塑性成形原理课后答案

1 第一章 1 已知一点的应力状态 10100015520 求该应力空间中122 斜截面上的正应力 n 和切应力 n 为多少？ 解：若平面方程为 y+=0,则方向余弦为： 222 l，222 m，222 因此：312)(- 211222 l，322)( - 212m；322)(- 212 x l xy m xz n=3100325031200 xy l y m zy n = 3350321503150 xz l yz m z n=320032100 11191000323200323350313100 2500320033503100 2222222 1知 标系中，物体内某点的坐标为（ 4， 3， ，其应力张量为：1030205040100求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。 解： 1 =100+5040 2J 222 =100 50+50（ +100（ 402-(2 =600 3J 321 = 2222 =192000600140 23 1= 2= 3= m=140/3= i 8= m =)()(31 2132322218 1物体内的应力场为 3126 ， 2223 ， 332 ，0 ，试求系数 解：由应力平衡方程的： 0即： 03122 （ 1） 033 （ 2） 有（ 1）可知：因为 x 与 y 为任意实数且为平方，要使（ 1）为零，必须使其系数项为零， 因此， （ 3） 3 （ 4） 联立（ 2）、 （ 3）和（ 4）式得： 即： ， 2， 1 已知受力物体内 一点 应力张量为： ,M P 求外法线方向余弦为 l=m=21， n=21 的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。 3 解： x l xy m xz n= 24050218021502150 xy l y m zy n = xz l yz m z n= S=1=20 6025 806250 3806250=0 方程具有三个不相等的实根！ 1= 2= 3= 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为 a)01001b)010000500500c)6001）画出该点的应力单元体； 2）求出该点的应力不变 量， 主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。 解： a）点的应力单元体如下图 2） a)01001点的应力不变量： 0 J 2=200 J 3=0 主应力和主方向： 1=20 l= ;22m=0； n= ;22 2=l=m= n=0 4 3=0 l= ;22m=0； n= ;22主剪应力 12=15 23=5 12=10 大剪应力 5 面体应力 8=8= 等效应力 力偏张量及球张量。 302001 301000301000301 b) 点的应力单元体如下图 010000500500点的应力不变量： 0 J 2=2500 J 3=500 主应力和主方向： 1=10 l=m= n=0 2=50 l= m= ;22n=0； 3=l= m= ;22n=0。 主剪应力 12=20 23=50 12=30 大剪应力 0 面体应力 8=8= 等效应力 力偏张量及球张量。 30200030150050301 301000301000301 5 c) 点的应力单元体如下图 6001点的应力不变量： 18 J 2=33 J 3=230 主应力和主方向： 1=10 l=m= n=0 2=50 l= m= ;22n=0； 3=l= m= ;22n=0。 主剪应力 12= 20 23=5 0 12= 30 大剪应力 0 面体应力 8=8= 等效应力 =力偏张量及球张量。 12001 600060006平板在 x 方向均匀拉伸（图 1在板 上每一点x=常数，试问y为多大时，等效应力为最小？并求其最小值。 图 1 19） 解： 等效应力 ： 6 2)()(216)()()(21令 2()()(y ，要使 等效应力 最小，必须使 y 值最小，两边微分得： 2等效应力 最小值： i )()(21 1在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与 x 轴交成角的一个平面上，其正应力为（ 0），切应力为，且为最大切应力 K，如图 1示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在 y 方向上的正应力 y 及切应力 将 y x、 在平面标注在应力莫尔圆上。 图 1 20） 解：由题意得知 塑性区一点在与 x 轴交成角的一个平面上的切应力为为最大切应力 K，因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图 1 示。 图 17 o 8 第二章 2设 ，其中 a、 b 为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？ 解：对 )a 22x 求 y 的 2 次偏导，即： 4 （ 1） 对 2y 求 x 的 2 次偏导，即： 2 （ 2） 对 求 x 和 y 的偏导，即： （ 3） 带 （ 1）、（ 2）和（ 3） 入 变形协调方程 （ 4），得： 22222 )(21 （ 4） a)21 即： 时 上述应变场成立 。 2判断下列应变场是否存在？ （ 1） 2x ， ， ， 0， ， 22xz （ 2） 22x ， 2y y， 0z ， 2， 0 （ 1） 解：对 2x 、 和 分别求 x、 y 或 z 的 2 次偏导 ， 对 0、 和 22xz 分别求 x、 y 和 z 的 2 次偏导，则： 2 , 0 ； （ a） 2 , 0 ； （ b） 9 0 ， 0 ； （ c） 0yx ， 0zy ； 0zx （ d） 将 （ a）、（ b）、（ c）和（ d） 代入 变形协调方程 （ e）： 22222 )(21 22222 )(21 （ e） 22222 )(21则（ e）第一式不等，即： 0)21 这说明 应变场 不 存在 。 （ 2） 对 22x 、 2y y和 0z 分别求 x、 y 或 z 的 2 次偏导 ， 对 2和0 分别求 x、 y 和 z 的 2 次偏导， 2 , 0 ； （ a） 0 , 0 ； （ b） 0 ， 0 ； （ c） 2yx ， 0zy ； 0zx （ d） 则： 21 ，说明 应变场 不 存在 。 2设物体中任一点的位移分量为 x y 求点 A（ 1， 0）的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应 变。 10 解： x z 3300 2 )1 3 21 5.0)1 33 将点 A 的 x=y= 1， z=0 代入上式，得点 A 的应变分量 3305 对于点 A： 4061-)(31 5553 1020- 8 . 1 2 5)(-)(I 032213 即： 1 2 5 5 13- 1 02 43 ， 11 4061-)(31 32 7 3)(6)()()(31 48 101 2 物体中一点应变状态为： ， ， ， ， ， ，试求主应变。 解：由题可知： 4 3 03 . 2 4)(-)(I 即： 0101 . 9 8103 . 2 4105 . 9 - 1 0 解方程得 主应变 ： 33 ，2知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为 012 0 0341 ，y 200125151 ，试求该点的应变分量 , ，并求出主应变 21, 的大小与方向。 解： xu 0 . 0 3 2 5)1 201 12 0- 1 . 1 3 1 2 5 0 即： 0101 . 1 3 1 2 5 0 解方程得 主应变 ： 0,0 9- 0 9 ,321 由： 3000002900039 . 503 2 . 515得： 解这个方程得： 于 1，与 方向余弦规定不符，因此，是正确解。由此得： l= 即 1=，方向余弦为： l=m=n=0。 同理可求： 2=，方向余弦为： l=m=n=0。 13 第三章 3某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为 x=75， y=15， z=0， 5（应力单位为 若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？ 解：由由密席斯屈服准则： 221 得 该材料的屈服应力为 ： 222s 3证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为： 证明：由密席斯屈服准则： s 2231223221 即： s 323121232221（ 1） 而： 233121232221233121232221232132321223211232221 （ 2） 所以：（ 1）式与 (2）式相等。 3分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在，应力处于弹性还是塑性状态？（材料为理想塑性材料） a)0000000 ， b)400050005 ， c) ， d) 14 e) f) 解： a)由屈雷斯加屈服准则： 1s 得： s，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则 。存在。应力处于塑性状态。 b)由屈雷斯加屈服准则： 1s 得： s =s，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则 存在。应力处于塑性状态。 c)由屈雷斯加屈服准则： 1s 得： s，不存在。 由密席斯屈服准则 不存在。 d)由屈雷斯加屈服准则： 1s 得： s，不存在。 由密席斯屈服准则 存在。应力处于弹性状态。 e)由屈雷斯加屈服准则： 1s 得： s=s，存在，应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则 存在。应力处于弹性状态。 15 f)由屈雷斯加屈服准则： 1： s，存在，应力处于弹性状态。 由密席斯屈服准则 (6)()()(21存在。应力处于弹性状态。 3知开始塑性变形时点 的应力状态为00001515 试求： （ 1）主应力大小； （ 2）作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力； （ 3）作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。 解：由于 点的应力状态为平面应力状态，由 222,1 22 得 主应力 1 和 2： 222,1 152157521575 主应力为： 1=2=3=0 最大切应力： 轴向屈服应力为： 6 7. 0 8222 作为空间应力状态处理时按屈雷斯加准则计算： 单轴向屈服应力： s=1 3= 作为空间应力状态处理时按米塞斯准则计算的单轴向屈服应力： 0015(6)750()015()1575(21)(6)()()(2122222s=16 第四章 4一金属块，在 x 方向作用有 150压应力。在 Y 方向作用有 150压应力，z 方向作用有 200压应力。试求金属块的单位体积变化率（设 E=207 103= 解：各方向应力为： x= y= z=球应力为： m=位体积变化率为： 1 E 6102 0 7 m 即： m =10已知一点的应力状态如图 4示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。 图 4题 15) 解：设 1 2 3，则： 平均应力： 53 24931 321m 应力偏量为：3 由列维 米赛斯增量理论 d得： -3 dd主应变简图如图示： 17 4 两端封闭的细长薄壁管平均直径为 r，平均壁厚为 l，承受内压力 p 而产生塑性变形， 设管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。 解： 4 求出下列两种情况下塑性应变增量的比： 单向应力状态： 1 s 纯剪力应力状态： /3 解：设 1 2 3，则： 331 ，因此， 应力偏量 为： 3 由列维 米赛斯增量理论 d得 ： 塑性应变增量的比 为： 1,2- 2 , 同理： 解：已知 纯剪力应力状态： /3 应力张量为： 18 033303330由列维 米赛斯增量理论 d得 ： 塑性应变增量的比 为： 1 19 第六章 1. 20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为 50 50温下压缩至高度 h=25接触表面摩擦切应力 =知 Y=746 求所需变形力 P 和单位流动压力 p。 解：圆柱压缩时体积不变，则当 h=25 225254 50R 3 550H = =746 = =于圆柱压缩是轴对称问题，宜采用柱座标。由题意得圆柱界面上的摩擦为 =Y=三个坐标方向的正应力 r、 和 与对称轴 z 无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为： 令 ) ，并忽略二次微分项，则得 由于轴对称条件， r=。此时平衡方程简化为 20 1据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为 或 zr 代入式（ 1得 因此 z 或 91z 1界条件：当 时， 0r 。由 近似屈服条件知，此时的 ，代入方程式（ 1可得 或 代入式（ 1得 h ) 1为： h=25， R= 225 ， K= 所需变形力 P 为： 5)d 9 压板上的平均单位压力用 p 表示，则 21 1 . 模内压缩铝块，某瞬间锤头压力为 500料尺寸为 50 50 100果工具润滑良好，并将槽壁视为刚体，试计算每侧槽壁所受的压力（如图 6 图 6 2） 解：从变形区内取一单元体作受力分析。单元体的高度为平板间的高度 h，宽度为 度为一个单位。假定是主应力且均匀分布，当沿 变量是， x 相应的变化量就可用微 分 表示。 y 表示。摩擦力 每侧槽壁所受的压力 p，如图所示。 列出单元体的微分平衡方程： 02)( 02 2服条件为： 因此，yx 将此式代入式（ 2理得 积分后得： 2 2据应力边界条件确定积分常数。 应力边界条件为：当 2/时， x=p。 由屈服条件式，得 22 代入式（ 2系数 ： 2因此： ) h d d h y 已知锤头压力 P 为 500入上式即可求得每侧槽壁所受的压力 p。 3. 圆柱体周围作用有均布压应力，如图 6主应力求镦出力 P 和单位流动压力。，设 = 图 6 3） 解：圆柱压缩为轴对称问题，采用柱座标。设三个坐标方向的正应力 r、 和 与对称轴 瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为： 令 ) ，并忽略二次微分项，则得 23 由于轴对称条件， r=。此时平衡方程简化为 3据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为 或 zr 代入式（ 3得 因此 z 或 3界条件：当 时， r=0。由近似屈服条件知，此时的 +0，代入方程式（ 3可得 或 代入式（ 3得 h )rR( 3需变形力 P 为： 压板上的平均单位压力用 p 表示，则 25 试用主应力法求解板料拉深某瞬间凸缘变形区的应力分布。（不考虑材料加工硬化） 24 图 6 5） 解：板料拉深某瞬间凸缘变形区受力如图 6平面应力状态，设正应力r、 为主应力，单元体沿径向的静 力平衡方程为： 0h i h 令 ) ，并忽略二次微分项，则得 0 5屈服条件 r =2K 代入上式得 积分常数 C 根据凸缘的外缘处（ r=R）的 r =0 边界条件，得积分常数 凸缘变形 区的应力分布为： r/ 525 第七章 7：已知 族是直线族， 族为一族同心圆， c 点的平均应力为： 90大切应力为 K=60C 点应力为： 02c 2s i i i i 图 7于 B 点在 族上， 族是直线族，因此，所以 B 点应力状态和 C 点相同。 D 点在 族上， 族为一族同心圆，因此由沿线性质得： )(k2 即： 20906k2 D 点应力为： i i i i D 点的应力莫尔圆 26 图 7用滑移线法求光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时的极限载荷P(图 7设冲头宽度为 2b，长为 l，且 l2b。 解：（ 1）确定滑移线场。 设冲头的表面压力为 p 且均匀分布，由于平冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此 域可看成是光滑（无摩擦）接触表面，滑移线场和确定、 方向如图教材中图 7可看成是自由表面，但受 此为不受力自由表面的第 2 种情况，滑移线场和确定 、 方向如图如图 7示，在均匀滑移线场 间必然存在简单滑移线场，由此确定出光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时滑移线场，如图7 图 72)求平均单位压力。 取一条线 行分析，由于 B 点在自由表面上，故其单元体只有一个压应力，由此可判断出 1c=0， 根据屈服准则， 1 3=2k，因此， 3c= 2k。而平均应力 1c+3c)/2，可得 。 已知 O 点在光滑接触表面上，因此 4/ o，其单元体上承受冲头压力和金属向两边流动的挤压力，即存在 x， y 作用，均为压应力，且 3=y=绝对值应大于 x，根据屈服准则可得 1=x=k，平均应力 p+k (3)求角度。 27 对线 行分析。接触面 的 O 点的夹角 o 为 /4，在自由表面 的 B 点的夹角 B 为 /4+。 则 =0 /4（ /4+） = /2 (4)求极 限载荷 由汉盖应力方程式 得： k)2(k2)k( 极限载荷 P 为： l 7 7弧是 线，径向直线是 线，若 m=求 上 m。 图 7 37 （题 13） 解：已知直线 线，其上 m= B 点的 k， 是 线，但也是直线，直线上的 m 相同，求出 C 点的 m，即得到 上 m。 C 点的 C 求，已知圆弧 线，由汉盖应力方程式 即： 6k2)k( 13 即 上 m 为： 13 7有尖角 2 的楔体，图 7外力 P 作用下插入协调角度的 按 1）楔体与 V 型缺口完全光滑和 2）楔体与 V 型缺口完全粗糙做出滑移场，求出极限载荷。 28 图 7-4 z 第一种情况： 楔体与 V 型缺口完全光滑 解：（ 1） 确定滑移线场。 设冲头的表面压力为 p 且均匀分布，由于冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此 域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定 、 方向如图教材中图 7域表面不受力，可看成是自由表面，但受 域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定 、 方向如图如图 7示，在均匀滑移线场 间必然存在简单滑移线场，由此确定出 具有尖角 2 的楔体在外力 P 作用下插入完全光滑的 V 型缺口 时的滑移线场，如图 7 (2)求平均单位压力和角度。 是光滑接 触表面上，因此 4/B。由于垂直于 此，可以确定平行于 1，垂直于的压应力为 3=据屈服准则， 1 3=2k，因此， 1=2k+3=2平均应力 1+3)/2，可得 。 是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出 1E=0， 根据屈服准则， 1 3=2k，因此， 3E= 2k。而平均应力 1E+3E)/2，可得 。4/E 。 (3)求极限载荷 已知 为线，由汉盖应力方程式 )( 得： 4(k2)k(即： 1极限载荷 P 为： s i n/1i n/b l 29 第二种情况： 楔体与 V 型缺口完全粗糙做出滑移场 图 7：（ 1）确定滑移线场。 设冲头的表面压力为 p 且均匀分布，由于 楔体与 V 型缺口 完全粗糙 ，故可认为冲头下坯料为变形刚性区。 看成是自由表面，但受 此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定 、 方向如图如图 7示，三角形 在简单滑移线场，由此确定出 具有尖角 2 的楔体在外力 P 作用下插入完全粗糙的 V 型缺口 时的滑移线场，如图7 (2)求平均单位压力和角度。 是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出 1E=0， 根据屈服准则， 1 3=2k，因此， 3E= 2k。而平均应力 1E+3E)/2，可 得 。4/E ， 三角形 难变形区，该区内的金属受到强烈的等值三相压应力， 是摩擦接触表面上，垂直于 的压应力大于平行于 的压应力作用，不发生塑性变形，好像是冲头下面的刚性金属楔，成为冲头的一个补充部分。 4/C。由于垂直于 的压应力大于平行于 的压应力，因此，可以确定平行于 的压应力为 1，垂直于 的压应力为 3=据屈服准则， 1 3=2k，因此， 1=2k+3=2平均应力 1c+3c)/2，可得 (3)求极限载荷 已知 为线，由汉盖应力方程式 )( 得： 4(k2)k(即： 1极限载荷 P 为： s i n/1i n/b l 30 7谓滑移线？用滑移线法求解宽度为 2b 的窄长平面冲头压入半无限体的单位流动压力 p。材料为理想刚塑性体，屈服剪应力为 K；参见 图 7 解：（ 1）确定滑移线场。 设冲头的表面压力为 p 且均匀分布，设冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此 域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定 、 方向如图教材中图 7域表面不受力，可看成是自由表面，但受 域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定 、 方向如图如图 7示，在均匀滑移线场 间必然存在简单滑移线场，由此确定出宽度为 2b 的窄长平面冲头压入半无限体的滑移线场，如图 7 图 7(2)求平均单位压力和 角度。 是光滑接触表面上，因此 4/A 。由于垂直于 的压应力大于平行于 的压应力，因此，可以确定平行于 1，垂直于 3=据屈服准则， 1 3=2k，因此， 1=2k+3=2平均应力 1+3)/2，可得 。 是自由表面上，即只有一个压应力，由此可判断出 1E=0， 根据屈服准则， 1 3=2k，因此， 3E= 2k。而平均应力 1E+3E)/2，可得 k。4/E 。 (3)求极限载荷 已知 为线，由汉盖应力方程式 )( 得： )44(k2)k( 即： 21极限载荷