一元二次方程复习辅导.doc

一、一元二次方程及解法 1一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a0) 2一元二次方程的解法：（把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程进行求解。）、直接开平方法 例题： 925 = 0 (2x + 1)2 9 结论：以下形式可以用直接开平方法p （p0） 直接开平方得：x x1 x2 (mx + n)2 p（p0） 直接开平方得：mx + n x1 x2 练习：用直接开平方法解方程 29 = 0 (3x + 1)2 4 、配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法例题： x2 + 16x -16 = 0 3x2 - 6x + 1 = 0基本方法：移项；二次项系数化为1； 配方；开方。练习：用配方法解下列方程 6x7=0 3x1=0 、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0例题： 41 = 0 x(x - 2)+ (x - 2) 0 6x7=0练习：用因式分解法解下列方程： 3x(2x + 1)4x + 2 3x18=0、公式法 一元二次方程的判别式，当时，方程有两个不等的实根。 当时，方程有两个相等的实根。当时，方程没有实数根。例题： x6x+1 = 0 4x3x1=x2 练习：用公式法解下列方程： x+ x 6 = 0 x+ 4x + 8 = 5x + 11 归纳总结： 面对一个一元二次方程，观察到不方便用因式分解法时，就直接用公式法。一般情况下不用配方法。巩固练习解下列一元二次方程(选择合理的方法)（1） （2）（3） （4） （5） （6）（7） 3 x（x - 2）+ 2（x - 2）= 0 （8） （x + 1）（x + 2）= 2x + 4（9） x- 9x + 18 = 0 拓展训练、填空题：1、方程（x4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。2、关于x的方程（a2）x2 + ax + 5 = 0是一元二次方程的条件是 。3、如果关于x的方程mx2 +（m1）x + 5 = 0有一个解为2 ，则m的值是 。4、已知关于x的方程ax2 + bx + c = 0（a0）的两根为1和1，则a + b + c = ，ab + c = 。5、方程3（x + 7）=x（x + 7）的解为 。6、x24x + = （x ）27、已知一元二次方程ax2 + 4x + 2 =0 且b24ac = 0，则a = ，x = 。8、若关于x的的一元二次方程x23x + m = 0有实数根，则m的取值范围是 。、选择题：1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A、 B、 C、 D、2、解方程（x +5）23（x +5） =0，较简便的解法是（ ）A、直接开平方法 B、因式分解法 C、配方法 D、公式法3、方程x3x+2m=0有实根，则m的取值范围是（ ）A m B mC m D m4、方程中一根为0，另一根不为0，则m、n应满足（ ）A m=0,n=0 B m=0,n0 C m0,n=0D m0, n0、解答题：1、已知关于x的方程（m21）x2 + （m + 1）x + 1 = 0 （1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）当m 为何值时，此方程为一元一次方程？2、已知x = 2是方程x2mx + 2 =0的一个根，试化简。3、试证明关于x的方程（m28m + 17）x2 +2m +1 =0，不论m为何值，该方程都是一元二次方程。 一个三角形的边长是3和7，第三边长是整数a，且a满足a210a +21 =0，求三角形的周长。4、已知关于x的方程x(k+2)x+2k=0，试说明：无论k取任何实数值，方程总有实数根。二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一、违达定理已知一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a0) 两根分别为x1、 x2则：x1+ x2 = - x1 x2 = 二、违达定理基础巩固求下列方程两根的和与积（设两根分别为x1、 x2） x2 - 6x -15 = 0 5x2 + x -5 = 0 2x2 - 5 = 6x + 9 三、违达定理拓展训练选择题1若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）A2 B1 C1 D32若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22 的值是 ( ) A B C D73下列说法中不正确的是 ( ) A方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2 B方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5 C方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18 D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为4已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根为2，设方程的另一个根为x1，则有（ ）Ax1=，k=-7 Bx1=-，k=-7 Cx1=-，k=7 Dx1=，k=7填空题1已知一元二次方程的两根为、，则 2如果，是方程的两个根，那么 3设x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则(x1+1)(x2+1)= 4若方程的两根为a、，则 5请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次程： 解答题1已知关于x的二次方程x2+mx-1=0的一个根是，求另一个根及m的值2已知关于x的方程x2（k+1）x+ k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值三、一元二次方程的实际应用1、个体户张某原计划按600元/套销售一批西服，但上市后销售不佳。为了减少库存积压，张某将这批西服连续两次降价处理，价格调整到了384元/套，如两次降价折扣相同，求每次降价率为多少？两次打折均打多少折？ 答案：降价率是20%，都打八折2、已知连续两个奇数之积是143，求这两个奇数。答案：设x, x+2.两个奇数是11和13,或-13与-113、学校课外生物小组的试验园地是长18米、宽12米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为196平方米，求小道的宽答案：0.5m4、把一个长方形铁片的四角剪去四块边长为5的正方形，组成一个无盖的长方体，长方体的体积是30003，铁片长和宽的长度之比为4：3，求这块铁片的长和宽各是多少？ 答案： 40 30 5、将一条长为20的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。要使这两个正方形的面积之和等于172，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 答案： 16 4能力训练：1 填空题：1、若从一块正方形的铁板上的一侧裁去一块3m宽的长方形铁板，剩下的面积为40m2，则原来的这块铁板的面积为 64 。2、如图 是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm的无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为 x cm，则可列出关于x的方程为 (9-2x)(5-2x)=12 。、选择题：1、某超市一月份的营业额200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程为（ D ） A、200（1 + x）2 = 1000 B、200 + 2002x =1 C、200 +2003x =1000 D、200 1 +（1 + x） +（1+ x）2 =1000 2、某商品连续两次降价10% ，结果价格为m元，则该商品原价为（ C ） A、元 B、1.21元 C、元 D、0.81元 3、在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图。如果要使整个挂图的面积是5400cm，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（B） A. x2 + 130x -1400 = 0 B. x2 + 65x -350 = 0C. x2 - 130x -1400 = 0 D. x2 - 65x -350 = 04、有一个面积为16cm2的梯形，它的一条底边长为3cm，另一底边长比它的高线长1cm，若设这条底边的长为x cm，依题意，列出方程整理得 （ A ）A. x2 + 2x - 35 = 0 B. x2 + 2x - 70 = 0C. x2 - 2x - 35 = 0 D. x2 - 2x + 70 = 05、如图3，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ A ）A1米B1.5米C2米D2.5米6、借助一面墙为一边，再用13米长的篱笆围成一个面积为20平方米的长方形场地，求长方形场地的长和宽。设长为x米，依题意，列出方程（ C ）Ax（13 - x ）= 20 B. x（13 - 0.5 x ）= 20C x = 20 Dx = 20 7、如图，矩形ABCD的周长是20 cm，以AB、AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68 cm2，那么矩形ABCD的面积是（B）A21 cm2 B16 cm2 C24 cm2 D9 cm28、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是 （ B ） A. 168(1a%)2128 B. 168(1a%)2 128C. 168(12a%)128 D. 168(1a2%)1289、近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为（ D ）A(1 + x)2 = 2000 B2000(1 + x)2 = 3600C(3600-2000)(1 + x)2 = 3600 D(3600-2000)(1 + x)2 = 3600、解答题： 1、在矩形场地的中央修建一个正方形花坛，花坛四周的面积与花坛面积相等，如果场地的长比花坛的边长多6m ，场地的宽比花坛的边长多4m，求矩形场地的长和宽。答案：设正方形边长为X，则长方形的长为6+X，宽为4+X（6+X）（4+X）=2X2 X=12 长和宽分别为18米和16米 2、某工厂计划2年后使产值翻一番，求平均每年的增长率。（精确到0.01） 答案： 0.413、益群精品店以