苏教版选修23 1.5.2 二项式系数的性质及应用 学案.docx

1.5.2二项式系数的性质及应用中国教育&#*出版网学习目标1.能运用函数观点分析处理二项式系数的性质.2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用知识点一二项式系数的性质 (ab)n展开式的二项式系数c，c，c有如下性质：中&国#教育*出版网(1)cc_；(2)ccc；(3)当r时，c时，cc；(4)ccc2n.思考根据二项式系数表的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？中&国教育出%版网答对称性，因为cc，也可以从f(r)c的图象得到知识点二二项式系数的最大值中%&国#教育出版网1当n是偶数时，展开式中间一项的二项式系数最大；2当n是奇数时，展开式中间两项与1的二项式系数，相等且最大思考二项式系数何时取得最大值？答当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值来源:zzstep.%com&中*%国教育出版网#题型一二项展开式的系数和问题例1已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求下列各式的值(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；中国教育&%出版网*#(4)|a0|a1|a2|a7|.来#源:中国教育出版&%网解令x1，则a0a1a2a3a71.www.&zzs*t#令x1，则a0a1a2a737.(1)令x0，得a01，代入中得：a1a2a3a72.(2)由得2a12a32a52a7137，a1a3a5a71 094.(3)由得2a02a22a42a6137，a0a2a4a61 093.(4)方法一(12x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.方法二|a0|a1|a2|a7|是(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a7|372 187.反思与感悟赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项一般地，对于多项式f(x)a0a1xa2x2anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为f(1)f(1)，偶次项系数和为f(1)f(1)，a0f(0)跟踪训练1设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值：来%源:中国教育&出*版#网(1)a0；(2)a1a2a100；来源:%*中国教育出版网#(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2.来#源:中国教育出版&%网解(1)方法一由(2x)100展开式中的常数项为c2100，即a02100.方法二令x0，则展开式可化为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100，与联立相减可得a1a3a99.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)100(2)1001.题型二求二项展开式中的最大项问题例2已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解(1)令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.来源:zz&step%.#com(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍)，或2n32，n5.www.z#z&st*由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是t3c()3(3x2)290x6，t4c()2(3x2)3270.来&源:zzst%ep#.*com(2)展开式的通项公式为tr1c3r假设tr1项系数最大，则有r，rn，r4.中国教#育出&版%网展开式中系数最大的项为t5c34405.反思与感悟(1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a.br)展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系数分别为a1，a2，an1，且第r1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项来#源:%中国教育出&版网跟踪训练2在(3x2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项解(1)二项式系数最大的项是第11项，t11c310(2)10x10y10c610x10y10.中国%教育&出版网(2)设系数绝对值最大的项是r1项，于是化简得解得7r8(rn)，来%源#:*中教网所以r8，即t9c31228x12y8是系数绝对值最大的项(3)由于系数为正的项为y的偶次方项，故可设第2r1项系数最大，于是化简得解得r5，即2519项系数最大t9c31228x12y8.来源&:中*#教网题型三求解整除或余数问题例3求证：32n28n9能被64整除(nn*)证明当n1时，验证成立；当n2时，32n28n99(81)n8n99(8nc8n1c82c8c)8n99(8nc8n1c82)64n.w&ww.zzstep.c%om因为各项均能被64整除，所以32n28n9能被64整除中国&教育出%版网反思与感悟对含指数式的整除问题，常用二项式定理证明，通常将被除数的底数化为除数或除数的倍数与一个数的和或差的形式，利用二项式定理展开，化简的各项都是除数的倍数，故展开后的多项式能被除数整除，从而证明了原式能被除数整除来源:&中#教*网跟踪训练3求证：2n23n5n4能被25整除(nn*).证明原式4(51)n5n44(c5nc5n1c5n2c)5n44(c5nc5n1c52)25n，以上各项均为25的整数倍，故得证1(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项是第_项答案n1，n2来*源#:中国教育出版网&%解析(1x)2n1展开式有2n2项系数最大的项是中间两项，是第n1项与第n2项，它们的二项式系数为c与c.2在(xy)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是_答案cx5y5来源:*zzstep.c%om&解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，cc，由组合数的性质，得n10.来源:zzst&ep.co#m%展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项即t6cx5y5.3设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为_答案2解析令x1，则原式化为www.z#%z&st*(1)212(1)192a0a1(21)a2(21)2a11(21)11，a0a1a2a112.来*源:zzste%4求证：133233n1能被26整除(n为大于1的偶数)证明133233n1(33n1)(27n1)(261)n1，而(261)n1c26nc26n1c26，因为n为大于1的偶数，所以(261)n1能被26整除，所以133233n1能被26整除1二项式系数问题(1)求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量为1；(2)二项