的分析引例问题的分析问题本身沿有一些不确定的因素，比如说基金的到位的时间，每年奖学金发放的日期，银行利率的变动情况等。 为例问题简化，先作如下假设假设1该笔资金于年底一次性到位，自下年起每年年底一次性发放奖金，每年发放的奖金额尽可能地相同；假设2银行存款利率执行现行利率标准，且在n年内不发生变化。 设用于第i（i1，2，n1）年末发放的奖金额为最初需存进银行的金额M本息和，则Mix的n x是最初存到第n年末的用于发放第n年末的奖金和需剩余原本金M之和，ix为基金中分配给每年发放奖学金的比例，n x是第n年末的奖金和需剩余原本金M所占的比例，显然有1x根据对一些存款方案的比较，归纳推理可得存活期和存定期而提前支取不如存定期到期再取的利率高，存2个一年期不如存1个二年期高，存1个二年期再转存1个一年期不如存1个三年期利率高，存2个二年期不如存1个三年期再转存1个一年期利率高，存1个三年期再转存1个二年期不如存1个五年期利率高。 总之，最优的存款方案是首先五年期，次选三年期，再选二年期，最后考虑一年期，各个年期的利率分别记为)1(d11.8%，)3(d132.16%，另有i5)(im)(ir，（(im)(ir3)(ik)(is，（)(is2)(il)(it，（l其中的2xn x1)2(d)5(d121.944%，=1+52.304%)(i)，)，)(ir，tZ，0)(iZ，0)Z，0)(ir5）)(i3)2)k(iss(i(it说明)(im、)(ik、)(il均表示各存款年限相应的模。 建立模型如下1x)1(d)1(d)1(d2x1x1x1xn x1)2(d)3(d)3(dd2x03x0)1(4x0 （10）)1(d)5(d)3(d1x)(im)(ik)()2(dil)()1(ditix0dd)1()1(1x)1?()5(d)5(dnm)1?()3(d)3(dnk)1?()2(d)2(dnl)1?()1(dnt1?nx01xix。 )(nm)(nk)(nl)()1(dntn x0模型的关键是求解出各年的2MATLAB计算机求解基于上述n和M未给出的情形下，我们考虑基金总额和存款年限未确定的通用模型的求解。 对上面的模型 （10），我们分别建立调用supper函数的useM脚本文件和supperM函数文件主程序（文件名use.m）clear alld=0.792/100;d0=1+0.5*1.664/100;d1=1+1.8/100;d2=1+2*1.944/100;d3=1+3*2.16/100;d5=1+5*2.304/100;n=input(Please inputthe year(start from2):,s);n=numeric(n);if n2disp(Sorry,the yearis wrong,please inputa newyear)else endM=numeric(input(Please inputthe money:,s);supper(n,M,d,d0,d1,d2,d3,d5,h);调用函数（文件名supper.m）function supper(n,M,d,d0,d1,d2,d3,d5)for j=1:n a(1,j)=1;end for i=2:n a(i,1)=1+1.8/100;end fori=2:n%该循环用来构造系数矩阵a(i,j)m(i)=fix(i/5);r(i)=rem(i,5);k(i)=fix(r(i)/3);计算机求解s(i)=rem(r(i),3);l(i)=fix(s(i)/2);t(i)=rem(s(i),2);a(i,i)=-d5m(i)*d3k(i)*d2l(i)*d1t(i);%对角线上的矩阵end b (1)=1;b(n)=-1;%其余的b(i)默认值为0x=ab;%用常数向量除以系数矩阵的方法求解线性方程组richaward=d1*M*x (1)fori=1:n eachyear=M*x(i)end【结果分析】【结果分析】结果得到每年用来发放的奖金额大概为109.82万元，同时在M=5000万元，n=10年的情形下不同年限基金的存款方式如下表Mn（年）ix（i1，2，n）单位万元4512367891010107.88105.71103.31101.3198.4796.7394.7992.4890.844108.66其中用于第10年发放奖金和剩余基金的总额为4108.66万元，存一个五年期，到期后再转存五年，其余各年限的存款方式均按照问题分析中的存款方案进行。 我们可以看到，基金的使用计划具有周期性，当n年到期，便可按原方案进入下一周期；如果利率或政策有变，我们只需在下一周期开始前，对利率等作些改变或引入其他参数，整体基金投资方案仍可以沿用。 【练习与思考】【练习与思考】1对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势，每年农村居民的5%移居城镇而城镇居民的1%迁出，现在总人口的20%位于城镇。 假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么一年以后住在城镇人口所占的比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？并预测最终情况。 2在某年经济年度内，各经济部门的投入产出表如下所示（单位亿元）。 假设t经济年度工业、农业及第三产业的最后需求均为17亿元，预测t经济年度工业、农业及第三产业的产出（提示对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵和系数矩阵可视作不变）。 投入部门工业农业工业62农业2.251第三产业30.2表中第一行数字表示工业总产出为25亿元，其中6亿用于工业本身，2亿用于农业，1亿用于第三产业，16亿用于最后需求， 二、三行可作类似解释。 第一列数字表示6亿是工业对自身的投入，2.25是农业对工业的投入，3亿是第三产业对工业的投入。 3种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。 种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便以下种群数第三产业10.21.8最后需求161.5515总产值25520量均指其中的雌性。 种群年龄记作k1，2，n，当年年龄k的种群记作kx，繁殖率k d为一年的记作k