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数论模块综合复习知识框架一 质数与合数1基本概念一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.考点： 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2.部分特殊数字的分解；.3. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.二、约数与倍数 11求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来例如：，所以；短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘例如：，所以；辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)例如，求600和1515的最大公约数：；所以1515和600的最大公约数是151.2求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求2.1求最小公倍数的方法分解质因数的方法；例如：，所以；短除法求最小公倍数；例如： ，所以；2.2求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求例如： 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：3.1 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。如:1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有(3+1)(2+1) (1+1)=432=24个。(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。3.2 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：，所以21000所有约数的和为此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。三、余数问题三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于31=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)中国剩余定理一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。先由，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：，其中k是从1开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128。四、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。位值原理的表达形式：以六位数为例：a100000+b10000+c1000+d100+e10+f。五、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=125+024+023+122+121+020。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。进制间的转换：如右图所示。十进制二进制十六进制八进制六、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：例题精讲【例 1】 两个质数之和为，求这两个质数的乘积是多少.【巩固】 如果a，b均为质数，且，则_.【例2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数. 【巩固】 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数【例3】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【巩固】 10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？ 【例4】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 【巩固】 已知两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知有12个约数，有10个约数，求与的和 【例5】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？ 【巩固】 如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍现有一个整数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？ 【例6】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？ 【巩固】 恰有8个约数的两位数有_个 【例7】用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和【巩固】甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数【例8】一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_.【例9】有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.【巩固】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【例10】一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【例11】与的和除以7的余数是_【巩固】求的余数【例12】被除所得的余数是多少？【例13】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为，则这个自然数是多少？【例14】某三位数和它的反序数的差被99除，商等于_与_的差；【巩固】 与的差被9除，商等于_与_的差；【例15】已知.【巩固】 已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少【例16】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数将这两个三位数和一个四位数相加等于求原来的两位数【巩固】 如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。【例17】 _； ； ； _； 若，则_【例18】将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？【巩固】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？【例19】试求(2-1)除以992的余数是多少? 【巩固】 计算除以26的余数【附加思考题】设是质数，证明：，被除所得的余数各不相同【例20】是 的平方【巩固】 下面是一个算式：，这个算式的得数能否是某个数的平方？【例21】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是_【巩固】 已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。【例22】已知自