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文档简介
椭_圆知识能否忆起1椭圆的定义平面内到两个定点f1,f2的距离之和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点f1,f2间的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程及其几何性质条件2a2c,a2b2c2,a0,b0,c0图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围|x|a;|y|b|x|b;|y|a对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称顶点长轴顶点(a,0) 短轴顶点(0,b)长轴顶点(0,a) 短轴顶点(b,0)焦点(c,0)(0,c)焦距|f1f2|2c(c2a2b2)离心率e(0,1),其中c通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为小题能否全取1(教材习题改编)设p是椭圆1的点,若f1,f2是椭圆的两个焦点,则|pf1|pf2|等于()a4b8c6 d18解析:选c依定义知|pf1|pf2|2a6.2(教材习题改编)方程1表示椭圆,则m的范围是()a(3,5) b(5,3)c(3,1)(1,5) d(5,1)(1,3)解析:选c由方程表示椭圆知解得3m5且m1.3(2012淮南五校联考)椭圆1的离心率为,则k的值为()a21 b21c或21 d.或21解析:选c若a29,b24k,则c,由,即,得k;若a24k,b29,则c,由,即,解得k21.4(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为,焦距为8.则该椭圆的方程是_解析:2c8,c4,e,故a8.又b2a2c248,椭圆的方程为1.答案:15已知f1,f2是椭圆c的左,右焦点,点p在椭圆上,且满足|pf1|2|pf2|,pf1f230,则椭圆的离心率为_解析:在三角形pf1f2中,由正弦定理得sinpf2f11,即pf2f1,设|pf2|1,则|pf1|2,|f2f1|,所以离心率e.答案:1.椭圆的定义中应注意常数大于|f1f2|.因为当平面内的动点与定点f1,f2的距离之和等于|f1f2|时,其动点轨迹就是线段f1f2;当平面内的动点与定点f1,f2的距离之和小于|f1f2|时,其轨迹不存在2已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断,当焦点位置不明确时,要分两种情形讨论椭圆的定义及标准方程典题导入例1(2012山东高考)已知椭圆c:1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为()a.1b.1c.1 d.1自主解答椭圆的离心率为,a2b.故椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0,渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为,由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4,b25,即a24b220.故椭圆c的方程为1.答案d本例中条件“双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x2y22x150的半径”问题不变解:x2y22x150,(x1)2y216,r4,即2a4,a2.又,c,b1,故椭圆方程为y21.由题悟法1解决与到焦点的距离有关的问题时,首先要考虑用定义来解题2椭圆方程的求法多用待定系数法,其步骤为:(1)定标准;(2)设方程;(3)找关系;(4)得方程3当椭圆焦点位置不明确时,可设为1(m0,n0,mn),也可设为ax2by21(a0,b0,且ab)以题试法1(2012张家界模拟)椭圆y21的两个焦点为f1,f2,过f1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为p,则|pf2|()a. b.c. d4解析:选a因为a24,b21,所以a2,b1,c.不妨设f1为左焦点,p在x轴上方,则f1(,0),设p(,m)(m0),则m21,解得m,所以|pf1|根据椭圆定义|pf1|pf2|2a,所以|pf2|2a|pf1|22.椭圆的几何性质典题导入例2(1)f1、f2是椭圆y21的左右焦点,点p在椭圆上运动则的最大值是()a2b1c2 d4(2)(2012江西高考)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是a,b,左、右焦点分别是f1、f2,若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,则此椭圆的离心率为()a.b.c. d.2自主解答(1)设p(x,y),依题意得f1(,0),f2(,0),(x)(x)y2x2y23x22.0x24,2x221.的最大值是1.(2)由题意知|af1|ac,|f1f2|2c,|f1b|ac,且三者成等比数列,则|f1f2|2|af1|f1b|,即4c2a2c2,a25c2,所以e2,故e.答案(1)b(2)b由题悟法1求椭圆的离心率实质上是建立a,b,c中任意两者或三者之间的关系,利用e或e 去整体求解2解决与椭圆几何性质有关的问题时:一是要注意定义的应用;二是要注意数形结合;三是要注意axa,byb,0e1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用以题试法2(1)(2012西工大附中适应性训练)已知动点p(x,y)在椭圆1上,若a点的坐标为(3,0),|,|1,且,0,则|,|的最小值为_(2)设f1,f2分别是椭圆1(ab0)的左,右焦点,若在直线x上存在点p,使线段pf1的中垂线过点f2,则椭圆的离心率的取值范围是_解析:(1)由|,|1,a(3,0)知点m在以a(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,,0且p在椭圆上运动,pmam,pm为a的切线,连接pa(如图),则|,| ,当|,|minac532时,|,|min .(2)设p,线段f1p的中点q的坐标为,则直线f1p的斜率kf1p,当直线qf2的斜率存在时,设直线qf2的斜率为kqf2(b22c20)由kf1pkqf21得y20,但注意到b22c20,故2c2b20,即3c2a20,即e2,故e1.当直线qf2的斜率不存在时,y0,f2为线段pf1的中点由c2c得e,综上得e1.答案:(1)(2)直线与椭圆的位置关系典题导入例3(2012安徽高考)如图,f1,f2分别是椭圆c:1(ab0)的左,右焦点,a是椭圆c的顶点,b是直线af2与椭圆c的另一个交点,f1af260.(1)求椭圆c的离心率;(2)已知af1b的面积为40,求a,b的值自主解答(1)由题意可知,af1f2为等边三角形,a2c,所以e.(2)法一:a24c2,b23c2,直线ab的方程为y(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2,得b,所以|ab|c.由saf1b|af1|ab|sin f1abaca240,解得a10,b5.法二:设|ab|t.因为|af2|a,所以|bf2|ta.由椭圆定义|bf1|bf2|2a可知,|bf1|3at,再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得,ta.由saf1baaa240知,a10,b5.由题悟法1直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立,通过讨论此方程组的实数解的组数来确定,即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式的符号来确定:当0时,直线和椭圆相交;当0时,直线和椭圆相切;当b0)的离心率为,右焦点为(2,0)斜率为1的直线l与椭圆g交于a,b两点,以ab为底边作等腰三角形,顶点为p(3,2)(1)求椭圆g的方程;(2)求pab的面积解:(1)由已知得c2,.解得a2,又b2a2c24.所以椭圆g的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设a、b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x12),其离心率为,故,解得a4,故椭圆c2的方程为1.(2)法一:a,b两点的坐标分别记为(xa,ya),(xb,yb),由2及(1)知,o,a,b三点共线且点a,b不在y轴上,因此可设直线ab的方程为ykx.将ykx代入y21中,得(14k2)x24,所以x.将ykx代入1中,得(4k2)x216,所以x.又由2,得x4x,即,解得k1.故直线ab的方程为yx或yx.法二:a,b两点的坐标分别记为(xa,ya),(xb,yb),由2及(1)知,o,a,b三点共线且点a,b不在y轴上,因此可设直线ab的方程为ykx.将ykx代入y21中,得(14k2)x24,所以x.由2,得x,y.将x,y代入1中,得1,即4k214k2,解得k1.故直线ab的方程为yx或yx.1(2012长春模拟)以o为中心,f1,f2为两个焦点的椭圆上存在一点m,满足|,|2|,|2|,|,则该椭圆的离心率为()a. b.c. d.解析:选c不妨设f1为椭圆的左焦点,f2为椭圆的右焦点过点m作x轴的垂线,交x轴于n点,则n点坐标为,并设|,|2|,|2|,|2t,根据勾股定理可知,|,|2|,|2|,|2|,|2,得到ct,而a,则e.2(2012太原模拟)已知椭圆c1:1(a1b10)和椭圆c2:1(a2b20)的焦点相同且a1a2.给出如下四个结论:椭圆c1和椭圆c2一定没有公共点;aabb;a1a2b1b2.其中,所有正确结论的序号是()a bc d解析:选c由已知条件可得abab,可得aabb,而a1a2,可知两椭圆无公共点,即正确;又aabb,知正确;由abab,可得abba,则a1b2,a2b1的大小关系不确定,不正确,即不正确;a1b10,a2b20,a1a2b1b20,而又由(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2),可得a1a2b1b2,即正确综上可得,正确的结论序号为.3(2012西城模拟)已知椭圆c:1(ab0)的一个焦点是f(1,0),且离心率为.(1)求椭圆c的方程;(2)设经过点f的直线交椭圆c于m,n两点,线段mn的垂直平分线交y轴于点p(0,y0),求y0的取值范围解:(1)设椭圆c的半焦距是c.依题意,得c1.因为椭圆c的离心率为,所以a2c2,b2a2c23.故椭圆c的方程为1.(2)当mnx轴时,显然y00.当mn与x轴不垂直时,可设直线mn的方程为yk(x1)(k0)由消去y并整理得(34k2)x28k2x4(k23)0.设m(x1,y1),n(x2,y2),线段mn的中点为q(x3,y3),则x1x2.所以x3,y3k(x31).线段mn的垂直平分线的方程为y.在上述方程中,令x0,得y0.当k0时,4k4;当k0时,4k4.所以y00或0y0.综上,y0的取值范围是.1(2012广东高考)在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆c1:1(ab0)的左焦点为f1(1,0),且点p(0,1)在c1上(1)求椭圆c1的方程;(2)设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2:y24x相切,求直线l的方程解:(1)根据椭圆的左焦点为f1(1,0),知a2b21,又根据点p(0,1)在椭圆上,知b1,所以a,所以椭圆c1的方程为y21.(2)因为直线l与椭圆c1和抛物线c2都相切,所以其斜率存在且不为0,设直线l的方程为ykxm(k0),代入椭圆方程得(kxm)21,即x22kmxm210,由题可知此方程有唯一解,此时4k2m24(m21)0,即m22k21.把ykxm(k0)代入抛物线方程得y2ym0,由题可知此方程有唯一解,此时1mk0,即mk1.联立得解得k2,所以或所以直线l的方程为yx或yx.2(2012湖南高考)在直角坐标系xoy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆e的一个焦点为圆c:x2y24x20 的圆心(1)求椭圆e的方程;(2)设p是椭圆e上一点,过p作两条斜率之积为的直线l1,l2,当直线l1,l2都与圆c相切时,求p的坐标解:(1)由x2y24x20得(x2)2y22,故圆c的圆心为点(2,0)从而可设椭圆e的方程为1(ab0),其焦距为2c.由题设知c2,e.所以a2c4,b2a2c212.故椭圆e的方程为1.(2)设点p的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1,l2的方程分别为l1:yy0k1(xx0),l2:yy0k2(xx0),且k1k2.由l1与圆c:(x2)2y22相切得,即(2x0)22k2(2x0)y0k1y20.同理可得(2x0)22k2(2x0)y0k2y20.从而k1,k2是方程(2x0)22k22(2x0)y0ky20的两个实根,于是且k1k2.由得5x8x0360.解得x02或x0.由x02得y03;由x0得y0,它们均满足式故点p的坐标为(2,3),或(2,3),或或.3(2012河南模拟)已知中心在原点o,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点o的直线l与该椭圆交于p,q两点,满足直线op,pq,oq的斜率依次成等比数列,求opq面积的取值范围解:(1)由题意可设椭圆方程为1(ab0),则故所以椭圆的方程为y21.(2)由题意可知,直线l的斜率存在
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