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3 4基本不等式 鹿邑县高中 崔有亮 2002年国际数学家大会会标 探究1 想一想 思考 这会标中含有怎样的几何图形 思考 你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系 探究1 算一算 a b 问2 Rt ABF Rt BCG Rt CDH Rt ADE是全等三角形 它们的面积是S 问1 在正方形ABCD中 AF BF BG CG CH DH DE AE 设AF a BF b 则正方形的面积为S 问3 S与S 有什么样的关系 探究1 从图形中易得 s s 即 问题1 它们有相等的情况吗 何时相等 问题2 当a b为任意实数时 上式还成立吗 动画显示 当直角三角形变为等腰直角三角形 即a b时 正方形EFGH缩为一个点 这时有 结论 一般地 对于任意实数a b 我们有当且仅当a b时 等号成立 思考 你能给出它的证明吗 文字叙述为 两数的平方和不小于积的2倍 探究1 类比联想推理论证 探究2 特别的 如果也可写成 问 你能用不等式的性质直接推导吗 a 0 b 0 只要证 要证 2 只要证 要证 3 只要证 显然 4 是成立的 当且仅当a b时 4 中的等号成立 证明 要证 1 2 从不等式的性质推导基本不等式 分析法 探究3 对基本不等式的几何意义作进一步探究 课本第98页的 探究 动画 问 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 几何意义 半径不小于弦的一半 概念是基础 概念 a b是两个正数 当且仅当a b时 号成立 基本不等式的简单应用 例1 1 用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 等号当且仅当x y时成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 结论1 两个正数积为定值 则和有最小值 2 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xy 18 2 9 得xy81 当且仅当x y 即x y 9时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园面积最大 最大面积是81 结论2 两个正数和为定值 则积有最大值 应用要点 积定和小和定积大 a与b为正实数 等号成立 a与b必须能够相等 练习 1课本P100A组第一题 一正 二定 三等 练习 2当x 0时 的最小值为 此时x 思考 当x 0时表达式又有何最值呢 练习 3 2 1 课堂小结本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用1 两个重要的不等式 1 2 当且仅当a b时 等号成立注意 1 两公式条件 前者要求a b为实数 后者要求a b为正
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