2.2.2椭圆的几何性质.doc

椭圆的几何性质一、选择题1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A. B.C.D.答案B解析本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b2(ac)4b2(ac)23a22ac5c205e22e30(两边都除以a2)e或e1(舍)，故选B.2已知椭圆C：1与椭圆1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是()A.m2(m0) B.1C.1 D以上都不可能答案A解析椭圆1中，a28，b24，所以c2a2b24，即a2，c2，离心率e.容易求出B，C项中的离心率均不为此值，A项中，m0，所以m20，有1，所以a28m2，b24m2.所以a2|m|，c2|m|，即e.3将椭圆C12x2y24上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有()A相等的短轴长 B相等的焦距C相等的离心率 D相同的长轴长答案C解析把C1的方程化为标准方程，即C1：1，从而得C2：y21.因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上e1，e2e1，故离心率相等，选C.4若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案D解析由ABF1为等边三角形，2ba，c2a2b23b2，e.5我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设1(ab0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则ABF等于()A60 B75 C90 D120答案C解析cosABF0，ABF90，选C.6椭圆1(mn0)的焦点坐标分别是()A(0，)，(0)B(，0)，(，0)C(0，)，(0，)D(，0)，(，0)答案B解析因为mnm0，故焦点在x轴上，所以c，故焦点坐标为(，0)，(，0)，故选B.7(2010福建文，11)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8答案C解析本题主要考查椭圆和向量等知识由题易知F(1,0)，设P(x，y)，其2x2，则(x，y)(x1，y)x(x1)y2x2x3x2x2x3(x2)22当x2时，()max6.8椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e为()A. B. C. D.答案A解析由题意知a2c，所以e.9设椭圆1(ab0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)的位置()A必在圆x2y22内 B必在圆x2y22上C必在圆x2y22外 D以上三种情形都有可能答案A解析由e知，a2c.由a2b2c2得bc，代入ax2bxc0，得2cx2cxc0，即2x2x10，则x1x2，x1x2，xx(x1x2)22x1x2b0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径的圆过点P过P作圆的两切线又互相垂直，则离心率e_.答案解析如图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以OAP是等腰直角三角形，故a，解得e.12过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_答案解析易知直线AB的方程为y2(x1)，与椭圆方程联立解得A(0，2)，B，故SABCSAOFSBOF121.13已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|F2B|12，则|AB|_.答案8解析由椭圆的第一定义得|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，两式相加，得|AB|BF2|AF2|4a20|AB|20128.14在ABC中，A90，tanB.若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e_.答案解析设|AC|3x，|AB|4x，又A90，|BC|5x，由椭圆定义：|AC|BC|2a8x，那么2c|AB|4x，e.三、解答题15已知点P在以坐标轴为对称轴，长轴在x轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为4和2，且点P与两焦点连线所张角的平分线交x轴于点Q(1,0)，求椭圆的方程解析根据题意，设所求椭圆方程为1(ab0)，|PF1|4，|PF2|2，2a6，即a3，又根据三角形内角平分线的性质，得|PF1|PF2|F1Q|QF2|21，即c12(c1)，c3，b2a2c218，故所求椭圆方程为1.16. 设P是椭圆1(ab0)上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且F1PF290，求证：椭圆的圆心率e.证明证法一：P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|PF2|2a，在RtF1PF2中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，由2，得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2，|PF1|PF2|2(a2c2)，由和，知|PF1|，|PF2|是方程z22az2(a2c2)0的两根，且两根均在(ac，ac)之间令f(z)z22az2(a2c2)则可得()2，即e.证法二：由题意知cb，c2b2a2c2，故e.17椭圆1(ab0)的离心率为，椭圆与直线x2y80相交于P、Q，且|PQ|，求椭圆方程解析e，b2a2.椭圆方程为x24y2a2.与x2y80联立消去y得2x216x64a20，由0得a232，由弦长公式得10642(64a2)a236，b29.椭圆方程为1.18过椭圆1内一点M(2,1)的一条直线与椭圆交于A，B两点，如果弦AB被M点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由解析设所求直线存在，方程y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得