KVL独立性证明.doc

KVL方程独立性的研究2014年河北工程大学科信学院KVL方程独立性的研究专业：热能与动力工程 班级：12级三班 姓名：学号：KVL方程独立性的研究专业：12级热能与动力工程 班级：热动三班姓名： 学号： 摘要：在我们所学的大学电路基础学习中基尔霍夫定律中KVL方程式解决电路问题的基础方法。线性电路一般的分析方法有支路电流法、回路电流法和节点电压法，但这些基本方法都是建立在KVL独立方程上的。KVL独立方程的个数可以用数学归纳法确定电路网孔个数，在分析共享网孔和外沿网孔确定网孔的KVL方程独立个数。也可以利用“图”论中的“树”的概念来证明该KVL独立方程的个数。 关键词：数学归纳法、网孔数公式、网孔方程、外沿网孔、网络图论、电网路、树、连支、基本回路线性电路一般的分析方法有支路电流法、回路电流法和节点电压法，但这些基本方法都是建立在KVL独立方程上的。而列方程一级两类约束：、元件或支路的电压电流关系。、电路连接的约束方程：基尔霍夫电流、电压定律（KCL/KVL独立方程），而列方程就涉及到了如何选取未知量且能保证所列的方程独立数最少。下面我们用两种方法证明KVL方程的独立性：方法一：对于一个平面网可以用网孔法来确定KVL首先给出一个完整的平面电路，则该平面电路就有b-(n-1)个网孔。我们用数学归纳的方法证明平面电路网孔数m=b-(n-1)。当m=1时，b=n该式很容易看出是正确的，下面我们直接证明具有m个网孔的电路,上述式子的正确性。若对于一个具有m个网孔的电路，该式正确的，则当电路改为(m+1)个网孔时该式子仍然成立。如图一所示，可以在存在的节点之间任意加上一图一条支路使网数增加一个，也可以加k条串联电路，这些支路则经过(k-1)个点与原来的电路相连，也能使网孔数增加一个。令新的电路网孔数为p，支路数为q，节点为n，则显然得：p=m+1 q=b+k h=n+(k-1)由于m=b-(n-1)，因而p=m+1=b-(n-1)+1=q-k-h+k+1=q-(h-1) 由此证明网孔数的公式依然成立。对于b-(n-1)个网孔所列的KVL方程式独立的，在平面电路中，每一支路要么为两孔所共有，要么只属于电路的边界。若将边界也看成一个包围外部“空间”的网孔则成为“外沿网孔”，则所有支路都将为两个网孔所共有。设电路的网孔数为m，则外沿网孔在内的（m+1）个网孔的KVL方程之和为其和恒为零，这因为在列网孔的KVL方程时，每一支路电压出现两次，一次为正一次为负，相互抵消，因而(m+1)个KVL网孔方程是非独立的，若去掉一个外沿网孔方程，则剩下的m个网孔方程式独立的，其原因是去掉一个网孔方程后该支路的电压在其他的网孔方程中就只能出现一次，若将其余的b-(n-1)个网孔方程相加，这些支路的电压就不会与其他支路的电压相抵消，相加的结果就不会是零，由此证明了b-(n-1)个KVL方程是独立的。方法二：对于非平面图，或是平面图但不选网孔作为独立回路，就要利用“树”的概念来寻找一个图的独立回路，从而得到独立的KVL方程组。连通图G的树（一棵“树”）是同时满足下面三个条件的一个子图（应注意构成树的三个条件缺一不可）：、此子图是连通的；、它包括了原图的全部结点；、它不包含任何闭合回路。12853746图二非平面图对于图二连通图G，符合上述的定义的树有很多，图(a)、(b)、(c)就是其中的三个，但图(d)、(e)不是该图的树。因图(d)中包含了回路；图(e)则是非连通的。树中包含的支路成为树支，而其他支路则成为连支。例如，图(a)所示树中，树支为（1、3、4、8），而未画出的（2、5、6、7、）为对应的连支。如果对图(a)、(b)、(c) 所示图G的每一棵树研究就会发现，它们都具有n-1条树支。38 4115 88 7 673(c)(b)（a）2 5 8258 7 3图二的树(e)(d)连通图G的一颗树连接所有结点又不形成回路。所以每加入一条支连，就会形成一个回路，并且此回路除所加的连支外其他都由树支构成，这种回路称为单连支回路或基本回路。对于图三(a)，选定的支路1、3、4、8为树支，而支路2、5、6、7为连支。由此图得图三(a)的单连支回路分别为（2、1、3、4） （5、1、8） （6、3、4、8） （7、4、8）共4个回路。如果规定连支电流的方向为其所在回路的循环方向，则得单连支回路如图三(b)、(c)、(d)、(e)所示。148 75 623i111243i12158I138643I14(a)(b)(c)(d)847(e)图三单连支路对于一个具有b条支路和n个结点的电路，连支数为l=b-n+1。这也就是一个图的独立回路的数目。选择不同的树，可以得到不同的基本回路，但独立回路的数目均为b-n+1个，可以证明，对于任意一个具有b条支路的和n个结点的电路，可以列出独立的KVL方程的数为b-n+1个。既独立的KVL方程数等于独立回路数（一个独立回路只能列出一个独立的KVL方程）。参考文献：电路基础（化学工业工出版社） 电路基础（高等教育出版社） 电路基础（中国矿业大学出版社）http:/