人教A版 必修2 3.1.1 倾斜角与斜率 学案.docx

3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率学习目标：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)2.掌握倾斜角与斜率的对应关系(难点、易错点)3.掌握过两点的直线的斜率公式(重点)自 主 预 习探 新 知1倾斜角的相关概念定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0记法图示范围0180作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可2斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角(90)的正切(2)记法：ktan_.(3)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)00909090180斜率(范围)0(0，)不存在(，0)(4)经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式：k.思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？提示 不是若直线没斜率，则其倾斜角为90. 基础自测1思考辨析(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率( )(2)倾斜角为135的直线的斜率为1.( )(3)若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan .( )(4)直线斜率的取值范围是(，)( )提示 (1) 倾斜角为90时，斜率不存在(2) 斜率应为1.(3) 斜率有可能不存在(4) 2如图311，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( ) 图311ak1k2k 3bk 3k 1k 2ck 3k 2k 1 dk 1k 3k 2d 由图可知，k10，k2k30.故选d.3一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于_45 ktan 1.45.合 作 探 究攻 重 难直线的倾斜角 (1)下列说法中，正确的是( )a直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan b直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为c若直线的倾斜角为，则tan 0d任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率(2)已知直线l1的倾斜角115，直线l1与l2的交点为a，直线l1和l2向上的方向所成的角为120，如图312，则直线l2的倾斜角为_ 图312(1)d (2)135 (1)当90时，直线的斜率不存在，故a错；直线斜率为tan ，但只有0，180)时才是直线的倾斜角，故b错；0时，tan 0，故c错；d对；故选d.(2)如图，由题意知，3120，2120.1180120145，218045135.规律方法 求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角(2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论提醒：理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：x轴正向；直线向上的方向；小于180的非负角跟踪训练1已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )a090 b90180c90180d0180c 直线倾斜角的取值范围是0180，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围是90180.直线的斜率 (1)已知点a的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点b，若kab4，则点b的坐标为( )a(2,0)或(0，4)b(2,0)或(0，8)c(2,0)d(0，8)(2)已知直线l经过点a(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( ) 【导学号：07742193】a(1,0b0,1c1,2d0,2(1)b (2)d (1)设b(x,0)或(0，y)，kab或kab，4或4，x2，y8，点b的坐标为(2,0)或(0，8)(2)由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0k2.故选d.规律方法 解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解跟踪训练2已知两点a(3,4)，b(3,2)，过点p(1,0)的直线l与线段ab有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解 如图所示，由题意可知kpa1，kpb1.(1)要使直线l与线段ab有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1或k1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线pb与pa的倾斜角之间，又pb的倾斜角是45，pa的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.直线斜率的应用探究问题1斜率公式k中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？提示 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k.2你能证明a(3，5)，b(1,3)，c(5,11)三点在同一条直线上吗？提示 能因为a(3，5)，b(1,3)，c(5,11)，所以kab2，kbc2，所以kabkbc，且直线ab，bc有公共点b，所以a，b，c这三点在同一条直线上 (1)若点a(1,1)，b(3,5)，c(a,7)三点共线，则a的值为_(2)已知直线l过p(2，1)，且与以a(4,2)，b(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围思路探究：(1)三点共线，则kabkac；(2)画出图形，数形结合找出斜率的临界值(1)4 由斜率公式得kab2，因为a，b，c三点共线，所以kabkac，所以2，解得a4.(2)根据题中的条件可画出图形，如图所示，可得直线pa的斜率kpa，直线pb的斜率kpb.结合图形可知当直线l由pb变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90，故斜率的取值范围为.当直线l由与y轴平行的位置变化到pa位置时，它的倾斜角由90增大到pa的倾斜角，故斜率的变化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是.母题探究：1.若将本例(1)中点a(1,1)的坐标改为“(1,4)”，其他条件不变，则a的值应为多少？解 由斜率公式得kab，因为a，b，c三点共线，所以kabkac，所以，解得a7.故a的值为7.2若将本例(1)中点c的坐标改为“c(4,7)”，试证明三点a，b，c在同一条直线上解 因为a(1,1)，b(3,5)，c(4,7)，由斜率公式得kab2，kac2，所以kabkac，因为直线ab与直线ac的斜率相等且过同一点a，所以直线ab与直线ac为同一条直线，故三点a，b，c在同一条直线上3若将本例(2)中点a(4,2)改为“a(4，2)，求直线l斜率的取值范围解 如图所示，kpa，kpb，直线l要与线段ab有交点，则直线l应界于直线pa、pb之间，故kpaklkpb，直线l斜率的取值范围是.规律方法 斜率公式的应用(1)证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在).(2)求代数式的最值或范围：由斜率公式k的形式，可知的几何意义是过p(x，y)与p(a，b)两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解.当 堂 达 标固 双 基1斜率不存在的直线一定是( )a过原点的直线b垂直于x轴的直线c垂直于y轴的直线d垂直于过原点的直线b 斜率不存在的直线其倾斜角为90，故垂直于x轴，选b.2若0，则经过p1(0，cos )，p2(sin ，0)两点的直线的倾斜角为( ) a bcdc 设直线的倾斜角为，则tan tan因为0，0，又0，)，.选c.3已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )a5 b8 c d7