黑龙江省各市重点高中自主招生二次函数大题练习题及答案.doc

二次函数练习题1（本题14分）已知如图，抛物线与x轴相交于B（，0）、C（，0）(均大于0)两点, 与y轴的正半轴相交于A点. 过A、B、C三点的P与y轴相切于点A，其面积为 .（1）请确定抛物线的解析式；（2）M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交P于点D若AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MBMD的值（先画出符合题意的示意图再求解）2若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=，x1x2=把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1x2|=；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形（1）当ABC为直角三角形时，求b24ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，求b24ac的值3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，BOA=90抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FEx轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M试判断OD与CF是否平行，并说明理由4.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a215a5=0，b215b5=0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值5.如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a0）上（1）求抛物线的解析式（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）6.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内已知AB4米，AC3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？AMBC0.5OD7.已知抛物线上有不同的两点E和F（1）求抛物线的解析式（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且PMQ45，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D设AD的长为m（m0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式BAMCDOPQxy（3）当m，n为何值时，PMQ的边过点F8.（本题满分10分）A、B两个水管同时开始向一个空容器内注水如图是A、B两个水管各自的注水量y（m3）与注水时间x（h）之间的函数图像，已知B水管的注水速度是1m3/h，1小时后，A水管的注水量随时间的变化是一段抛物线，其顶点是（1，2），且注水9小时，容器刚好注满请根据图像所提供的信息解答下列问题：（1）.直接写出A、B注水量y（m3）与注水时间x（h）之间的函数解解析式，并注明自变量的取值范围；yA= ( ) ， yB=2).求容器的容量；3).根据图象，通过计算回答，当yAyB时，直接写出x的取值范围9已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的两个实数根，使得（3x1-x2）（x1-3x2）=-80成立求实数a的所有可能值9.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当0x200时，车流速度是车流密度的一次函数（）当0x200时，求v与x之间的函数的表达式v(x)；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）f(x)=xv(x)可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）10.在中，的长分别是，且.（1）求证：；（2）若2，抛物线与直线交于点和点，且的面积为6（是坐标原点）.求的值；（3）若，抛物线与轴的两个交点中，一个交点在原点的右侧，试判断抛物线与轴的交点是在轴的正半轴还是负半轴，说明理由.11.抛物线与轴交于两点，与轴交于点.（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.12.已知为整数，给出如下三个关于方程： 若方程有两个相等的实数根，方程有且仅有一个方程有两个不相等的实数根，求的值13.某寄宿制学校的一间宿舍里住着若干名学生，其中一人担任舍长元旦时，该宿舍里的每名学生互赠一张贺卡，且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡，问这间宿舍里住有多少名学生？14.在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为且；将平行四边形绕点顺时针旋转得平行四边形，与相交于点（）当时，求的周长；（）若抛物线同时过四个点、求的值；点是抛物线在第一象限内的一个动点，以点为圆心的圆 始终与直线相切，求的半径的取值范围 15、已知抛物线过点，且与直线只有一个交点 求抛物线的解析式； 若直线与抛物线相交于两点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形? 若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由16.如图,RtAOB中,A90,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA2,AB8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是原点O,且经过C点. （1）填空:直线OC的解析式为 ; 抛物线的解析式为 ; （2）现将该抛物线沿着线段OC移动,使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C）,抛物线与y轴的交点为D,与AB边的交点为E; 是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形？如存在,求出此时抛物线的解析式;如不存在,说明理由; 设BOE的面积为S,求S的取值范围.BOACxyBOACxy17.已知关于x的方程（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值18（本题满分13分）如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是2. （1）求的值及点B的坐标； （2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点的直线为,且与x轴交于点N. 若过DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标； 若与DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.xyAOBFED19、如图，二次函数（）的图象与反比例函数图象相交于点，已知点的坐标为，点在第三象限内，且的面积为（为坐标原点）. 求实数的值； 求二次函数（）的解析式； 设抛物线与轴的另一个交点为，点为线段上的动点（与不重合），过点作交于，连接，设的长为，的面积为，求与的函数关系式； 在的基础上，试说明是否存在最大值；若存在，请求出的最大值，并求出此时点的坐标；若不存在，说明理由.20（15分）已知抛物线yax2bxc经过点（1，2）（1）若a1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且ABC为等边三角形，求b的值；（2）若abc4，且abc，求|a|b|c|的最小值21（13分）已知为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，求的值1（2011随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 42已知二次函数的x与y的部分对应值如下表：x-3-2-10123y111-1-115且方程的两根分别为、，下面说法错误的是( ) A；B；C当时，；D当时，有最小值3函数的图象与轴的交点个数是：A4B3C1D04已知是方程的两根，且，则的值等于 （ ）A5 B.5 C. 9 D.95如图，已知正方形ABCD的边长为4 ，E是BC边上的一个动点，AEEF， EF交DC于F, 设BE=，FC=，则当点E从点B运动到点C时,关于的函数图象是( )1Oxy第6题图6二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）yxOB.yxOA.yxOC.yxOD.7方程x2+2x1=0的根可看成函数y=x+2与函数的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+x1=0的实根x所在范围为（ ）A B C Dyxo8、二次函数的图象如图所示，则点所在象限是:A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 9、若为正数，已知关于的一元二次方程有两个相等的实根，则方程的根的情况是（ ）A、没有实根 B、有两个相等的实根 C、有两个不等的实根 D、根的情况不确定10二次函数的图象如何移动就得到的图象（ ）A向左移动1个单位，向上移动3个单位.B. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.C. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.1如果函数y=b与函数的图象恰好有三个交点，则b= 2关于x的方程有实数根，则a的取值范围是 3已知 ，则的最大值是 4、函数中，自变量的取值范围是_.5已知关于x的方程有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 6函数的最小值为 7二次函数的图象如图所示，是图象上的一点，且，则的值为 8.将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是_cm. 9、若二次方程组 有唯一解，则k的所有可能取值为10已知RtABC的三个顶点A、B、C均在抛物线上且斜边AB平行于x轴，设斜边上的高为h，则h的取值为11 二次函数yax2+(ab）xb的图象如图所示，那么化简的结果是12设x1、x2 是一元二次方程x2+4x3=0的两个根，2x1(2x22+5x26)+a =2，则a= .13已知方程在实数范围内恒有解，并且恰有一个解 大于1小于2，则的取值范围是 二次函数答案1.（1）解：根据题意知：圆半径PA=，取BC中点为E，连接PB，PE，则且PB=PA=，PO=OA=2，由勾股定理和圆性质知：BE=CE=从而知： 将B，C两点坐标代入抛物线方程，可得：抛物线的解析式是： （2）根据题意OAB=ADB，所以AOB和ABD相似有两种情况 ABD和AOB对应，此时AD是P的直径则AB=，AD=5，BD=2MA：AD=AB：BD 即MA= 又MA：MD=MB：MA即MBMD=MA2= BAD和AOB对应，此时BD是P的直径，所以直线MB过P点B（1，0），P（ 直线MB的解析式是： M点的坐标为（0，） AM= 由MABMDA 得MA：MD=MB：MAMBMD=MA2= 2. 抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质（1）当ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以ABC为等腰直角三角形，过C作CEAB于E，则AB=2CE根据本题定理和结论，得到AB=，根据顶点坐标公式，得到CE=|=，列出方程，解方程即可求出b24ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，解直角ACE，得CE=AE=，据此列出方程，解方程即可求出b24ac的值解：（1）当ABC为直角三角形时，过C作CEAB于E，则AB=2CE抛物线与x轴有两个交点，=b24ac0，则|b24ac|=b24aca0，AB=，又CE=|=，b24ac0，b24ac=4；（2）当ABC为等边三角形时，由（1）可知CE=，b24ac0，b24ac=12本题考查了等腰直角三角形等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等3.（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，列出方程组，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据BOA=90得到直线OB的解析式为y=x，则，通过解该方程组来求点B的坐标即可；（2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式；（3）如图，作DNx轴于点N欲证明OD与CF平行，只需证明同位角CMN与DON相等即可解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得，解得，点A的坐标是（3，3）BOA=90，OBOA，直线OB的解析式为y=x又点B在直线y=x+上，解得，点B的坐标是（1，1）综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（1，1）（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（1，1）抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，解得，该抛物线的解析式为y=x2x，或y=（x）2顶点E的坐标是（，）；（3）OD与CF平行理由如下：由（2）知，抛物线的对称轴是x=直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，C（，）设直线BC的表达式为y=kx+b（k0），把B（1，1），C（，）代入，得，解得，直线BC的解析式为y=x+直线BC与抛物线交于点B、D，x+=x2x，解得，x1=，x2=1把x1=代入y=x+，得y1=，点D的坐标是（，）如图，作DNx轴于点N则tanDON=FEx轴，点E的坐标为（，）点F的纵坐标是把y=代入y=x+，得x=，点F的坐标是（，），EF=+=CE=+=，tanCFE=，CFE=DON又FEx轴，CMN=CFE，CMN=DON，ODCF，即OD与CF平行4. 根与系数的关系；根的判别式（1）先设方程x2+mx+n=0，（n0）的两个根分别是x1，x2，得出+=，=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案（2）根据a、b满足a215a5=0，b215b5=0，得出a，b是x215x5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值（3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c240，即可求出c的最小值解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n0）的两个根分别是x1，x2，则：+=，=，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：x2+x+=0；（2）a、b满足a215a5=0，b215b5=0，a，b是x215x5=0的解，当ab时，a+b=15，ab=5，=47当A=B时，原式=2；（3）a+b+c=0，abc=16，a+b=c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，c240，c20，c是正数，c3430，c343，c4，正数c的最小值是4本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法5.（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；（3）首先求出直线AB的解析式，进而由P1ODNOB，得出P1ODN1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标解：（1）A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a0）上，解得：，故抛物线的解析式为：y=x23x；（2）设直线OB的解析式为y=k1x（ k10），由点B（4，4）得4=4 k1，解得k1=1直线OB的解析式为y=x，AOB=45B（4，4），点B向下平移m个单位长度的点B的坐标为（4，0），故m=4平移m个单位长度的直线为y=x4解方程组 解得：，点D的坐标为（2，2）（3）直线OB的解析式y=x，且A（3，0）点A关于直线OB的对称点A的坐标为（0，3）设直线AB的解析式为y=k2x+3，此直线过点B（4，4）4k2+3=4，解得 k2=直线AB的解析式为y=x+3NBO=ABO，点N在直线AB上，设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x23x上，n+3=n23n解得 n1=，n2=4（不合题意，舍去），点N的坐标为（，）如图，将NOB沿x轴翻折，得到N1OB1，则 N1 （，），B1（4，4）O、D、B1都在直线y=x上过D点做DP1N1B1，P1ODNOB，P1ODN1OB1，P1为O N1的中点=，点P1的坐标为（，）将P1OD沿直线y=x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离，此点坐标为：（，）综上所述，点P的坐标为（，）和（，）此题主要考查了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键6. 解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）设抛物线的解析式为，抛物线过点M和点B，则，即抛物线解析式为当x时，y；当x时，y即P（1，），Q（，）在抛物线上当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高5且，网球不能落入桶内（2）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，由题意，得，m解得，mm为整数，m的值为8，9，10，11，12当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内 AMBC0.5OxyDPQAMBC0.5OxyDPQ7.解：（1）抛物线的对称轴为 抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，点E和点F关于抛物线对称轴对称，则，且k2抛物线的解析式为（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），AB，AMBM在PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，MBCDAMPMQ45，在BCM中，BMCBCMMBC180，即BMCBCM135，在直线AB上，BMCPMQAMD180，即BMCAMD135BCMAMD故BCMAMD，即，故n和m之间的函数关系式为（m0）（3）F在上， ，化简得，k11，k23即F1（2，0）或F2（4，8）MF过M（2，2）和F1（2，0），设MF为， 则解得，直线MF的解析式为直线MF与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1）若MP过点F（2，0），则n413，m；若MQ过点F（2，0），则m4（2）6，nMF过M（2，2）和F1（4，8），设MF为， 则解得，直线MF的解析式为直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）若MP过点F（4，8），则n4（），m；若MQ过点F（4，8），则m4，n故当或时，PMQ的边过点F 8.解：1.说明： yB的分段函数式中自变量的取值范围只要在x=1处连续即给全分2.容器的总空量是时，3.9.解：由已知有 或由根与系数关系知故（舍）或所求的实数9解：（）由题意：当 当再由已知得故函数的表达式为 （）依题意并由（）可得当时，当时，其最大值为6020=1200 当时，当，取得最大值 综上，当时，的最大值为即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时10.（1）证明： （2）且 故 由，得要使 抛物线与直线有交点，则方程中 得过作于，设为直线与坐标轴的交点，则 又 过分别作轴、轴的平行线交于点 则又即 故 即由方程得 得或（3）且又，即，即抛物线与轴的两个交点中有一个在原点右侧，故而抛物线与轴交点为 当时，交轴于负半轴 当时，交轴于正半轴11.解：（1）抛物线顶点的坐标为（1，m）抛物线与轴交于两点，当时，解得两点的坐标为（）、（）. （2）当时，点的坐标为. 过点作轴于点，则=3m. （3）存在使为直角三角形的抛物线.过点作于点，则为，在中，在中，如果是，且那么即解得，存在抛物线使得是； 如果是，且那么即解得，存在抛物线，使得是；如果是，且，那么即整理得此方程无解.以为直角的直角三角形不存在.综上所述，存在抛物线和使得是. 12.解：依题意得或 由（1）得代入（2）、（3）得或无解又m，n为整数，或 当时，；当时，（舍），则 13.解：这间宿舍住着名学生，名管理员，由题意得， 化简得，则，必为完全平方数 设，则，其中和具有相同的奇偶性，且， 或 或 由方程组得，不合题意，舍去；由方程组得，此时，原方程为，解得（舍去）；由方程组得，此时，原方程为，解得（舍去）；综上所述， 答：这间宿舍里住有6名学生 14（）解：依题意得：中， 由勾股定理得：； 又四边形为平行四边形， ；绕顺时针旋转得到，由旋转的性质可知：，又， ， ； 又 ，即的周长为（）依题意得：，（） 抛物线同时经过、四点， （解法一）设抛物线的解析式，在抛物线上，即； 又也在抛物线上，解得； （解法二）：设抛物线的解析式为， 把、四点的坐标代入得： 可求得： （解法三）：依题意：点与，点与都关于抛物线的对称轴对称， 的中点横坐标与中点的横坐标相同， ， 即 依题意：的半径；当点到线段的距离 最大时，的半径最大的长度为定值， 此时的面积最大连接，则，10分点在抛物线上，设， ， ， 当时，的最大值为；此时点到线段的距离为； 15、解：（1）（2）Q16.(1）y=2x; y=x2; (2)设解析式为, 则可得 解得（舍去）,所以 S= =而所以.17.解: （1）由题意得0化简得 0，解得k5 （2）将1代入方程，整理得，解这个方程得 ，. （3）设方程的两个根为，根据题意得又由一元二次方程根与系数的关系得，那么，所以，当k2时m取得最小值5 18.解：（1） 点A在抛物线C1上， 把点A坐标代入得 =1. 图1 抛物线C1的解析式为, 设