高考数学一轮复习 7.11轨迹方程的求法练习 理.doc

第十一节轨迹方程的求法一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线c(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，二是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标m(x，y)；列几何等式：写出适合条件的点的集合pm|p(m)，关键是根据条件列出适合条件的等式；化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；化简：把方程f(x，y)0化成最简形式；证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤可以省略不写如有特殊情况，可适当加以说明，步骤也可省略(2)求曲线轨迹方程应注意的问题要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性；若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型1如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线c上”不正确那么，以下正确的命题是(d)a曲线c上的点的坐标都满足方程f(x，y)0b坐标满足方程f(x，y)0的点有些在c上，有些不在c上c坐标满足方程f(x，y)0的点都不在曲线c上d一定有不在曲线c上的点，并且其坐标满足方程f(x，y)0分析：由曲线与方程的概念判定解析：若方程为y|x|，曲线c为一、三象限角平分线，显然曲线c上的点的坐标不都满足方程，故a错误；同理可推出，坐标满足方程的点都不在曲线c上是错误的，故c错误；若方程为yx1，曲线c为一、三象限角平分线，显然满足方程的点都不在曲线c上，故b错误；因此只有d正确2已知点a(2，0)，b(3，0)，动点p(x，y)满足x2，则点p的轨迹是(c)a圆b椭圆c抛物线 d双曲线解析：设动点p的坐标为(x，y)，则(2x，y)，(3x，y)，由x2，得y2x6，故选c.3已知椭圆1的左、右两个焦点分别是f1，f2，p是这个椭圆上的一个动点，延长f1p到q，使得|pq|f2p|，则q的轨迹方程是(x1)2y216解析：提示：用定义法求轨迹方程4如图所示，一圆形纸片的圆心为o，f是圆内一定点，m是圆周上一动点，把纸片折叠使m与f重合，然后抹平纸片，折痕为cd，设cd与om交于点p，则点p的轨迹是(a)a椭圆 b双曲线c抛物线 d圆高考方向1.求曲线的轨迹或轨迹方程是近几年高考命题的一个方向.2.常以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，有时会与向量交汇考查.考查定义法、相关点法、参数法等求轨迹的方法.3.题型大多数以解答题为主，属中高档题.1曲线c是平面内与两个定点f1(1，0)和f2(1，0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线c过坐标原点；曲线c关于坐标原点对称；若点p在曲线c上，则f1pf2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是解析： 曲线c经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a1，与条件不符；曲线c关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|pf1|pf2|a2，关于原点的对称点处也一定符合|pf1|pf2|a2；三角形的面积sf1f2p，因为sf1f2p|pf1|pf2|sinf1pf2|pf1|pf2|.所以正确2(2013新课标全国卷)已知圆m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与m外切并且与圆n内切，圆心的轨迹为曲线c.(1)求c的方程；(2)l是与圆p，圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a，b两点，当圆p的半径最长时，求|ab|. 解析：由已知得圆m的圆心为m(1，0)，半径r11，圆n的圆心为n(1，0)，半径r23.设动圆p的圆心为p(x，y)，半径为r.(1)因为圆p与圆m外切且与圆n内切，所以|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24，由椭圆的定义可知，曲线c是以m，n为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线c上任意一点p(x，y)，由于|pm|pn|2r22，所以r2，当且仅当圆p的圆心为(2，0)时，r2.所以当圆p的半径最长时，其方程为(x2)2y24，当l的倾斜角为90时，则与y轴重合，可得|ab|2.当l的倾斜角不为90时，由r1r知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为q，则，可求得q(4，0)，所以设l：yk(x4)，由l与圆m相切得1，解得k.当k时，将yx代入1(x2)并整理得7x28x80，解得x1，x2，所以|ab|x1x2|.当k时，由图形的对称性可知|ab|，综上，|ab|或|ab|2.1(2013盐城模拟)设m、n为拋物线c：yx2上的两个动点，过m、n分别作拋物线c的切线l1、l2，与x轴分别交于a、b两点，且l1与l2相交于点p，若ab1.(1)求点p的轨迹方程；(2)求证：mnp的面积为一个定值，并求出这个定值(1)解析：y2x，设m(m，m2)，n(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的斜率分别为k12m，k22n，切线方程分别为y2mxm2，y2nxn2，则a，b，设p(x，y)，由得因为ab1，所以|nm|2，即(mn)24mn4，将代入上式得yx21，所以点p的轨迹方程为yx21.(2)证明：设直线mn的方程为ykxb(b0)联立方程消去y得x2kxb0，所以mnk，mnb，点p到直线mn的距离d，mn|mn|，所以smnpdmn|mn|(mn)2|mn|2.即mnp的面积为定值2.2(2013四川卷)已知椭圆c：1(ab0)的两个焦点分别为f1(1，0)，f2(1，0)，且椭圆c经过点p.(1)求椭圆c的离心率；(2)设过点a(0，2)的直线l与椭圆c交于m，n两点，点q是线段mn上的点，且，求点q的轨迹方程解析：(1)由椭圆的定义知，2a|pf1|pf2|2，所以a.由题意知，c1，所以椭圆c的离心率e.(2)由(1)知，椭圆c的方程为y21.设点q的坐标为(x，y)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆c交于(0，1)，(0，1)两点，此时点q的坐标为.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为点m，n在直线l上，可设点m，n的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|am|2(1k2)x，|an|2(1k2)x.又|aq|2x2(y2)2(1k2)x2，由，得，即.将ykx2代入y21，得(2k21)x28kx60.由(8k)24(2k21)60，得k2.由可知，x1x2，x1x2，代入中并化简，得x2.因为点q在直线ykx2上，所以k，代入中并化简，得10(y2)23x218.由及k2，可知0x2，即x.又满足10(y2)23x218，故x.由题意知点q(x，y)在椭圆c内，所以1y1.又由10(y2)2183x2有(y2)2且1y1，则y.所以点q的轨迹方程为10(y2)23x218.其中x，y.课时作业1已知两定点a(1，1)，b(1，1)，动点p满足，则点p的轨迹是(b)a圆b椭圆c双曲线d拋物线解析：设点p(x，y)，则(1x，1y)，(1x，1y)，(1x)(1x)(1y)(1y)x2y22.由已知x2y22，即1，点p的轨迹为椭圆故选b.2点p(4，2)与圆x2y24上任一点连结的中点轨迹方程是(a)a(x2)2(y1)21 b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24 d(x2)2(y1)21解析：设中点m(x，y)，圆上任一点n(x0，y0)，n(x0，y0)在圆上，xy4，(2x4)2(2y2)24，(x2)2(y1)21.故选a.3(2013武汉模拟)长为3的线段ab的端点a、b分别在x轴、y轴上移动，2，则点c的轨迹是(c)a线段 b圆 c椭圆 d双曲线解析：设c(x，y)，a(a，0)，b(0，b)，则a2b29.又2，所以(xa，y)2(x，by)，即将代入式整理可得x21.故选c.4已知点a(1，0)，直线l：y2x4，点r是直线l上的一点，若，则点p的轨迹方程为(b)ay2x by2xcy2x8 dy2x4解析：设p(x，y)，r(x0，y0)，a为线段rp的中点，y02x04，y2(2x)4，点p的轨迹方程为y2x.故选b.5已知f1，f2分别为椭圆c：1的左、右焦点，点p为椭圆c上的动点，则pf1f2的重心g的轨迹方程为(c)a.1(y0) b.y21(y0)c.3y21(y0) dx21(y0)解析：由已知得f1(1，0)，f2(1，0)，设g1(x，y)，p(x1，y1)，因为g是pf1f2的重心，所以解得代入椭圆方程整理得3y21(y0)故选c.6设曲线c定义为到点(1，1)和(1，1)距离之和为4的动点的轨迹若将曲线c绕坐标原点逆时针旋转45，则此时曲线c的方程为1解析：根据椭圆的定义可知所求的轨迹是椭圆，(1，1)和(1，1)旋转后得到(0，)和(0，)，a2，c，b，曲线c的方程为1.7(2013上海检测)动点p到点f(2，0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点p的轨迹方程为y28x解析：设点p的坐标为(x，y)，由题意可得|x2|，化简得y28x，即为点p的轨迹方程8过抛物线x24y的焦点f作直线l交抛物线于a、b两点，则弦ab的中点m的轨迹方程是x22y2解析：设直线l的方程为ykx1.由得x24kx40，设a(x1，y1)、b(x2，y2)，设m(x，y)，则消去k得x22y2.9自抛物线y22x上任意一点p向其准线l引垂线，垂足为q，连接顶点o与p的直线与连接焦点f与q的直线交于点r，求点r的轨迹方程解析：设p(x1，y1)，r(x，y)，则q，f，op的方程为yx，fq的方程为yy1.由得x1，y1，代入y22x，可得y22x2x.10已知a(2，0)、定圆m：(x2)2y225，p是圆上的动点，线段ap的垂直平分线交mp于q，求q的轨迹方程解析：如图，|qp|qa|，|qm|qa|qm|qp|mp|54.动点q的轨迹是椭圆，又2a5，c2，b2a2c2，q的轨迹方程为1.11经过点f (0，1)且与直线y1相切的动圆的圆心轨迹为m，点a、d在轨迹m上，且关于y轴对称，过线段ad (两端点除外)上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹m 在点d处的切线平行，设直线l与轨迹m交于点b、c.(1)求轨迹m的方程；(2)证明：badcad；(3)若点d到直线ab的距离等于|ad|，且abc的面积为20，求直线bc的方程(1)解析：设圆心坐标为(x，y)，由题意动圆经过定点f(0，1)，且与定直线：y1相切，所以有|y1|，即(y1)2x2(y1)2，即x24y.故轨迹m的方程为x24y.(2)证明：由(1)得yx2，yx，设d，由导数的几何意义得直线l的斜率为kbcx0，则a，设c，b.则kbcx0，x1x22x0