人教A版选修11：3.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 课件（48张）.ppt

3 2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 主题基本初等函数的导数1 函数y f x c y f x x y f x x2 y f x 的导数分别是什么 提示 y f x c的导数是y 0 y f x x的导数是y 1 y f x x2的导数是y 2x y f x 的导数是y 2 结合1中探究你能总结出函数f x x 的导数吗 提示 由于0 0 x0 1 1 1 x1 1 2x 2 x2 1 1 x 1 1 由此可猜想 y f x x 的导数是y x 1 3 怎样理解常见函数f x c f x x f x x2的导数的物理意义 提示 对于f x c 由于f x 0 其物理意义为某物体的瞬时速度始终为0 即一直处于静止状态 对于f x x 由于f x 1 其物理意义为某物体的瞬时速度为1的匀速运动 对于f x x2 由于f x 2x 其物理意义为物体的变速运动 结论 对于有些基本初等函数 由于不方便用定义法求导数 可直接使用下面的求导数公式 f x c f x f x x f x x 1 q f x sinx f x f x cosx f x 0 cosx sinx f x ax f x a 0 f x ex f x f x logax a 0 且a 1 f x lnx f x axlna ex 微思考 1 在同一平面直角坐标系中 画出函数y 2x y 3x y 4x的图象 并根据导数定义 求它们的导数 1 从图象上看 它们的导数分别表示什么 2 这三个函数中 哪一个增加得最快 哪一个增加得最慢 3 函数y kx k 0 增 减 的快慢与什么有关 提示 1 函数y 2x y 3x y 4x的图象如图所示 导数分别为y 2 y 3 y 4 从图象上看 函数y 2x y 3x y 4x的导数分别表示这三条直线的斜率 2 在这三个函数中y 4x增加得最快 y 2x增加得最慢 3 函数y kx k 0 增加的快慢与k有关系 即与函数的导数有关系 k越大 函数增加得越快 k越小 函数增加得越慢 函数y kx k 0 减少的快慢与 k 有关系 即与函数导数的绝对值有关系 k 越大 函数减少得越快 k 越小 函数减少得越慢 2 如何区分f x sinx与f x cosx的导数特征 提示 从导数公式 sinx cosx cosx sinx看出 一要注意函数名称的变化 二要注意符号的变化 特别注意 cosx sinx 而不是 cosx sinx 3 函数f x lnx与f x logax的导数公式之间有哪些差异与联系 提示 函数f x logax的导数公式为f x logax 当a e时 上述公式就变为 lnx 即f x lnx的导数公式是f x logax的导数公式的特例 预习自测 1 函数f x 0的导数是 a 0b 1c 不存在d 不确定 解析 选a 常数函数的导数为0 2 已知函数f x 则f 2 a 4b c 4d 解析 选d 因为f x 所以f 2 3 曲线y x3 3x2在点 1 2 处的切线方程为 a y 3x 1b y 3x 5c y 3x 5d y 2x 解析 选a 因为y 3x2 6x y x 1 3 12 6 1 3 即所求切线的斜率等于3 故所求直线的方程是y 2 3 x 1 即y 3x 1 4 曲线y xn在x 2处的导数为12 则n等于 解析 y nxn 1 所以y x 2 n2n 1 12 所以n 3 答案 3 5 一木块沿某一斜面自由下滑 测得下滑的水平距离scm与时间ts之间的函数关系为 s t2 试求t 2 s 时 此木块的瞬时速度 仿照教材p83例1的解析过程 解析 由幂函数导数公式得s t 2t 故s 2 4 因此当t 2 s 时 木块的瞬时速度为4cm s 类型一常用函数的导数 典例1 1 下列结论中正确的个数为 y ln2 则y y 则y x 3 y 2x 则y 2xln2 y log2x 则y a 0b 1c 2d 3 2 函数y 在点处的导数值是 a 4b 4c d 解题指南 1 直接利用常用函数的导数即可 2 可先求出函数y 的导数 再代入求值 解析 1 选d 若y ln2 则y 0 故 错 若y 则y 所以y x 3 对 若y 2x 则y 2xln2 对 也对 2 选b 因为y 所以当x 时 y 4 延伸探究 1 若把本例 2 中的点 改为 则结果如何 解析 因为y 所以当x 2时 y 2 若把本例 2 中的条件改为 函数y 在点 m n 处的导数值为 1 则m n的值是多少 解析 因为y 又在点 m n 处的导数值为 1 所以 1 故m2 1 所以m 1 当m 1时 n 1 当m 1时 n 1 故m n 2或m n 2 方法总结 定义法求导与公式法求导的对比 1 定义法求导 导函数定义本身就是函数求导的最基本方法 但导函数是用极限定义的 所以该方法求导最终归结为求极限 在运算上很麻烦 运算会很困难 2 公式法求导 用导数定义推导出常见函数与基本初等函数的导数公式后 就可以用公式直接求导 该方法简捷迅速 补偿训练 如果函数f x x2 则的值等于 解析 因为f x x2 所以f x 2x f 4 8 答案 8 类型二利用基本初等函数的导数公式求导数 典例2 1 已知函数f x lnx f x 是f x 的导数 f x 的大致图象是 2 f x 则f 1 解题指南 1 先求出函数f x lnx的导数 再观察其图象 注意定义域 2 注意先对式子f x 转化 再利用幂函数导数公式求导 解析 1 选c 因为函数f x lnx的定义域为 0 所以f x 的定义域也为 0 所以其图象为反比例函数在第一象限的部分 2 选d 因为原函数可转化为 f x 所以f x 所以f 1 方法总结 求简单函数导数的策略 1 看形式 首先观察函数的形式 看是否符合基本初等函数的形式 如对于形如的函数一般先转化为幂函数的形式 再用幂函数的求导公式求导 2 化简 对于不具备基本初等函数特征的函数可进行适当变形 将其化成基本初等函数或与之相接近的函数形式 如将根式 分式化为指数式 利用幂函数求导 3 选公式 选择恰当的公式求解函数的导数 提醒 区分指数函数 对数函数的求导公式 以免在运用时混淆 巩固训练 2017 郑州高二检测 已知f x 且f 1 求n 解析 f x 所以f 1 由f 1 得 得n 3 补偿训练 已知曲线y 3lnx的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 a 3b 2c 1d 解析 选a 因为y 所以解得x 3 x 2不合题意 舍去 类型三利用导数公式求切线方程 典例3 已知函数f x 在r上满足f x 2f 2 x x2 8x 8 则曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程是 a y 2x 1b y xc y 3x 2d y 2x 3 解题指南 先根据f x 2f 2 x x2 8x 8求出函数f x 的解析式 然后对函数f x 进行求导 进而可得到y f x 在点 1 f 1 处的切线方程的斜率 最后根据点斜式可求切线方程 解析 选a 因为f x 2f 2 x x2 8x 8 所以f 2 x 2f x 2 x 2 8 2 x 8 所以f 2 x 2f x x2 4x 4 16 8x 8 将f 2 x 代入f x 2f 2 x x2 8x 8得f x 4f x 2x2 8x 8 x2 8x 8 所以f x x2 f x 2x 所以y f x 在 1 f 1 处的切线斜率y 2 所以y f x 在 1 f 1 处的切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 方法总结 求切线方程的步骤 1 利用导数公式求导数 2 求斜率 3 写出切线方程 求解时注意导数为0和导数不存在的情形 巩固训练 1 2017 广州高二检测 曲线y ex在点 0 1 处的切线斜率为 a 1b 2c ed 0 解析 选a 因为y ex 所以y ex 所以曲线y ex在点 0 1 处的切线斜率k e0 1 2 求函数y 6x在x 1处的切线方程 解析 因为y 6x 6xln6 所以当x 1时 y 6ln6 又x 1时 y 6 所以切线方程为y 6 6ln6 x 1 即6xln6 y 6ln6 6 0 补偿训练 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切线方程为 解析 由y 5ex 3 得y 5e