人教B版选修44 1.1直角坐标系平面上的伸缩变换 学案.docx

【综合评价】通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的方程也有不同形式.因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同的坐标系.本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义. 【学习目标】1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合.(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论.2.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中坐标伸缩变换的坐标表达式为其中a0，b0.【思维导图】【知能要点】1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2.了解建立坐标系的方法和原则.3.坐标伸缩变换其中a0，b0.知识点1平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起着划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可用抽象的代数方程将形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立数轴、直角坐标系或空间直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.【例1】 质点从原点出发沿数轴的正方向前进4个单位到达点p1，然后反向走了1个单位，到达点p2，接下来每次反向并向前运动上次距离的.求质点运动n次后到达的点pn的坐标.解：设点pn的坐标为xn.则xnx1()x1()2x1.()n1x141()()2.()n141()n.故pn的坐标为xn1()n.【反思感悟】 直线坐标系(数轴)是一维坐标系，其点的坐标是一个实数.1.已知点a(0，1)，b(3，2)，向量(4，3)，则向量()a.(7，4) b.(7，4)c.(1，4) d.(1，4)答案：a解析：法一：设出点c坐标，并利用(4，3)求出点c坐标，然后计算的坐标.设c(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3，2)(7，4).故选a.法二：利用求解.(4，3)(3，1)(7，4).故选a.【例2】如图所示，圆o1与圆o2的半径都是1，|o1o2|4，过动点p分别作圆o1、圆o2的切线pm、pn(m、n分别为切点)，使得|pm|pn|，试建立适当的坐标系，并求动点p的轨迹方程.解：以o1o2的中点o为原点，o1o2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则o1(2，0)，o2(2，0). 由已知|pm|pn|，得|pm|22|pn|2.因为两圆的半径均为1，所以|po1|212(|po2|21).设p(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21，即(x6)2y233，所以所求轨迹方程为(x6)2y233(或x2y212x30).【反思感悟】 本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点p满足的条件.2.已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，求动圆圆心m的轨迹方程.解：如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和b，根据两圆外切的条件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|.|ma|mb|，|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|2.这表明动点m与两定点c2、c1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，这里a1，c3，则b28，设点m的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x21 (x100，所以，埋设地下管线m的计划可以不修改.3.分别求一个伸缩变换，使其对应满足下列曲线的变换.(1)曲线y2sin 3x变换成曲线y3sin 2x；(2)椭圆1变换成圆x2y29.解：(1)将变换后的曲线y3sin 2x改写成y3sin 2x，设伸缩变换为代入上式得y3sin2(x)，即ysin(2x)，与曲线y2sin 3x比较系数，得解得所以伸缩变换为(2)将变换后的圆x2y29改写成x2y29，设伸缩变换为代入上式，得2x22y29，即1，与椭圆1比较系数，得，所以伸缩变换为基础达标1.要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()a.向左平移个单位 b.向右平移个单位c.向左平移个单位 d.向右平移个单位答案：b解析：根据三角函数图象的变换关系求解.由ysinsin 4得，只需将ysin 4x的图象向右平移个单位即可，故选b.2.向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a()a.1 b.0 c.1 d.2答案：c解析：法一：将(2ab)a展开后再进行坐标运算.a(1，1)，b(1，2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：将2ab看做一个向量并求出其坐标后再与a计算数量积.a(1，1)，b(1，2)，2ab(2，2)(1，2)(1，0)，从而(2ab)a(1，0)(1，1)1，故选c.3.在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线ysin x的伸缩变换是()a. b. c. d.答案：b解析：设代入第二个方程ysin x得bysin ax，即ysin ax，比较系数可得4.在abc中，已知b(2，0)，c(2，0)，abc的周长为10，则a点的轨迹方程为_.答案：1 (y0)解析：abc的周长为10，|ab|ac|bc|10.其中|bc|4，即有|ab|ac|64.a点轨迹为椭圆除去长轴两顶两点，且2a6，2c4.a3，c2，b25.a点的轨迹方程为1 (y0).5.将点p(2，3)变换为点p(1，1)的一个伸缩变换公式为_.答案：解析：设伸缩变换为由解得6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1)5x2y0；(2)x2y21.解：根据变换公式，分清新旧坐标代入即可.(1)由伸缩变换得到将其代入5x2y0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x3y0.经过伸缩变换后，直线仍然是直线.(2)将代入x2y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.综合提高7.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线c变为曲线x24y21，则曲线c的方程为()a.25x236y21 b.9x2100y21c.10x24y1 d.x2y21答案：a解析：将代入x24y21，得25x236y21，为所求曲线c的方程.8.已知点a(1，3)，b(3，1)，点c在坐标轴上，acb90，则满足条件的点c的个数是()a.1 b.2 c.3 d.4答案：c解析：若c点在x轴上可设点c(x，0)，由acb90，得|ab|2|ac|2|bc|2，有(13)2(31)2(x1)232(x3)21，解得x10，x22.c点为(0，0)，(2，0).若点c在y轴上可设点c为(0，y)，由acb90，得|ab|2|ac|2|bc|2.有(13)2(31)2(01)2(3y)2(03)2(y1)2，解之得y10或y24.故c点的坐标为(0，0)，(0，4).这样的点c有(0，0)，(2，0)，(0，4)共3个点.9.将对数曲线ylog3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为_.答案：ylog3解析：设p(x，y)为对数曲线ylog3x上任意一点，变换后的对应点为p(x，y)，由题意知伸缩变换为代入ylog3x，得ylog3x，即ylog3.10.把圆x2y216沿x轴方向均匀压缩为椭圆x21，则坐标变换公式是_.答案：解析：设变换公式为代入x21中得2x21，即：162x22y216，与x2y216比较得11.已知abcd，求证：|ac|2|bd|22(|ab|2|ad|2).解：法一：(坐标法)以a为坐标原点o，ab所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xoy，则a(0，0)，设b(a，0)，c(b，c)，则ac的中点e，由对称性知d(ba，c)，所以|ab|2a2，|ad|2(ba)2c2，|ac|2b2c2，|bd|2(b2a)2c2，|ac|2|bd|24a22b22c24ab2(2a2b2c22ab)，|ab|2|ad|22a2b2c22ab，|ac|2|bd|22(|ab|2|ad|2).法二：(向量法)在abcd中，两边平方得2|