基本不等式习题教师版.doc

基本不等式基础梳理1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 一个技巧用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等 两个变形(1)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；(2) (a0，b0，当且仅当ab时取等号)这两个不等式链用处很大，注意掌握它们 三个注意(1)用基本不等式求最值，失误的原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致双基自测1(人教A版教材习题改编)函数yx(x0)的值域为A(，22，) B(0，)C2，) D(2，)解析x0，yx2，当且仅当x1时取等号答案C2下列不等式：a212a；2；x21，其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析不正确，正确，x2(x21)1211. 答案B3若a0，b0，且a2b20，则ab的最大值为()A. B1 C2 D4解析a0，b0，a2b2， a2b22，即ab. 答案A4(2011重庆)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a() A1 B1 C3 D4解析当x2时，x20，f(x)(x2)22 24，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3. 答案C5已知t0，则函数y的最小值为_解析t0，yt4242，当且仅当t1时取等号 答案2考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2xy1，则的最小值为_；(2)当x0时，则f(x)的最大值为_审第(1)问把中的“1”代换为“2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解析(1)x0，y0，且2xy1，332.当且仅当时，取等号(2)x0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号答案(1)32(2)1方: 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”常用的方法为：拆、凑、代换、平方【训练1】 (1)已知x1，则f(x)x的最小值为_(2)已知0x，则y2x5x2的最大值为_(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，则xy的最小值为_解析(1)x1，f(x)(x1)1213当且仅当x2时取等号(2)y2x5x2x(25x)5x(25x)，0x，5x2,25x0，5x(25x)21，y，当且仅当5x25x，即x时，ymax. 答案(1)3(2)(3)18(3)由2x8yxy0，得2x8yxy，1，xy(xy)101021022 18，当且仅当，即x2y时取等号，又2x8yxy0，x12，y6，当x12，y6时，xy取最小值18.考向二利用基本不等式证明不等式【例2】已知a0，b0，c0，求证：abc.审题视点 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到证明a0，b0，c0，2 2c；2 2b；2 2a.以上三式相加得：22(abc)，即abc.方法总结:利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题【训练2】 已知a0，b0，c0，且abc1.求证：9.证明a0，b0，c0，且abc1，3332229， 当且仅当abc时，取等号考向三利用基本不等式解决恒成立问题【例3】(2010山东)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_审题视点 先求(x0)的最大值，要使得a(x0)恒成立，只要(x0)的最大值小于等于a即可解析若对任意x0，a恒成立，只需求得y的最大值即可，因为x0，所以y，当且仅当x1时取等号，所以a的取值范围是答案 当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解【训练3】 (2011宿州模拟)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_解析由x0，y0，xyx2y2 ，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，m10，故m的最大值为10.答案10考向三利用基本不等式解实际问题【例3】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？审题视点 用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可还应注意定义域0x5；函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性解由题意可得，造价y3(2x150400)5 8009005 800(0x5)，则y9005 80090025 80013 000(元)，且当x，即x4时取等号当侧面的长为4米，总造价最低 解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解【训练3】 东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元从今年起，工厂投入100万元科技成本并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n).若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解(1)第n次投入后，产量为(10n)万件，销售价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n万元所以，年利润为f(n)(10n)100n(nN*)(2)由(1)知f(n)(10n)100n1 00080520(万元)当且仅当，即n8时，利润最高，最高利润为520万元所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.【示例】已知a0，b0，且ab1，求的最小值错因两次基本不等式成立的条件不一致a0，b0，且ab1，ab2.又2 ，而ab，4，24，故的最小值为4.正解a0，b0，且ab1，(ab)1232 32.当且仅当即时，的最小值为32.【试一试】 (2010四川)设ab0，则a2的最小值是()A1 B2 C3 D4a2a2ababa(ab)ab2 2 224.当且仅当a(ab)且ab， 即a2b时，等号成立 答案D18.已知二次函数满足：对任意实数,都有，且当（1，3）时，有成立. （1）求; （2）若的表