2020届天一中学高三上学期12月份调研考试数学（理）试题（解析版）

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试 高三数学理科（）试题 2019.12注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页包含填空题（第114题）、解答题（第1520题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 设全集，集合，则_.答案：， 分析：由全集，可得，2，3，然后根据集合混合运算的法则即可求解解：，3，2，3， 2. 已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为答案：分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得值解：，且的实部与虚部相等，即故答案为：3. 函数的定义域为_.答案：分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解.解：由题意得，解得故函数的定义域为4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为答案：分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为，故答案为：5. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示根据标准，单件产品质量在区间，内为一等品，在区间，和，内为二等品，其余为次品则样本中次品件数为 答案：200分析：结合频数分布直方图确定落在，15，、，、，的人数由容量组距求出解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示根据标准，单件产品质量在区间，内为一等品，在区间，和，内为二等品，其余为次品其件数为：故答案为：2006. 如图是一个算法流程图，则输出的的值为答案：8分析：根据程序框图进行模拟运算即可解：，否，否，否，否，否，否，是，输出，故答案为：87.若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则_分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得解：双曲线的右焦点是，抛物线的焦点为，故答案为：68. 已知函数是定义在上的奇函数，则的值为答案：分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可解：，是奇函数，即，时，即，则，故答案为：9. 已知数列与均为等差数列，且，则答案：20分析：设等差数列的公差为又数列均为等差数列，且，可得，解得，即可得出解：设等差数列的公差为又数列均为等差数列，且，解得则故答案为：2010. 如图，在中，已知点，分别是边，的中点，点在边上，若，则线段的长为答案：分析：先由平面向量数量积的运算可得：，再由余弦定理可得：，然后设，结合平面向量的线性运算可得：，解得：，即可得解解：因为在中，所以，又在中，由余弦定理可得：，又，得，设，则，解得：，即，即线段的长为，故答案为：11. 已知点，若圆上恰有两点，使得和的面积均为4，则的取值范围是答案：，分析：求得的值，得出两点，到直线的距离相等，写出的直线方程，根据圆上的点到直线的距离求出的取值范围解：由题意可得，根据和的面积均为4，可得两点，到直线的距离为；由于的方程为，即；若圆上只有一个点到直线的距离为，则有圆心到直线的距离为，解得；若圆上只有3个点到直线的距离为，则有圆心到直线的距离为，解得；综上，的取值范围是，故答案为：，12. 已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为答案：分析：令，求出与的值域即可判断的值，从而得出的值解：令可得：，令，则，令可得，即或（舍，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，（1），（当且仅当即时取等号），即，故答案为：13.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_.答案：解：当时，由得，或当时，在上有三个根，当时，在上有两个根，当时，在上有一根当时，由得，则，设（），当时, ，函数单调递增，当时, ，函数单调递减可结合图像可知，时，方程有两个根；当或时，方程有一个根；当时，方程没有实根，综上：当或时，有三个零点.14. 在锐角三角形，是边上的中线，且，则的最小值为答案：分析：不妨设，边上的高为，则，再根据正切值求出，然后用基本不等式可求得解：不妨设，边上的高为，则，从而，所以，（当且仅当，即时，取等）故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是（1）求的值；（2）若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知 从而 （1） ，（2）因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是，所以 ，从而 于是 因为为锐角，为钝角，所以，从而16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，点在棱上，点，分别是，的中点（1）求证：为的中点；（2）求证：平面分析：（1）推导出，从而平面，进而，由此能证明为的中点（2）连结，交于点，连结，推导出，从而，由此能证明平面证明：（1）在正三棱柱中，点在棱上，平面，为的中点（2）连结，交于点，连结，正三棱柱中，是矩形，是的中点，点，分别是，的中点，平面，平面平面17. （本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图每座帐篷的体积为，且分上下两层，其中上层是半径为（单位：的半球体，下层是半径为，高为的圆柱体（如图经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为千元（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:（1）由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即，表示出，则，化简得；再由，则，所以定义域为，（2），根据导函数求出其最小值即可解：（1）由题意可得，所以，所以，即；因为，所以，则，所以定义域为，（2）设，则，令，解得，当，时，单调递减；当，时，单调递增，所以当时，取极小值也是最小值，且答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元18（本小题满分16分）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆经过点，离心率为，直线过点与椭圆交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）若点为的内心（三角形三条内角平分线的交点），求与面积的比值；（3）设点，在直线上的射影依次为点，连结，试问：当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由分析：（1）由题意知，可得，解得即可得出椭圆的方程（2）由点为的内心，可得点为的内切圆的圆心，设该圆的半径为，可得（3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形，此时与交于的中点下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点设直线的方程为，与椭圆方程联立化简得设，由题意，得，则直线的方程为令，此时，把根与系数关系代入可得，因此点在直线上同理可证，点在直线上即可得出结论解：（1）由题意知因为，所以，解得，所以椭圆的方程为：（2）因为点为的内心，所以点为的内切圆的圆心，设该圆的半径为，则（3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形，此时与交于的中点下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点设直线的方程为，联立化简得因为直线经过椭圆内的点，所以设，则，由题意，得，则直线的方程为令，此时，所以点在直线上同理可证，点在直线上所以当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点19. （本小题满分16分）设数列，分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列（1）已知，求数列的前项的和；（2）已知，且数列的前三项成等比数列，若数列唯一，求的值.（3）已知数列的公差为，且，求数列，的通项公式（用含，的式子表达）；（1）解：设的公比为，则有，即；解得；（2）为等差数列，又，则公差，则数列的前三项成等比数列，即，成等比，整理得设数列的公比为，显然则，数列唯一确定，解得：或（舍）即（3）解：，得；令，得；其中是数列的公比；令，得；，即；解得或；若，则，有，矛盾；满足条件，此时；20. （本小题满分16分）设为实数，已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）设为实数，若不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围；（3）若函数有两个相异的零点，求的取值范围分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）分离参数，可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围解：（1）当时，因为，当时，；当时，所以函数单调减区间为，单调增区间为（2）由，得，由于，所以对任意的及任意的恒成立由于，所以，所以对任意的恒成立设，则，所以函数在， 上单调递减，在 2，上单调递增，所以2，所以2（3）由，得，其中若时，则，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；若时，令，得由第（2）小题知，当时， ，所以，所以，所以当时，函数的值域为所以存在，使得，即，且当时，所以函数在上单调递增，在，上单调递减因为函数有两个零点，所以设，则，所以函数在上单调递增由于，所以当时，所以式中的又由式，得由第（1）小题可知，当时，函数在上单调递减，所以，即， 由于，所以因为，且函数在上单调递减，函数的图象在上不间断，所以函数在上恰有一个零点； 由于，令，设，由于时，所以设，即由式，得当时，且，同理可得函数在，上也恰有一个零点综上，2019年江苏省天一中学十二月份调研考试 高三数学（）试题 2019.12注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页包含填空题（第114题）、解答题（第1520题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知矩阵，的一个特征值，其对应的一个特征向量是（1）求矩阵；（2）设直线在矩阵对应的变换作用下得到了直线，求直线的方程分析：（1）由即可求出，；（2）设直线上的任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点，根据，可得进而得到的方程；解：（1），解得故；（2），设直线上的任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点，则，直线的方程为B选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标分析：化直线的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线的参数方程为普通方程，联立求解得答案解：直线的直角坐标方程为由方程，可得，又，曲线的普通方程为将直线的方程代入曲线方程中，得，解得，或（舍去）直线与曲线的交点的直角坐标为第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在直四棱柱中，底面四边形为菱形，分别是，的中点（1）求异面直线，所成角的余弦值；（2）点在线段上，若平面，求实数的值分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线，所成角的余弦值；（2）点在线段上，求出平面的法向量，利用平面，即可求实数的值解：因为四棱柱为直四棱柱，所以平面又平面，平面，所以，在菱形中，则是等边三角形因为是中点，所以因为，所以建立空间直角坐标系则，0，1，2，0，0，（1），2，所以异面直线，所成角的余弦值为 （2）设，由于点在线段上，且，则，2，则， 设平面的法向量为，因为，0，由，得，取，则，则平面的一个法向量为，2， 由于平面，则，即，解得 23（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局