勾股定理的证明

1 1 勾股定理的证明 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a2 b2 c2 两千多年来 人们对勾股定理的证明颇感兴趣 因为这个定理太贴近人们的生活实际 以致于古往今来 下至平民百姓 上至帝王总统都愿意探讨它的证明 因此不断涌现新的证法 下面我们一起学习几种证明勾股定理的方法 赵爽的 弦图 早在公元3世纪 我国数学家赵爽就用左边的图形验证了 勾股定理 在北京召开的2002年国际数学家大会 TCM 2002 的会标 其图案正是 弦图 它标志着中国古代的数学成就 思考 你能验证吗 赵爽指出 按弦图 又可以勾股相乘为朱实二 倍之为朱实四 以勾股之差自相乘为中黄实 加差实 亦成弦实 赵爽弦图 朱实 朱实 朱实 C 朱实 C2 2 ab a b 2 a2 b2 2 证法一 割补法 a b 2 a2 b2 2ab c2 2ab 可得 a2 b2 c2 证法三 在1876年一个周末的傍晚 美国华盛顿的郊外 有一位中年人正在散步 欣赏黄昏的美景 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德 他走着走着 突然发现附近的一个小石凳上 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么 时而大声争论 时而小声探讨 由于好奇心驱使 伽菲尔德循声向两个小孩走去 想搞清楚两个小孩到底在干什么 只见一个小男孩正俯着身子 用树枝在地上画一个直角三角形 于是伽菲尔德便问 你们在干什么 只见那个小男孩头也不抬地说 请问先生 如果直角三角形的两条直角边分别是 和4 那么斜边长为多少呢 伽菲尔德答到 是 呀 小男孩又问道 如果两条直角边分别为 和 那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢 伽菲尔德不假思索地回答到 那斜边的平方 一定等于5的平方加上7的平方 小男孩又说道 先生 你能说出其中的道理吗 伽菲尔德一时语塞 无法解释了 心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步 立即回家 潜心探讨小男孩给他留下的难题 证法四 伽菲尔德经过反复的思考与演算 终于弄清楚了其中的道理 并给出了简洁的证明方法 1876年4月1日 伽菲尔德在 新英格兰教育日志 上发表了他对勾股定理的这一证法 1881年 伽菲尔德就任美国第二十任总统后 人们为了纪念他对勾股定理直观 简捷 易懂 明了的证明 就称这一证法称为 总统 证法 美国第二十任总统伽菲尔德 总统巧证勾股定理 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 毕达哥拉斯证法 证法五 你还想知道勾股定理的其它证法吗 请上网查询 你一定会有精彩的发现 若你再能写一点有关勾股定理的小文章 那就更漂亮了 S矩形ADNM 2S ADC 又 正方形ACHK和 ABK同底 等高 S正方形ACHK 2S ABK AD AB AC AK CAD KAB ADC ABK 由此可得S矩形ADNM S正方形ACHK 同理可证S矩形MNEB S正方形CBFG S矩形ADNM S矩形MNEB S正方形ACHK S正方形CBFG 即S正方形ADEB S正方形ACHK S正方形CBFG 也就是a2 b2 c2 传说中毕达哥拉斯的证法 证明 从Rt ABC的三边向外各作一个正方形 作CN DE交AB于M 那么正方形ABED被分成两个矩形 连结CD和KB 由于矩形ADNM和 ADC同底 AD 等高 刘徽在 九章算术 中对勾股定理的证明 勾自乘为朱方 股自乘为青方 令出入相补 各从其类 因就其余不移动也 合成弦方之幂 开方除之 即弦也 令正方形ABCD为朱方 正方形BEFG为青方 在BG间取一点H 使AH BG 裁下 ADH 移至 CDI 裁下 HGF 移至 IEF 是为 出入相补 各从其类 其余不动 则形成弦方正方形DH