高中数学练习题6.doc

授课时间： 2006年9月11日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2006年10月11日 使用班级： 造价06-1(3) 授课时间： 2006年10月9日 使用班级： 造价06-2(3) 授课时间： 2006年9月11日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2006年9月12日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第1章 极限与连续第1节 初等函数教学目的：1、复习基本初等函数的定义、图像、性态，为研究微积分做好准备2、理解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的分解3、理解初等函数的概念及与分段函数的关系4、了解从实际问题中的建立函数关系教学重点：基本初等函数、复合函数的概念、复合函数的分解教学难点：反三角函数、复合函数的分解教学方法：讲授，启发式、讲练结合教学手段：传统式作业：P18 3、5、12、16、18教案实施效果追记：1、文科同学对反三角函数不熟悉，重点复习2、复合函数的分解强调是复合过程的分解，注意其结果形式第1章 极限与连续第1节 初等函数讲授新内容一、基本初等函数定义 设D是一个实数集，若对属于D的每一个数，按照某个对应关系，都有唯一确定的值和它对应，则叫做定义在数集D上的的函数，记作 。叫做自变量，数集D叫做函数的定义域。当取遍D中一切数值时，与它对应的函数值的集合M叫做函数的值域。但在同一个问题中，如需要讨论几个不同的函数，为区别起见，可用不同的函数记号来表示。例如，以为自变量的函数也可表示为F（）， （），y（），S（）等。函数当时，对应的函数值，可记作或。在研究函数时，必须注意函数的定义域。在考虑实际问题时，应根据问题的实际意义来确定定义域。对于用数学式子表示的函数，它的定义域可由函数表达式本身来确定，即要使运算有意义。例如（1）在分式中，分母不能为零；（2）在根式中，负数不能开偶次方；（3）在对数式中，真数要大于零；（4）在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；（5）若函数表达式中含有分式、根式、对数式或反三角函数式，则应取各部分定义域的交集。例1求下列函数的定义域。 （1） （2） （3） 解（略）注意：两个函数只有当它们的定义域和对应规律完全相同时，这两个函数才认为是相等的。 例如函数与y=1，它们的定义域和对应规律都相同，所以它们是相等的函数。又如函数 与，它们的定义域不同，所以它们是不同的函数。 例2 设，求，。另外，在函数的定义中，并没有要求自变量变化时函数值一定要变，只要求对于自变量都有唯一确定的y与它对应。故常量也符合函数的定义，因当时，所对应的值都是确定的常数，通常称（为常数）为常函数。函数的表示方法，常用的有解析法、表格法和图像法三种。幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这5类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。图1-1（1）幂函数 它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义。常见的幂函数的图形如图1-1所示。（2）指数函数 图1-2它的定义域为，值域为。指数函数的图形如图1-2所示（3）对数函数 定义域为，值域为。对数函数是指数函数图1-3的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。图1-4图1-5（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等它们的图形如图1-5所示。二、复合函数定义 设函数，而是的函数，若的函数值全部或部分在的定义域内，此时也是的函数，我们称此函数为由函数和复合而成的函数，简称复合函数，记为，其中称为中间变量。例3 指出下列各复合函数的复合过程和定义域：（1） ； （2）解 （略）注意1、不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。例如和就不能复合成一个复合函数。因为，对于的定义域为（-，+）中的任何值所对应的值都大于或等于2，它们不能使有意义。2、把一个复合函数分解成若干个较简单的函数,一般应遵循的原则是,使分解后的每一个函数都是基本初等函数或基本初等函数与常数的四则运算的形式。3、复合函数的中间变量有时不止一个。请看下例例4 指出下列各复合函数的复合过程，并求定义域(1) ; (2) (3) (4) 三、初等函数定义 由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次的复合所构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。初等函数能用一个式子表示，例如都是初等函数。初等函数是微积分研究的主要对象。分段函数，能化为，而是由和复合而成的，因此它是一个初等函数。而分段函数不能用一个式子表示，因此它不是初等函数。求分段函数的函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表示式进行计算。例5 设函数 ，求复合函数。解 这是一个分段函数复合问题，先画出中间变量的图像由于可知，有，当时，有，当时，有。综上所述，所求复合函数也是一个分段函数，即四、建立函数关系举例例6 将直径为的圆木料锯成截面为矩形的木材（图1-13），列出矩形截面与它的两条边长之间的函数关系。解 （略）例7 弹簧受力伸长。由实验得知，在弹性限度内，伸长量和受力大小成正比。现在已知一弹性限度为牛顿的弹簧，受力9.8牛顿时，伸长0.02米，求弹簧的伸长量和受力之间的函数关系。解 （略）例8 已知一个单三角形脉冲电压，其波形如图1-15所示，求电压与时间t的函数关系式。 解（略）小结（时间：2分钟）：1、基本初等函数是构成初等函数的要素，应熟记其图像、性质、特点。2、复合关系不同于四则运算关系，应掌握分解其复合过程。3、初等函数、分段函数是微积分的研究对象， 两者之间有交集。授课时间： 2006年9月14日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2006年10月13日 使用班级： 造价06-1(3) 授课时间： 2006年10月11日 使用班级： 造价06-2(3) 授课时间： 2006年9月15日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2006年9月15日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第1章 极限与连续第2节 数列极限的定义与性质 第3节 函数的极限教学目的：1、理解数列极限的两个定义，会利用数列的极限描述性定义求极限。2、记忆并应用无穷递缩等比数列的求和公式。3、理解当时函数极限的两个定义及其关系，并会根据图像求简单函数的极限。4、理解当时函数极限的两个定义及其关系，并会利用其关系讨论分段函数在分界点处的极限的存在性。教学重点：数列极限概念、当时函数极限概念教学难点：极限概念的定义教学方法：讲授，启发式、数形结合教学手段：传统式作业：P22 1、2、3、4教案实施效果追记：通过各种类型数列举例和其在直角坐标中的图像演示，大多数同学能够理解定义。第1章 极限与连续第2节 数列极限的定义与性质 第3节 函数的极限一、数列的极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数。当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确。但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。数列又称整标函数，即以正整数集或以其子集为定义域的函数。现在我们考察当自变量无限增大时，数列的变化趋势。先看下面几个数列：（1） （2） （3）（4） （5） （4）为了清楚起见，我们把这两个数列的前几项分别在直角坐标上表示出来。（图略）由图看出，当越来越大时，数列（1）（2）（3）（4）中的值以各种方式越来越接近于某一常数；数列（5）的数值在1和-1之间来回跳动，（6）的数值无限增大。定义 若当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数A，则称A为数列的极限，记为 或（当 时）。 由定义及（1）、（2）可知，当时，数列的极限为零；数列，的极限为1，它们可分别记为与。若A为数列的极限，便说数列收敛于A。一个数列若有极限，便说它是收敛的，否则称它为发散的。例1 考察数列的变化趋势，写出它们的极限。（1）； （2）； （3）解 （1） 当n=1，2，3，4，5时，数列的各项依次为由此可知，当n无限增大时，无限接近于，所以由定义得。 （2）由于，即不论项数n为何值，数列恒等于2，所以当时，2与完全相同，因此。（3）由于，显然，。可以看出，当时，的值可以达到任意小，与0无限接近。因此。为了更精确的描述数列的极限，我们给出数列极限的“”定义。引例 已知数列问当取何值时有： 定义 若对于任意给定的正数，不管它多么小，总存在一个正整数，使得当时，不等式恒成立，则称常数为数列的极限，记作 或 等比数列当时,该等比数列称为无穷递缩等比数列。它的前项和现在求时,的极限。 也就是说无穷递缩等比数列（公比）的求和公式：。例11 求等比数列前项和，并求当时，的极限值。解 因为公比，所以。例12 将循环小数化成分数. 第三节 函数的极限1、当时函数的极限表示自变量的绝对值无限增大。为了区别起见，把且无限增大，记为；且无限增大，记为。考察当时，函数的变化趋势。由图可以看出，当的绝对值无限增大时，的值无限趋于零，即当时，。 对于这种当时，函数的变化趋势，给出下面的定义： 定义：设函数在上有定义，若当的绝对值无限增大（即）时，函数无限接近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，记为或（当时）定义： 设函数在（或）上有定义，若当（或）时，函数无限接近于一个确定的常数，则就称为函数当（或）时的极限，记为 或（当时）举几个例子：1、由图观察得和由于，当和时，函数不是无限接近于同一个确定的常数，所以不存在。2、 求和解 如图所示，可知 ，。由定义1与定义2可知，引例：已知，问为何值时有（证明分析略）定义： 函数在处有定义，若对于任意给定的正数，不管它多么小，总存在一个正整数,使得当时所有，不等式 恒成立，则称常数为函数当时的极限，记为或当时,.三、当时，函数的极限定义： 以为中心，以为长度的开区间，如图 (a)所示，叫做点的邻域在点的邻域中去掉点，所得区间如图 (b)所示，称为点的去心邻域引例：考察当时，函数的变化趋势（分析略）。由此可知，当时，函数的值无限接近于2 。对于这种当时，函数的变化趋势，给出下面的定义。定义： 设函数在点的某个去心邻域内有定义，若当无限接近于定值，即（可以不等于）时，函数无限接近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，记为 或（当时）。例2 在单位圆上观察和的值。解 作单位圆，并取AOB=弧度，如图1- 23，则sin=BA，cos=OB。当时，BA无限接近于0，OB无限接近于 1，所以，例3 考察极限（为常数）和。解 设=C，因为当时，的值恒等于C，所以因为当时，的值无限接近于，所以。引例 设函数，为何值时有：（1）（2）。（证明略）定义： 设函数在点的某个去心邻域内有定义,若对于任意给定的正数，不管它多么小，总存在一个正整数,使得当时，不等式 恒成立,则称常数为函数当时的极限,记为或当时,。注：若极限存在时（1）是唯一的确定的常数；（2）表示从的左右两侧同时趋于；（3）极限的存在与在有无定义或定义的值无关。定义： 若函数在内有定义，并且当仅从的左侧无限接近于（即）时，函数无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数当时的左极限，记为（或）若函数在内有定义，并且当仅从的右侧无限接近于（即）时，函数无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数当时的右极限，记为（或）。左极限和右极限统称为函数的单侧极限。容易证明，若极限，则一定有；反之，结论也成立。但当及都存在但不相等时， 不存在。例6 讨论函数当时的极限。解 作函数的图像，如图所示 由图可知，函数当时左极限为 右极限为 因为 ，所以不存在。例8 讨论函数当时的极限。（解略） 小结：1.正确理解数列极限的概念，会通过观察得出数列的收敛情况。 2.正确理解函数当时的极限及两个单向极限的概念和关系，会观察简单函数无穷远处的极限。3.函数当及左、右极限的概念及其关系。授课时间： 2006年10月9日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2006年10月18日 使用班级： 造价06-1(3) 授课时间： 2006年10月16日 使用班级： 造价06-2(3) 授课时间： 2006年10月9日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2006年10月11日 使用班级： 隧道工程06-1(3)授课章节名称：第1章 极限与连续第4节 极限的运算法则教学目的：能够熟练应用极限的四则运算法则求函数的极限，在应用中掌握 型极限的处理方法。教学重点：应用极限的四则运算法则计算极限教学难点：各种极限的处理方法教学方法：讲授，启发式、讲练结合教学手段：传统式作业：P33 1、2、3、4 教案实施效果追记： 极限的运算是本章内容的重点，要求学生知道每一步骤的原理，从而采取相应的方法。第1章 极限与连续 第4节 极限的运算法则复习及课题的引入：前面我们给出了函数极限的定义，并观察求出了简单函数的极限，但对于较复杂的函数的极限就难以观察求得，因此需要研究函数极限的运算。讲授新内容：一、极限的四则运算法则：设，则推论1当时，由得，（为常数）推论2：当时，由得，推广，对于正整数，有 （）注意：(1)上述运算法则对、或、的情形也是成立的。（2）法则和可以推广到有限多个具有极限的函数情形。（3）上述函数极限的运算法则，对数列的极限也适用。例1 求例2 求 例3 求例4 求极限。解 当时，分母的极限为零，所以不能应用极限运算法则。但因为即 是当时的无穷小，根据无穷大与无穷小的关系可知，它的倒数是当时的无穷大，即。例5 求解 因为和都不存在，所以不能应用极限的运算法则。但因为即是时的无穷小，所以它的倒数是当时的无穷大，即。例6 求解 因为分子及分母的极限都不存在，所以不能应用极限运算法则,先用同除分子、分母, 然后取极限.。例7 求。解 由无穷大与无穷小的关系，得 例6、例7所用的方法，称为无穷小分出法，归纳例5、例6的方法可得以下的一般结论，即当时，有 例8 求解 因为 所以 例9 求解 = 例10 求解 原式小结：1、本节介绍了极限的四则运算求极限，它是求极限的最基本方法，利用此法则求极限时，要注意：(1)参与运算的每一个函数的极限存在;分母的极限不能为零。(2)若分母的极限为零时,可以用无穷小与无穷大的关系求极限。(3)若分子、分母的极限均为零时, 这时分子、分母必有公因子，设法消去分子、分母中极限为零的公因子之后再求极限。(4)若分子、分母的极限均为无穷大时, 先将分子、分母同时除以分母的最高次幂，再利用极限的描述性定义求极限。 授课时间： 2006年10月12日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2006年10月20日 使用班级： 造价06-1(3) 授课时间： 2006年10月18日 使用班级： 造价06-2(3) 授课时间： 2006年10月13日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2006年10月13日 使用班级： 隧道工程06-1(3)授课章节名称：第1章 极限与连续第5节 两个重要极限教学目的：熟练掌握利用两个重要极限求极限教学重点：两个重要极限求极限教学难点：同上教学方法：讲授，启发式、举例教学手段：传统式作业：P37 1、2教案实施效果追记： 强调重要极限的基础性第1章 极限与连续第5节 两个重要极限讲授新内容 注意1 为了更好利用第一个重要极限求极限，应掌握好如下模型：成立的条件是在给定的趋势下，两个应该是一模一样的无穷小量。2 第一个重要极限可以解决型，含三角函数的未定式。例1 求极限解 令，则当时，有，于是例2 求极限。解 由于令，当时，故例3求极限解由于时，可得例4 求极限 。解 。例5 求.解 令，则，当时，有，于是 例6 求解 因为 当时， ,(1-)，所以。注意：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。例如 。 若另，则时，因此有于是得重要极限的另一常用形式 。注意1， ， 三种形式也可统一为模型成立的条件是在给定趋势下，两个是一模一样的无穷小量。2 第二个重要极限解决的对象是型未定式。例7 求极限 解 先将改写为，再另，由于当时，从而。例8 求极限解 令，则当时，故 =。例9求极限解 令 ,则 ,由于,当时,所以 小结：利用两个重要极限求极限时,要注意把原式凑成与公式等价的式子,如 与 等价； 与等价，凑成与公式等价的式子后便可利用直接求极限。授课时间： 2006年10月16日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2006年10月25日 使用班级： 造价06-1(3) 授课时间： 2006年10月23日 使用班级： 造价06-2(3) 授课时间： 2006年10月23日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2006年10月25日 使用班级： 隧道工程06-1(3)授课章节名称：第1章 极限与连续第6节 无穷小与无穷大教学目的：1、正确理解无穷小和无穷大的概念。2、掌握无穷小的性质，理解无穷小与极限的关系定理和无穷小与无穷大之间的关系。3、了解无穷小的代替定理求极限教学重点：无穷小与无穷大的概念、无穷小的性质教学难点：同上教学方法：讲授，启发式、举例教学手段：传统式作业：P42 1、3、4、6教案实施效果追记：学生只注意到等价无穷小的代替计算极限步骤较简单，需强调重要极限的基础性。第1章 极限与连续 第6节 无穷小与无穷大讲授新内容一、无穷小1.无穷小的定义新课的引入：在实际问题中，我们经常遇到极限为零的变量例如，单摆离开铅直位置而摆动，由于空气阻力机械摩擦力的作用，它的振幅随着时间的增加而逐渐减少并趋近于零。又如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零。定义： 若当（或）时，函数的极限为零，则称函数为当（或）时的无穷小量，简称无穷小。例如，因为=0，所以函数是当时的无穷小。应该注意：（1）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋向，如函数-1是当时的无穷小，而当趋向其它数值时，-1就不是无穷小。（2）不要把一个绝对值很小的常数（如0.00001或-0.00001）说成是无穷小，因为这个常数在（或）时，极限为常数本身，并不是零。（3）常数中只有“0”是无穷小，因为， 。（4）无穷小的概念包括数列趋于0的情形。2. 无穷小的性质性质1 有限个无穷小的代数和是无穷小。性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。性质3 有限个无穷小的乘积是无穷小。以上各性质证明从略。例1 求解 当时，的极限不存在。但因为，所以，是当时的无穷小。而，所以是有界函数，根据无穷小的性质2，可知例2 求解 当时，分子及分母的极限都不存在，所以不能应用极限法则但可以看作是与的乘积因为当时，是无穷小，而是有界函数，所以根据无穷小的性质2，可知3. 函数极限与无穷小的关系下面的定理将说明函数、函数的极限与无穷小三者之间的重要关系。定理3 若，则（其中）；反之，若且，则。（证明从略）这就说明了；具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和反之，设，其中为常数，是当时的无穷小，则这就说明了若函数可表示为常数与无穷小之和，则该常数就是这个函数的极限类似地可以证明当时的情形二、无穷大1无穷大的定义定义： 若当（或）时，函数的绝对值无限增大，则称函数为当（或）时的无穷大量，简称无穷大。若函数当（或）时为无穷大，则它的极限是不存在的，但为了便于描函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记为如果在无穷大的定义中，对于某个邻域的（或对于绝对值相当大的），对应的函数值都是正的或都是负的，就分别记为或例如 ，当时， 应该注意：（1）说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向，如函数是当时的无穷大，而当时，它就不是无穷大而是无穷小了。（2）不要把一个绝对值很大的常数（如1000000000或-1000000000）说成是无穷大，因为这个常数在（或）时，极限为常数本身，并不是无穷大。2无穷大与无穷小的关系我们知道，当时，函数-1是无穷小，是无穷大。一般地，关于无穷大与无穷小之间的关系有如下定理：定理1-4 在自变量的某一变化过程中，若函数是无穷大，则是无穷小；反之，若函数为无穷小，且，则是无穷大。后面我们会利用无穷大与无穷小的关系求一些函数的极限。三、无穷小的比较观察当时，无穷小趋向于0的快慢。且有。两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向零的快慢程度。下面就以两个无穷小之商的极限所出现的各种情况来说明两个无穷小之间的比较。定义 设和都是在同一自变量的变化过程中的无穷小，又也是在这个变化过程中的极限。（1） 如果，就说是比较高阶的无穷小；（2） 如果，就说是比较低阶的无穷小；（3） 如果（为不等于零的常数）；就说与是同阶无穷小；（4） ，就说与是等价的无穷小，记为。显然，等价无穷小是同阶无穷小的特例，即的情形。以上定义对于数列的极限也同样适用根据以上定义，可知当时，是比3较高阶的无穷小；3是比较低阶的无穷小；3是与同阶的无穷小。例13 比较当时，无穷小与阶数的高低。解 因为=所以是比较低阶的无穷小。定理 (等价无穷小的替换原理) 在自变量同一变化过程中,都是无穷小,且，如果 存在，那么 。根据此定理,在求两个无穷小之比的极限时,若此极限不易求得,可用分子、分母各自的等价无穷小来替换,如果选得适当,可简化运算。证明 例：求解 因为当时，所以 。注意：只有因子才可以用等价无穷小代替。小结：1.无穷小与无穷大的概念，无穷小的性质，无穷小与无穷大的关系。2.通过比较无穷小定义了无穷小的比较定义，会比较其阶的高低。3.无穷小代替求极限是推导出的方法，我们暂且不把它作为重要方法。授课时间： 2006年10月23日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2006年11月1日 使用班级： 造价06-1(3) 授课时间： 2006年10月25日 使用班级： 造价06-2(3) 授课时间： 2006年10月30日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2006年11月1日 使用班级： 隧道工程06-1(3)授课章节名称：第1章 极限与连续第7节 函数的连续性与间断点教学目的：1、理解函数在某一点、左右连续；开区间、闭区间连续的概念2、理解初等函数的连续性3、会讨论函数的连续性，判断函数间断点的类型教学重点：连续的定义，间断点的讨论教学难点：连续定义的理解、讨论连续性教学方法：讲解，启发式、举例教学手段：传统式作业：P54 1、2、3、4教案实施效果追记：1、通过图像的帮助，大多数同学能够连续和间断的本质。2、有些同学讨论连续性不够严密，须强调步骤完整。第1章 极限与连续第7节 函数的连续性与间断点讲授新内容一、函数连续性的概念在许多实际问题中变量的变化常常是“连续”不断的。例如气温随着时间而变化着，当时间的改变极为微小时，气温的改变也极为微小，这就是说气温是“连续变化”的。自然界的许多“连续变化”的现象，在函数关系上的反映就是函数的连续性。这一节里我们将运用极限来定义函数的连续性。下面先介绍函数增量的概念。1函数的增量定义：当变量由变到时，终值与初值的差叫做变量的增量（或改变量），记作，即=。注意：增量可以是正的，也可以是负的。当为正时，变量是增加的；当为负时，变量是减少的。设函数在点的某邻域内有定义，当自变量由变到时，即点处有增量时，函数相应地从变化到，因此，函数y的相应增量为这个关系式的几何解释如下图所示。在图中，(1)为；(2)为；(3)为；(4)为。例1 设-1，求适合下列条件的自变量的增量和函数的增量：（1） 当由1变到1.5；（2） 当由1变到0.5；（3） 当由1变到。 2函数在点处的连续性由图分析得出函数在点处连续的定义。定义1：设函数在点的某邻域内有定义，若当自变量在点处的增量趋近于零时，函数相应的增量也趋近于零，即则称函数在点处连续。 例2证明函数在点=1处连续。在定义1中，设，即，则当时，有 ，此时。因此，函数在点处的连续定义又可叙述如下： 定义2：设函数在点的某邻域内有定义，如果函数当时的极限存在且等于它在点处的函数值，即 则称函数在点处连续。注：指出了函数在点处连续必须同时满足下述三个条件：（1）函数在点的某邻域内有定义；（2）存在；（3）。 例3 证明函数在点=1连续。3函数在区间上的连续性下面先介绍函数的左连续与右连续的概念。定义：设函数在区间内有定义，若左极限存在且等于，即则称函数在点处左连续。设函数在区间内有定义，若右极限存在且等于，即 则称函数在点处右连续。例4 作出函数的图像，并讨论函数在点=1及点=-1的连续性。解 函数在区间内有定义。因为所以，函数在点=1处左连续。因为左极限不等于右极限，所以不存在，即函数在点=-1处不连续。若函数在点处连续，则在点处既左连续又右连续；反之，若在点处既左连续又右连续，则函数在点处一定连续。定义：如果函数在区间（，b）内每一点都连续，则称函数在开区间（，b）内连续，区间（，b）叫做函数的连续区间。定义： 若函数在，b上有定义，在（，b）内连续，且在右端点处左连续，在左端点处右连续，即则函数就在闭区间，上连续。如果函数在闭区间，上连续，则称它为，上的连续函数。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。可以证明：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。4初等函数的连续性定理：（连续函数的四则运算法则） 若函数与在点处连续，则（1） 函数；（2） 函数；（3） 函数 （当时）都在点处连续。只对（1）进行证明，（2）、（3）读者自证。证设因为与在点处连续，所以。又因为所以，函数在点处连续，即在点处连续。类似地可证明，在点处连续。定理：（复合函数的连续性）设函数在点处连续，函数在处连续，且，则复合函数在点处连续。由定理可知，若复合函数在点处连续。则有 。可见，求复合函数的极限时，如果在处是连续的，又在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换。例5 讨论函数的连续性。解 函数可以看作由及复合而成的复合函数，在（-，+）内是连续的，在（-，0）和（0，+）内是连续的，根据定理1-7可知，函数在区间（-，0）和（0，+）内是连续的。我们知道：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。由初等函数的定义及上面的两个定理可以证明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。二、函数的间断点一般说来，如果函数有下列三种情形之一：（1）函数在处没有定义；（2）在点处有定义，但不存在；（3）在点处有定义，且存在，但则函数在点处不连续。我们把点叫做函数的不连续点或间断点。例5 求下列函数的间断点（1）； （2）； （3） 上述两种间断点的特点:在间断点处函数的左极限与右极限都存在， 我们称这样的间断点为函数的第一类间断点。若左极限与右极限中至少有一个不存在，则点称为函数的第二类间断点。例如函数在没有定义，所以，点是函数的间断点。因为即左、右极限都不存在，所以点是第二类间断点。我们又称点是的无穷间断点。又如函数 在点=0有定义，但即左极限存在，右极限不存在。所以点=0是第二类间断点。例6 求函数的间断点并说明其类型。如果是可去间断点则补充定义，使其连续。解 函数 在=0处无定义且 。所以，点=0是可去间断点。如果令=0时y=2，即 则函数在点=0处连续。小结：1、我们用极限定义了函数在一点连续性，要理解在一点的两个定义及左连续、右连续、在区间内连续、区间上连续等概念。2、一切初等函数在其定义区间内都是连续的。3、在求初等函数的连续区间时，只需求该函数的定义域区间即可；对于分段函数，由于在每一段上都是初等函数的形式，因此对于研究段函数的连续区间问题，主要讨论在分段点处的连续性。授课时间： 2006年10月30日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2006年11月3日 使用班级： 造价06-1(3) 授课时间： 2006年10月30日 使用班级： 造价06-2(3) 授课时间： 2006年11月3日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2006年11月3日 使用班级： 隧道工程06-1(3)授课章节名称：第1章 极限与连续第8节 连续函数的运算与初等函数的连续性第9节 闭区间上连续函数的性质教学目的：1、掌握利用函数的连续性求极限3、理解闭区间上连续函数的性质及推论教学重点：利用函数的连续性求极限，最值定理和介值定理教学难点：两个型不定式的求极限方法、定理及推论的理解教学方法：讲解，启发式、举例教学手段：传统式作业：P29 5、7教案实施效果追记： 本节内容理解性较多，注意从几何直观上帮助学生掌握。第1章 极限与连续第8节连续函数的运算与初等函数的连续性第9节闭区间上连续函数的性质讲授新内容一、利用函数的连续性求极限利用初等函数的连续性求函数在其定义域内一点的极限，只需计算的就可以了，这一结论给我们求极限，特别是求复合函数的极限带来了很大方方便。例1 求下列各极限（1）； （2）；（3）。例2求极限解 定理： 设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点连续，那么复合函数当时的极限也存在且等于，即。例3求。解 。特别地：当时， .例4求解 令，则当时，于是 特别地：当时， .例5已知求常数、b的值解 因为所以得a=2，于是=故。二、闭区间上连续函数的性质定义:设在区间上有定义，如果至少存在一点0，使得每一个，都有 （ 或）则称是函数在区间上的最大值（或最小值），并记 或（）；称为函数的最大值点（或最小值点），函数的最大值和最小值统称为最值。例如，函数 在区间0，2上有最大值2和最小值0。又如，符号函数=在区间（-，+）上有最大值1和最小值-1。从上述几个例子可以看到，如果函数在闭区间上连续，则在该闭区间上有最大值和最小值，若在闭区间上不连续，就未必有最大值或最小值，因此有下面的定理。定理（最值定理）：若函数在闭区间上连续，则它在上一定有最大值和最小值。证明略 上图给出了该定理的几何直观图形。注意：定理的条件是充分的，也就是说，在满足定理条件下，函数一定在闭区间上能取得最大值和最小值。在不满足定理条件下，不一定取得最大值和最小值，例如：在区间上不连续，则在该区间上也不一定取得了最大值和最小值，例如：定理（介值定理）： 如果函数在闭区间上连续，且在此区间的两