高中数学 212由曲线求它的方程、由方程研究曲线课件 新人教B版选修21.ppt

1 知识与技能了解解析几何主要讨论的两个基本问题 掌握求曲线方程的一般方法和步骤 能够利用曲线的方程研究曲线的性质 2 过程与方法求曲线方程时 要注意数形结合思想的运用 在化简过程中 应注意转化一定要等价 3 情感态度与价值观通过本节的学习 使学生进一步体会曲线与方程的对立关系 感受坐标法的作用 重点 确定曲线的方程和借助方程研究性质 难点 寻求动点所满足的关系 1 曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上 用坐标表示点 用方程表示曲线 通过研究方程的特征来研究曲线的性质 求曲线的方程时 首先应观察原题条件中有没有坐标系 没有坐标系时应先建立坐标系 否则曲线不能转化为方程 建坐标系应建得适当 这样可使运算过程简单 所得的方程也较简单 根据曲线上的点适合的条件列出等式 是求方程的重要一环 在这里常用到一些基本公式 仔细审题 分析已知条件和曲线的特征 抓住与曲线上任意点m有关的相等关系结合基本公式列出等式 并进行化简 2 曲线的对称性 在曲线方程里 如果以 y代y方程不变 那么当点p x y 在曲线上时 它关于x轴的对称点p x y 也在曲线上 所以曲线关于x轴对称 同理 如果以 x代x方程不变 那么曲线关于y轴对称 如果同时以 x代x 以 y代y方程不变 那么曲线关于原点对称 容易证明 如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种 那么它一定还具有另一种对称性 例如 如果曲线关于x轴和原点对称 那么它一定关于y轴对称 事实上 设点p x y 在曲线上 因为曲线关于x轴对称 所以点p1 x y 必在曲线上 因为曲线关于原点对称 所以p1关于原点的对称点p2 x y 必在曲线上 因为p x y p2 x y 都在曲线上 所以曲线关于y轴对称 3 由方程研究曲线的性质与图象 主要从曲线的范围 对称性 截距几个方面可确定曲线的大致形状 画方程的曲线时 要保持方程变形的等价性 1 解析几何主要讨论下面的两个基本问题 1 由曲线求它的方程 2 利用方程研究曲线的性质 2 求曲线方程的一般步骤 1 建立适当的直角坐标系 2 设动点m的坐标为 x y 3 把几何条件转化为坐标表示 4 证明 3 利用方程研究曲线的性质 1 曲线的组成 2 曲线与坐标轴的交点 3 曲线的对称性质 4 曲线的变化情况 5 画出方程的曲线 例1 已知直角坐标平面上点q 2 0 和圆o x2 y2 1 动点m到圆o的切线长与 mq 的比等于常数 0 求动点m的轨迹方程 说明它表示什么曲线 分析 用直接法可求动点m的轨迹方程 并通过讨论 的取值范围来确定轨迹方程表示的曲线 解析 如图所示 设mn切圆于n 于是动点m组成的集合是p m mn mq 常数 0 圆的半径 on 1 mn 2 mo 2 on 2 mo 2 1 设点m的坐标为 x y 则 说明 在求轨迹方程时 要注意 全面 准确地理解题意 弄清题目中的已知和结论 发现已知和未知的关系 进行知识的重新组合 合理的进行数学语言间的转换 数学语言包括文字语言 符号语言和图形语言 通过审题画出必要的图形和示意图 将不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式 将不便于进行数学处理的语言化为便于处理的数学语言 注意挖掘问题中的隐含条件 注意解题过程中的信息反馈 作出恰当的处理 答案 a 例2 在 abc中 b 1 0 c 1 0 若bc边上的高为2 求垂心h的轨迹方程 分析 由三角形垂心的定义得出 ac bh 如图所示 则可由kac kbh 1 得到关于x y的方程 说明 直接法求轨迹方程是求轨迹方程的最常用方法 当题设条件中动点坐标x y之间的等量关系容易找时 一般用此法 已知一条曲线在x轴的上方 它上面的每一点到点a 0 2 的距离减去它到x轴的距离的差都是2 求这条曲线的方程 分析 因为曲线在x轴上方 所以曲线上点的纵坐标y 0 动点m x y 到定点a 0 2 的距离 ma y 2 由此可求得曲线的方程 例3 讨论方程x2y y 2x 0的曲线的性质 并描绘其曲线 分析 将方程转化为函数 利用函数的性质作图 4 单调性 在x 1 和x 1 时 y递减 在x 1 1 时 y递增 5 作图 通过列表描点作出函数在x 0时的图象 再利用关于原点的对称性可画出它的全部图象 如图所示 说明 描点作图充分展示了曲线与方程的关系 当然描点法比较麻烦 这类问题往往应用化归的思想 将方程问题转化为函数问题 利用函数的性质迅速作图 例4 某市环保部门对城市里的一条污水河进行改造 即用隔离物将其封闭 隔离物横截面为对称的抛物线段 如图所示 封闭处污水河宽ab为10米 隔离物最高点o到污水河面的距离为2米 当外围水域涨水时 污水河面随之升高 分析 解答本题的关键是根据题意建立适当的坐标系 将实际问题转化为数学问题 求出曲线的方程 例5 过定点a a b 任作两条互相垂直的直线 分别交x y轴于m n两点 求线段mn的中点p的轨迹方程 辨析 求曲线的轨迹方程 关键之一就是建立与动点m x y 有关的关系 方程 因观察认识的角度不同 所得关系也不同 解题时可以多角度思考 本例可直接翻译题设条件 也可将条件变形转化为更直接 更简单的几何关系 这一点对许多轨迹问题的解决皆有启示作用 一 选择题1 到直线4x 3y 5 0的距离为1的点的轨迹方程为 a 4x 3y 10 0和4x 3y 0b 4x 3y 10 0和4x 3y 1 0c 4x 3y 10 0和4x 3y 0d 4x 3y 10 0和4x 3y 1 0 答案 a 解析 利用点到直线的距离公式易求 2 已知点m 2 0 n 2 0 则以mn为斜边的直角三角形的直角顶点p的轨迹方程是 a x2 y2 4 x 2 b x2 y2 4c x2 y2 16d x2 y2 16 x 4 答案 a 解析 由直角三角形斜边中线等于斜边一半知 po 2 即x2 y2 4 但m n p不能共线 故p点轨迹方程为x2 y2 4 x 2 故答案为a 3 到a 2 3 和b 4 1 的距离相等的点的轨迹方程是 a x y 1 0b x y 1 0c x y 1 0d x y 1 0 答案 c 答案 x2 y 1 2 1 y 0 以 0 1 为圆心 1为半径的圆 不包括原点 解析 由题意 l1可为过原点除x轴的任意直线 l2可为过a 0 2 除y轴的任意直线 由平面几何性质知 向量a b共线 方向相反 l1与a垂直 l2与b平行 则l1与l2相互垂直 交点p的轨迹是以 0 1 为圆心 oa为直径的圆周除去原点o的部分 5 已知两直线a1x b1y 1 0和a2x b2y 1 0的交点为p 2 3 则过两点q1 a1 b1 q2 a2 b2 的直线方程是 答案 2x 3y 1 0 解析 p 2 3 在a1x b1y 1 0上 代入得2a1 3b1 1 0 同理2a2 3b2 1 0 故