高中数学教学论文 挖掘数学新教材中的美学因素及其教育.pdf

挖掘数学新教材中的美学因素及其教育功能 挖掘数学新教材中的美学因素及其教育功能 摘要 数学美是高中新课程教学中极具挖掘潜力的内容之一 本文通过对高中数学新教材中 教学内容的美学因素的挖掘 阐述了数学美在培养学生的审美能力 激发学生的学习兴趣和 热情 启迪学生思维 开发学生智力和创造力 提高学生分析解决问题的能力和效率等方面 的作用 关键词 数学美 简洁性 对称性 和谐性 奇异性 数学美源于人们的生产与生活中 是自然美的客观反应 普通高中 数学课程标准 指出课 程目标之一是 开阔数学视野 认识数学的科学价值 应用价值和文化价值 体会数学的美 学意义 数学是人类文化的重要组成部分 数学素质是公民所备必的一种基本素质 对数 学的进一步认识和了解 可以使人获得美的感受 数学的美不仅有生活中的美 更有思维领 域的美 它体现在数学的简洁性 和谐性 称性性 奇异性等方面 一 挖掘新教材中的美学因素 新教材中有丰富多彩的数学美学因素 下面主要从四个方面来挖掘教材中的美学内容 1 简洁性 简洁性是数学美的一个基本特征 它反映出自然的简单性 是自然内在的属性 而不是人为 的简单规定 数学的简洁性并不是指数学内容本身简单而主要表现在数学的逻辑结构 方法 和表达式的简单性 如 5 个 12 相乘 可以写为 12 12 12 12 12 但是的表示方 法却要简单得多了 以同样的简洁表示了更复杂的内容 勾股定理 正弦正理 余弦 定理等这些定理形式简洁 内容深刻 作用很大 平面的基本性质之一 不在同一条直线 上的三点确定一个平面 体现了 三点定面 的简单特性 在证明与自然数有关的问题时 数学归纳法不失为一种简洁的方法 等差 等比数列的通项 前项 n 和可以用公式来表示 曲线和点的轨迹可以用方程来表示等等都表现了数学的简洁美 1 对称性 对称性是数学美的主要表现形式之一 数学中的中心对称 轴对称和镜面对称 都给人以美 感 这就是数学中的对称美 例如 几何中的许多图形 圆 球 圆柱 圆锥 长方体 圆 锥曲线等都体现了对称美 代数中 偶函数的图像关于 y 轴对称 奇函数图像的关于原点对 称 反函数与原函数的图像关于直线 y x 对称都给人以赏心悦目之感 二项展开式 等公式也显示一种对称美 2 和谐性 数学的和谐性是指数学中部分与部分 部分与整体之间的和谐平衡与一致 通常表现为数学 概念 规律 方法的统一 数学与其它学科的统一 例如 平面几何中梯形 三角形 平行 四边形 矩形的面积公式 可以统一为 立体几何中柱体 锥体 台体的体 积公式可以统一为 解析几何中 椭圆 双线 抛物线的定义可以简 单地统一为圆锥曲线的第二定义 引入负数 有了相反数的概念后 有理数的加法和减法得 到了统一 它们可以统一为代数和的形式 数 形本是数学研究的两个独立的对象 通过坐 标系的建立 使点与数对建立了一一对应 从而把它们统一为解析几何 1 3 奇异性 数学的奇异性是指数学结论或解决问题方法的新颖 奇巧 出乎意料 往往勾起思想上的震 动 引起人们的赞赏与叹服 在这种意义上奇异也是一种美 奇异到极点更是一种美 例如 用数形结合法 反证法 转化法思想方法解题 用极限思想将循环小数化为分数都给人以奇 特之美感 复数中 向量将复数运算与几何统一起来 原函数与反函数之间的定义域与值域 的相互变换 平面图像与空间图形之间的内在联系 三角形中三条高线 三条边的中线 三 个角的平分线交一点等都体现了奇异美 此外 高中数学中有很多平滑曲线 如椭圆 双曲线 抛物线 指数函数 对数函数 幂函 数的图象 这些曲线画起来流畅自然 无一不给人以美感的享受 正 余玄曲线 象波浪一 样滚滚前进 给我们运动的感觉 体验到动感的美 二 挖掘数学美在教学中的作用 高中数学新教材中 简洁美 对称美 和谐美 奇异美比比皆是 数学教学过程中 挖掘教 材中的美学因素 引导学生发现数学美 体验数学美 培养学生的审美观 充分发挥数学美 在教学中的作用 将是非常有意义的工作 1 利用数学美激发学生的学习兴趣和热情 正确的学习目的对学生学好数学固然重要 但所学材料的情趣和审美价值却是学习的最佳剌 激 数学教师应当充分挖掘教材的美学因素 把数学教学组织成为发现 鉴赏 创造数学的 过程 例 1 在 椭圆的定义和标准方程 一节的教学中 应始终抓住椭圆具有和谐美 对称美的 基本特征 从定义到建系设点 从列式到布列方程 从化简到得出标准方程 无一不可以组 织成为具有美学结构 使学生在积极思考状态中完成学习的一堂优质课 我认为这节课的教 学应该这样处理 由 MF1 MF2 2a 得 教师 方程 能不能作为椭圆的方程 稍后 完全可以 但是你满意吗 稍后 不满意 它不符合数学美的简洁特征 有继续化简的必要 学生 此时 求简的意识油然而生 经两次平方 根式化简的常规方法 整理得 教师 此方程比方程 简单多了 但它不完全符合数学美的要求 我们从椭圆的对称性 期 望它的方程也应具有对称性 设得 椭圆的标准方程 教师最后指出 引进的字母 b 纯粹是由对美的追求人为制造出来的 通过后面的学习 我们 将会发现有着鲜明的几何意义 并且果真符合对称美的要求 教师通过精心设计 生动语言 精辟的分析 严密的推理 有机的联系 定能使学生在美的 熏陶中 体会到数学美的力量 从 学习数学枯燥无味 中解脱出来 进入其乐无穷的境地 这种心理上得到满足 能不使学生喜爱数学吗 2 利用数学美培养学生的审美能力 2 首先教师要引导学生感知数学美 体验数学美 通过具体数学知识的学习和问题的解决 点 拔蕴含其中美的因素和美的方法 加深学生对美的认识与理解 这就要求教师在平时的教学 中不断地挖掘教材中的数学美的内容 例 2 对六组诱导公式的记忆 可以利用它们之间的和谐关系 把它们统一于式子 得到记忆法则只要用两句简洁的话 奇变偶不变 符号看象限 就可以 了 这创造性的语言 体现了数学的统一美 三角恒等变换中需要记忆的公式很多 我们可 以 从 这 些 公 式 的 内 在 联 系 入 手 首 先 推 导 公 式 然 后 从 得到两角和与差的三角函数公 式 令 又可得到两倍角公式 作角与式的变换 又可得到降幂公 式 半角公式以及积化和差 和差化积公式 其次 教师要引导学生评判数学美 数学教育应使学生获得对数学美的分辨能力 在数学活 动中 善于了解和掌握各种数学信息 指导学生能快速 敏捷地找出数学信息的不同之处 辩出真伪 使数学信息有序化 统一化 例 3 一元二次方程的求根公式 这一解无 论从哪方面看都不对称 不和谐 不美观 但是 当我们了解它 运用它 就会感到它的价值 它的 内秀 这一公式会告诉我们许多信息 表示它的 2 个根 会显示根 的数目及方程的性质 所以当你和它熟悉了 就会觉得它形式上不很漂亮 本质却是美好的 通过数学美对学生审美能力的培养 学生能在数学美享受中启迪心灵 引起精神升华 陶冶 情操 提高思想品德修养 潜移默化地培养科学世界观 形成高尚的情操和对真理的执着追 求 3 利用数学美启迪学生思维 开发学生智力和创造力 简单性可寻求问题的最优解答或简缩思维过程 统一性可对命题作出类比 推广和引伸 从 而发现新问题 对称性可培养学生对立统一的思维方式 提供集中思维和发散思维的思路 奇异性可激发学生探索 发现 创新等精神 例 4 正方体 等边圆柱 球的表面积相同 其体积分别为 则大小关系为 推证 设正方体的棱长为 a 等边圆柱底面半径为 r 球半径为 R 则所以 而 所以 3 因为 所以 这个例题 基础好的同学可以推导出结论 但感觉很繁 基础较差的同学基本上就放弃了推 证 若我就此只教会学生推证过程 所有同学都会感到数学枯燥无味 会失去对数学的积极 情感 以致失去信心 于是我从问题与自然相互联系的统一美 和谐美思考 提出两个问题 1 气球为什么呈球形 而不是呈正方形 圆柱形 2 人从瘦变胖 脸形怎样变化 这时同学们活跃起来 先是不明白这与例题有何关系 再经过讨论又觉得真实可信 渐渐得 以明白 表面积 表皮 一定时 以呈球形的容积最大 再推广 表面积 表皮 一定时 表面越光滑的几何体体积越大 这时 我再让学生做如下例题 例题 正四面体和等边圆锥表面积相等 体积哪个大 学生很快答出 等边圆锥的体积较大 至此学生已经在不自觉中接受了这种思维 但我没有结束问题 而又提出上述问题伴随的问 题 使学生领略到思维中的奇异美 例 5 正方体 等边圆柱 球的体积相等 其表面积分别为 S1 S2 S3 则 S1 S2 S3 的 大小关系为 这次 学生很快就得出结论 S1S2S3 并总结 体积一定的几何体 以球的表面积最小 这样 学生对这个数学问题的掌握 理解就比较透 也有利增强学生的学习兴趣 培养其创 新意识 也正是在这样的教与学中 蕴含着数学思维的对称美 奇异美 和谐美 让人有返 璞归真的感觉 4 利用数学美提高学生分析解决问题的能力和效率 出于数学美的考虑而导致解题思路的设计与发现 叫做以美启真 这种解题策略将数学的简 洁美 对称美 和谐美 奇异美与问题的条件或结论相结合 再凭借知识 经验与审美直觉 从而确定解题总体思路或入手方向 于是 美的启示就帮助学生提高分析解决问题的能力 从而形成了数学中的美学方法 例 6 设 x y z 0 分析 由已知可看出 条件具有对称性 字母 x y z 分别作轮换 作为 整体在轮换下保持不变 为追求欲求式中三项的和谐统一 审美直觉心理倾向于每个括号里 各添一项 美化成关于的统一式 解 原式 x y z x y z 3 3 通过数学美的指引 获得了解题的突破口 问题得到了完美的解决 使学生体会到数学美的 作用 当学生真正领悟数学中的美学因素 所带来的快感莫过问题的解适合心灵的需要 我 们在解题教学中若能充分注意到这一点 将会大大促进学生逻辑思维的发展 如此的问题要 4 5 靠我们教师在教学中挖掘并总结 我们应充分利用数学的美学因素进行教学分析和解题研 究 以便提高学生分析问题的能力和效率 以上观点及论证 足以说明数学美学因素所起的作用 它在不知不觉中充当了目标取舍 方 向确定 方式选择的重要决策因素 这是审美能力的体现 我们数学的教与学 若能更多 地挖掘数学新教材中的美学因素 就会使学生灵活运用数学知识 活跃数学思维 进而增强 学生对数学的积