习题课应有利于学生真正实现_举一反三.pdf

高中版高中版 2014 年 4 月 数坛 在线 教育纵横 前苏联数学教育家奥加涅说过 很多习题潜在着 进一步扩展其教学功能 发展功能和教育功能的可能 性 很多数学问题本身看似平淡无奇 但若能挖掘其内 涵 适当变化 常常会有意想不到的收获 特别是教学过 程中具有共性的学生错题 教师在讲解过程中不能仅仅 停留在对此题的分析评价上 而是应该通过这个问题的 解答 进一步扩展 让学生了解相关类似问题并进行归 纳梳理 最后还要能延伸推广到其他问题的解答上 形 成举一反三的能力 笔者在高三复习中就碰到这样一个 习题 例1函数y f x x R 满足f x 2 f x 且x 1 1 时 f x 1 2x2 函数g x lg x 2 则函数h x f x g x 在区间 6 12 内的零点个数为 A 18B 19C 20D 17 此题通过函数的零点考查学生的数形结合 转化化 归等数学思想方法 作为本校一次调研考试的选择题 全班50人 仅有8位同学做对 还有34位同学的答案为 18 另外8位同学选择其他答案 并且做对的8人中也仅 有5位同学能正确判断答案却不能完整说明理由 一 深入剖析 挖掘本源是实现 举一反 三 的奠基石 调研发现学生均能将 函数h x 在区间 6 12 内 的零点个数 问题转化为 函数f x 与函数g x 在区间 6 12 内的图像的交点个数 问题 大部分同学也能由 周期性正确得出函数f x 与函数g x 在区间 6 12 内 的图像 如图1 然而学生通过点数发现结论为18 y x 12 2 6 O 1 图 1 题中当x 6 11 时 两个函数的交点个数正好为 17个 然而当x 11 12 时 大部分学生认为两个函数 只有一个交点 而班级中5位答对的同学能通过直观判 断发现虽然两个函数f x 和g x 的图像在x 12处交汇于 点 12 1 但是由于两个函数的变化趋势不一样 进而 大胆地猜测当x 11 12 时 函数f x 和g x 的图像有 两个交点 笔者对这5位学生的数学敏感性及大胆猜想的精神 感到欣慰 但是数学问题的解答不能只停留在大胆猜想 的阶段 而是要能在 大胆猜想 的基础上进行 小心求 证 那么如何证明当x 11 12 时 函数f x 和g x 的 图像有两个交点呢 注意到这5位学生提到的 变化趋势 不同 的本质即为函数的变化率不同 即当x 11 12 时 f x 1 2 x 12 2 g x lg x 2 由f x 4 x 12 0 4 而g x 1 x 2 ln10 1 10ln10 1 9ln10 可以发 现虽然函数f x 和g x 在x 11 12 上都是单调递增的 函数 但 1 10ln10 1 9ln10 奂 0 4 那是否意味着它们 有两个不同的交点呢 注意到函数方程思想 我们将它 还原为h x 的零点问题 当x 11 12 时 h x 1 2 x 12 2 lg x 2 由h x 4 x 12 1 x 2 ln10 得h 11 4 1 9ln10 0 h 12 1 10ln10 0 因 此 存 在 x0 11 12 使得h x0 0 所以h x 在 11 x0 上单调递增 在 x0 12 上 单 调 递 减 而 h 11 1 2 lg9 0 且 h 12 0 所以由单调性可得极大值h x0 0 因此h x 0 在区间 11 12 内有两个解 二 由此及彼 变式训练是实现 举一反 三 的助推器 是不是所有的交点问题都是这种情况呢 为了加深 学生的理解 笔者又给出了如下练习 习题课应有利于学生真正实现 举一反三 筅浙 江 省 杭 州 第 十 一 中 学蔡小雄 筅浙江省长兴县金陵高级中学陈国伟 57 高中版高中版 2014 年 4 月 数坛 在线 教育纵横 练习1 已知函数f x x2 2x x 0 ln x 1 x 0 若 f x ax 则 a的取值范围是 A 0 B 1 C 2 1 D 2 0 练习2 已知函数f x ex x R 设x 0 讨论曲线y f x 与曲线y mx2 m 0 公共点的个数 练习3 设函数f x lnx ax 其中a为实数 试求f x 的零点个数 过程展示 生1 作y f x 的图像 如图2 当a 0时 直线y ax 和曲线y x2 2x x 0 相切于原点 可得a 2 所以 2 a 0 当a 0时 如图3 直线y ax与曲线y ln x 1 x 0 必有交点 所以a 0不成立 即答案为D x O y Ox y 图 2图 3 生2 由ex mx2得m ex x2 则曲线y f x 与曲线y mx2 m 0 公共点的个数即为函数h x ex x2 与直线y m的交 点个数 由h x ex x 2 x3 0且x 0得x 2 所以h x 在区 间 0 2 上单调递减 在 2 上单调递增 且h x min h 2 e2 4 如图4 当0 m e2 4 时 无公共点 当m e2 4 时 有 一个公共点 当m e2 4 时 有两个公共点 y O 2 x e2 4 图 4 生3 由f x lnx ax 0得 a lnx x 则f x 的零点个数即 为直线y a和h x lnx x 的交 点个数 运用导数可快速得出 h x 在区间 0 e 上单调递减 在 e 上单调递增 且 h x max h e 1 e 如图5 当a 1 e 时 无零点 当a 1 e 时 有一个零点 当a 1 e 时 有两个零点 通过对具有不同单调性和凹凸性的函数的交点问 题的探讨 学生对数形结合思想有了更为本质的认识 对 零点问题的规律的理解也在探究中不断提炼升华 在反 复运用中避免了机械的模仿 进而能真正地理解和掌握 三 归纳梳理 完善思维是实现 举一反 三 的催化剂 波利亚指出 数学问题的解决仅仅只是一半 而更 重要的是解题之后的回顾与反思 笔者引导学生对上 述3个练习题进行反思 练习1通过直线的动态过程揭示 了直线和曲线的交点个数的变化情况 其主要依据为直 线和曲线的相切关系 练习2则由两曲线的交点关系转 化为直线和曲线的交点问题 练习3则经历了由直线和 曲线的交点问题到不同直线和曲线的交点个数的问题 并且在过程中 发现生2错误的根源是忽略了当x 时函数h x 0的极限概念 因此学生也统一了只要能 将方程转化为一条直线和一条曲线即可解决零点问题 针对更多的不同类型的两个函数的交点情况 学生 根据函数的单调性和凹凸性对以下几种不同类型的函 数进行了梳理归纳 类型1 一次函数和不同凹凸性的曲线的交点个数 问题 y x O y O x y xO y xO 图 6图 7图 8图 9 y x O y Ox O x y y xO 图 10图 11图 12图 13 类型2 不同凹凸性的曲线之间的交点个数问题 y x O y xO y xO y x O y xO y O x y Ox 图 14图 15图 16图 17 图 18图 19图 20 通过讨论 学生发现两条不同曲线相交时交点的个 数问题并不需要都进行讨论 上述图像中只有图8 图9 图10 图11和图16 图17 图19 图20的交点问题需要讨 论 通常关于图16 图17 图19 图20的交点问题需转化为 y eOx 图 5 1 e 58 高中版高中版 2014 年 4 月 数坛 在线 教育纵横 函数的零点通过分类讨论或分离参数等方法 即为图8 图9 图10 图11 解决 通过对习题的反思和归纳梳理 学生大致了解了 数形结合 中 以形助数 和 以数解形 的具体功能 加 深了对此类问题本质属性的了解 完善了 数形结合 在 实际操作中的运用技巧 四 链接高考 学以致用是实现 举一反 三 的试验田 纵观多年来的高考试题 数形结合的思想方法应用 广泛 常见的如在求解方程 解不等式 函数的值域 最 值和三角函数等问题中 运用数形结合思想 不仅直观 易懂 而且能避免复杂的计算与推理 大大简化解题过 程 虽然数形结合的重点是研究 以形助数 但也不乏 以数解形 的妙题 例2 2012年新课标全国理21 已知函数f x 满足 f x f 1 ex 1 f 0 x 1 2 x2 1 求f x 的解析式及单调区间 2 若f x 1 2 x2 ax b 求 a 1 b的最大值 解析 1 f x ex x 1 2 x2 单调性 略 2 由题意转化为ex a 1 x b 在同一坐标系中作 出曲线y ex和y a 1 x b的图像 则y a 1 x b的图像 始终在曲线y ex的下方 当a 1 0时 如图21 显然不成立 y O x y O x x y O 图 21图 22图 23 当a 1 0时 如图22 由ex a 1 x b得b 0 此时 a 1 b 0 当a 1 0时 如图23 设直线l与直线y a 1 x b平 行且与曲线y ex相切 可求得直线l的方程为y a 1 x a 1 a 1 ln a 1 所以 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 令a 1 t 则t 0 设h t t2 t2lnt 可求得h t 的最大值为h e 姨 1 e 2 即 a 1 b e 2 不畏浮云遮望眼 吹尽狂沙始到金 在高三数学教 学中 作为教师我们有义务 有责任关注学生数学思维 能力的训练和提升 通过对错题的分析 追本溯源 举一 反三 通过适当的迁移 链接 让学生在错误过后不是遗 憾 懊恼 而是学有所获 获有所得 得有所悟 学生的思 维才可能得以飞翔 能力得以提升 参考文献 1 蔡小雄 启迪思维是数学习题教学的首要 J 中学 数学 下 2013 8 2 朱丽强 让学生的思维在解题研究中飞翔 J 中学 数学 下 2013 2 3 蔡小雄 更高更妙的高中数学思想与方法 M 杭 州 浙江大学出版社 2009 FH 原生态的想法 我们教师要倍加珍惜 小心呵护 不能固 守已有的 经验 轻易去作论断 让宝贵的教育资源一 滑而过 白白地流失掉 实为可惜 像上面介绍的案例就 是一个很好的说明 如果笔者主观臆断地去否定学生的 这种想法 对于直线与二次曲线相切的问题只囿于 0 法 不仅我们教师的能力得不到提高 而且可能使学 生丧失了对这一问题作进一步研究的热情与兴趣 他们 那富有灵性的思考就会被扼杀 当然不利于学生思维能 力的发展 而且这也正是我们教师的思维能力提升的绝 好机会 而恰恰我们却疏忽了 为此建议大家在教学中要做个有心人 用心人 时 时捕捉