高等数学概念定理推论公式2.doc

级数几何级数公式r的绝对值|r|1时收敛。设正项级数之后项与前项的比值的极限等于：，则当1(或)时级数发散；当=1时，级数可能收敛也可能发散。设正项级数一般项的次根的极限等于：，则当1(或)时级数发散；当=1时，级数可能收敛也可能发散。设级数的各项可以看作是区间上正的减函数(连续的)相应于的各个值：，则广义积分：收敛或发散时，级数也随之收敛或发散。若交错级数满足条件：；，则级数收敛，其和，其余项的绝对值|。若任意项级数的各项的绝对值所成的级数收敛，则原级数收敛。注意：并不是每个收敛级数都是绝对收敛的，若级数收敛绝对级数发散，则称为条件收敛级数。绝对收敛级数不因改变各项的位置而改变它的和(绝对收敛级数具有可交换性)。设两级数；都为绝对收敛级数，它们逐项相乘后按下列排序的级数也是绝对收敛的，且和等于。广义积分的收敛性： 设在区间内连续函数0。如果存在常数，使得()，则积分收敛；如果存在常数，使得()，则积分发散。 设在区间内连续函数0，但。若存在常数，使得()，则积分收敛；若存在常数及1，使得()，则积分发散。 设在区间内连续函数0。如果存在常数，使得，则积分收敛；如果(或)，则积分发散。 设在区间内连续函数0，但。若存在常数，使得存在，则积分收敛；如果存在常数1，使得(或)，则积分发散。广 义积分对于一切0时收敛。-函数： 当时，； 如果为正整数， 如果为任意数但不等于0，-1，-2，而为正整数，则： 积分中令，则；再令，则。 函数项级数 如果有常数0(n=1,2,)满足条件：级数的一般项的绝对值在区间上适合不等式：；正项级数收敛，则级数在上一致收敛。 若级数的各项在区间上都是连续的，而且级数一致收敛，则它的和在该区间上也是连续的。 若级数的各项在区间上都是连续的，而且级数一致收敛，则它可逐项积分，就是其中是上任意两点，并且积分后组成的级数在上也一致收敛。 若级数在区间上收敛于和，它的各项都具有连续导数，并且级数在上一致收敛，则原级数在该区间上也一致收敛并且可逐项微分，就是。 幂级数(其中叫幂级数的系数) 若幂级数当时收敛，则当一切适合不等式时，级数绝对收敛。反之若它当时发散，则当一切适合不等式时它发散。 若幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数存在，它具有下列性质：当级数绝对收敛；当级数发散；当级数可能收敛也可能发散。 设极限，其中是幂级数相邻两项的系数。若；若；若。 幂级数相加减等于将各相应项的系数相加减。 幂级数相乘与两多项式相乘法则相同。 幂函数相除，当第二个幂函数首项时，设商的各项依次为，则按方法求得商的系数。 设幂级数的收敛半径，则在收敛区间内它的和是个连续函数。 幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，即在幂级数收敛区间内的任意一点，有。 幂级数在其收敛区间内可以逐项微分，即在幂级数收敛区间内的任意一点处，有。 泰勒级数 当时具有特殊形式(麦克劳林级数) 如果函数可以表达为幂级数时，则它的展开式是唯一的：。 牛顿二项式定理： 尤拉公式：或 傅立叶(富里哀级数)三角级数：在区间上之中任何两个不的函数乘积的积分为零。； 三角级数收敛于：，称为的傅立叶级数尤拉-傅立叶公式：(称傅立叶系数)设函数在区间上连续或只具有有限个第一类间断点(第一类间断点：即函数在该点(假设点)的左右极限存在但不相等，或存在且相等但不等于)；函数在区间上只具有极大点和极小点(即把区间分为有限个子区间，使函数在子区间内是单调的)，则由傅立叶系数所定出的傅立叶级数，在区间上收敛，并且它的和：当为的连续点时，等于；当为的间断点时，等于；当为区间的端点时，就是当时，等于。当偶函数在区间上展开为傅立叶级数时，它的傅立叶系数(包括)为：； 而奇函数在该区间上展开为傅立叶级数时，它的傅立叶级数系数(包括)为在区间上满足收敛条件的函数的傅立叶级数的形式为： ，其中系数为 在区间上函数的正弦级数的形式为，其中系数为。 在区间上函数的余弦级数的形式为，其中系数为。 以上三个形式中，若为函数的第一类间断点，应用代替 多元函数的微分法及其应用如果当时函数的极限存在，即，并且极限值就是函数在点的函数值：，则在点是连续的。如果函数在区域内各点都是连续的，就叫函数在内连续。在有界闭区域上的多元连续函数，在该区域上至少取得它的最大值和最小值各一次。在有界闭区域上的多元连续函数如果取得两个不同的函数值，则它在该区域上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。连续函数的和、差、积均为连续函数，在分母不为零处，连续函数的商也是连续的。连续函数的复合函数也是连续函数。一切多元初等函数在其定义域内各点处都是连续的全增量：，两点的距离如果成立，则函数在点的偏导数必存在，并且。 全微分：。 全微分就是两个偏微分之和。 假定函数的偏导数在点连续，则函数在该点具有全微分。 如果函数在点是可微分的，则在该点它沿任一方向的方向导数均存在，其值为。当=0和=时，分别为两个偏导数。 设函数在点有连续偏导数，函数在对应点有连续偏导数，则复合函数在点有对及的连续偏导数并且：；。 设隐函数在点的某一邻域内连续且有连续偏导数，并设，则存在一个唯一的函数，它在点的某一邻域内是单值的连续的，恒能满足方程：，并且当时它等于，同时在这邻域内它有连续导数。 多元隐函数， 空间曲线的切线方程：设空间曲线的参数方程为，则在点切线方程为，或改写为：，方向余弦为:, , .法线方程为： 空间曲面的切平面方程： 法线方程为： 空间曲方程为的切平面方程为 法线方程：如果函数的两个二阶偏导数，在区域内连续，则在该区域内这两个二阶偏导数必相等，即在此条件下偏导数与求导的次序无关。二元函数泰勒公式：设在点有阶偏导数，并设：其中： 为拉格朗日形式的余项。二元函数拉格朗日中值定理： 如果偏导数在某一区域内均恒等于零，则函数在该区域内为一常数。 设可微分的函数在点有极值，则在该点的偏导数必然为零。 设函数在点的某邻域内连续且具有一阶偏导数及二阶连续偏导数，又这时如果：，则函数在点处有极大值或极小值，要看大于或小于零而定；如果，则函数在点处无极值；如果，则函数在点处可能有极值也可能无极值。 求函数极值的方法：解方程组：，求出一切驻点；求出每一驻点的二阶偏导数；且(或)得极小值(或极大值)；无极值；，不能确定。 拉格朗日乘数法则：欲求函数附加条件下的可能极值点，可用一常数乘而与相加，得函数，然后写出无附加条件时具有极值的必要条件这两个方程与方程联立求出的值就是可能的极值点。 重积分 如果函数在闭区间上连续，则必存在，也就是说，函数上的二重积分必存在，换言之，连续函数在有界平面区域上是可积的。 常数因子可以提到积分号外：。 函数代数和的积分等于各函数的积分的代数和。 如果闭区域由有限条曲线分为有限个部分区域，则在上的积分等于在各部分区域上的积分的和(例如由组成):。 如果在上，为的面积，则。 若在上，则有不等式:； 设是在上的最大值和最小值，是的面积，则有对二重积分估值的不等式：，即。 二重积分扣值定理：设函数在闭区间上连续，是的面积，则在上至少有一点使得下式成立：。 二重积分的计算法： 矩形区域：设函数在矩形区域上连续，则在R上的二重积分可以表达为二次积分：，即先将中的看作常数，在区间上对积分，再在对积分。同样有： 任意区域：设函数在区域上连续，是由两由两条直线及两条曲线，所围成，则在区域上的二重积分可以表达为二次积分：。同样有：。 积分限为常数的二元连续函数的二次积分与积分的次序无关： 狄里赫莱公式： 。若只依赖于，则：。 直角坐标与极坐标二重积分转换： 坐标原点在区域外： 坐标原点在区域内：则边界方程为：。长方体区域三重积分：。 任意区域三重积分：。 柱面坐标的三重积分：，其中： 。 球面坐标的三重积分：（空间点在面上投影点为：） 。 曲面面积：曲面方程为：，则。；同样为区域在投影，则；。 平面薄片质量:；空间物体质量: . 平面薄片重心:； (M为质量) 若密度均匀，则，则；空间物体重心: ；若密度均匀，则；。 平面薄片转动惯量：。 空间物体转动惯量：等。 曲线积分及曲面积分 对坐标的曲线积分 如果曲线弧AB是由C1，C2Cn几部分组成，则在弧AB上的积分等于在各部分上积分之和。 若改变积分路线的方向，对坐标的曲线积分只是改变符号。 设曲线C的参数方程是，其中函数具有一阶连续导数(即曲线是光滑的)；当t单调地(增大或减小)由变到时，曲线C上的点经过由A到B的弧AB。如果函数在弧AB上连续，则积分存在，并且可以表达为定积分： 如果取为参数，则曲线C的方程为，则： 如果取为参数，则曲线C的方程为，则： 设空间曲线的参数方程为其中具有一阶连续导数，如果函数在上连续，则有计算公式：这里当参数单调地(增大或减小)由变到时，曲线上的点经过从起点A到终点B的曲线弧AB。 对弧长的曲线积分 质线质量:；重心:； (M为质量)；转动惯量： 对弧长的曲线积分与积分路线的方向无关。 设曲线C的参数方程是，其中函数具有一阶连续导数；当参数t从变到时，曲线C上的点经过的路径为弧AB。如果函数在弧AB上连续，则积分存在，并且可以表达为定积分：。 格林公式：设：、闭区域D的边界曲线C与任一平行于坐标轴的直线交点不多于两个；、函数在D上具有一阶连续导数，则有格式公式：，这里曲线积分是沿路线C的正向，二重积分是展布在区域D之上。 平面面积作为曲线积分： 曲线积分与路线无关就等价于闭曲线上的曲线积分为零。 设区域D是一个单连通域，函数在D上具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路线无关(或沿着D上的任意闭曲线的曲线积分为零)之充分必要条件是恒能满足。 若函数P、Q在单连通域D上具有一阶连续偏导数，则为甘露醇 函数的全微分之充分必要条件是恒能满足，当满足时，函数u(不计一常数之差)可经由普通积分求出，其形式为，其中是区域D内的一个定点。 (注：若取曲面下侧，则需变号，即) 对面积的曲面积分：连续函数在曲面上对面积的曲面积分为：，其中是曲面上各小片的面积。 对面积的曲面积分与曲面的方向无关，即： 奥斯特罗格拉特斯基公式 设空间区域的边界曲面与任一平行于坐标轴的直线交点不多于两个；函数在上具有一阶连续偏导数，则有奥斯特罗格拉特斯基公式：或，这里曲面积分是取在闭曲面的外侧，三重积分是展布在区域之上。 体积作为曲面积分：。 与曲面无关的条件： 曲面积分与所取曲面无关而只取决于曲面的边界曲线之充分必要条件是恒能满足。 微分方程 n阶微分方程的解含有n个任何常数，如果常数的数量与方程的阶数相同，这种解就叫微分方程的通解。如：方程的通形式为。通解中的任意一组常数等于某一固定的常数，叫微分方程的特解。 若一阶微分方程中的可写成时，即，这种方程为齐次微分方程。齐次微分方程令，则求解。 一阶线性方程：； 齐次线性方程：，分离变量得：，积分得，令被的函数替换，得，扩展于一阶线性方程：得，积分得，得。 柏努利方程：，两边均除以，得，令， 全微分方程：方程的左项恰好是一个函数的全微分：，方程的通解是由所确定的隐函数。即确定是不是全微分议程的条件是，通解为。 高阶微分方程 型的微分方程：此种微分方程可用逐次积分求得通解。 型的微分方程：设，则，方程可换成，通解为，即，解为。 型的微分方程:取，得 则，。 线性微分方程：，当时叫齐次微分方程。 设是阶齐次线性方程的两个解，则也是该方程的解，其中C1、C2为任意常数(实数或复数)。 若自变量x的n个函数y1、y2、yn,如果存在着n个不全为零的常数k1、k2、kn,使得，则这几个函数在区间a,b内线相关，否则为线性无关。 设是阶齐次线性方程的线性无关的个解，则就是它的通解，其中常数。 如果是方程的解，又是方程的解，则是方程的解。 设阶非齐次线性方程的一个特解是，而对应于方程的阶齐次线性方程的通解是，则方程的通解是，其中叫方程的余函数。 常系数齐次线性方程：特点是不用积分只用代数方法就能求出方程的通解。 二阶齐次线性方程：(其中为已知常数)，设得，代入方程得，方程为方程的特征方程。特征方程的根是两个不相等的实根()，方程的解为特征方程的根是一对共轭复根()，方程的解为特征方程的根是两个相等的实根()，方程的解为 二阶齐次线性方程：（其中等为常数）。令，得。方程的通解如下： 特征方程的根微分方程通解中的对应项 1、单实根给出一项 2、一对共轭复根