高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_2_2 空间线面关系的判定（二）课件 苏教版选修2-1

第3章 3 2空间向量的应用 3 2 2空间线面关系的判定 二 学习目标1 能用向量法判断一些简单的线线 线面 面面垂直关系 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直关系 3 能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一向量法判断线线垂直 思考 若直线l1的方向向量为 1 1 3 2 直线l2的方向向量为 2 1 1 1 那么两直线是否垂直 用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么 答案 l1与l2垂直 因为 1 2 1 3 2 0 所以 1 2 又 1 2是两直线的方向向量 所以l1与l2垂直 判断两条直线是否垂直的方法 1 在两直线上分别取两点A B与C D 计算向量与的坐标 若 0 则两直线垂直 否则不垂直 2 判断两直线的方向向量的数量积是否为零 若数量积为零 则两直线垂直 否则不垂直 梳理 设直线l的方向向量为a a1 a2 a3 直线m的方向向量为b b1 b2 b3 则l m a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 知识点二向量法判断线面垂直 思考 若直线l的方向向量为 1 平面 的法向量为 2 则直线l与平面 的位置关系是怎样的 如何用向量法判断直线与平面的位置关系 答案 垂直 因为 1 2 所以 1 2 即直线的方向向量与平面的法向量平行 所以直线l与平面 垂直 判断直线与平面的位置关系的方法 1 直线l的方向向量与平面 的法向量共线 l 2 直线的方向向量与平面的法向量垂直 直线与平面平行或直线在平面内 3 直线l的方向向量与平面 内的两相交直线的方向向量垂直 l 梳理 设直线l的方向向量a a1 b1 c1 平面 的法向量 a2 b2 c2 则l a a k k R 平面 的法向量分别为 1 x1 y1 z1 2 x2 y2 z2 用向量坐标法表示两平面 垂直的关系式是什么 知识点三向量法判断面面垂直 思考 答案 x1x2 y1y2 z1z2 0 梳理 若平面 的法向量为 a1 b1 c1 平面 的法向量为 a2 b2 c2 则 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 题型探究 类型一证明线线垂直 例1已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都为1 M是底面上BC边的中点 N是侧棱CC1上的点 且CN CC1 求证 AB1 MN 证明 设AB中点为O 连结OC 作OO1 AA1 以O为坐标原点 OB为x轴 OC为y轴 OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系 证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 求直线的方向向量 证明向量垂直 得到两直线垂直 反思与感悟 跟踪训练1如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AB 5 AA1 4 求证 AC BC1 证明 直三棱柱ABC A1B1C1底面三边长AC 3 BC 4 AB 5 AC BC AC BC C1C两两垂直 如图 以C为坐标原点 CA CB CC1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则C 0 0 0 A 3 0 0 C1 0 0 4 B 0 4 0 类型二证明线面垂直 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 证明 如图所示 取BC的中点O 连结AO 因为 ABC为正三角形 所以AO BC 因为在正三棱柱ABC A1B1C1中 平面ABC 平面BCC1B1 且平面ABC 平面BCC1B1 BC 所以AO 平面BCC1B1 又因为BA1 BD B 所以AB1 平面A1BD 反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一 1 建立空间直角坐标系 2 将直线的方向向量用坐标表示 3 找出平面内两条相交直线 并用坐标表示它们的方向向量 4 分别计算两组向量的数量积 得到数量积为0 方法二 1 建立空间直角坐标系 2 将直线的方向向量用坐标表示 3 求出平面的法向量 4 判断直线的方向向量与平面的法向量平行 跟踪训练2如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 点P为DD1的中点 求证 直线PB1 平面PAC 证明 如图建系 C 1 0 0 A 0 1 0 P 0 0 1 B1 1 1 2 又PA PC P 所以PB1 平面PAC 类型三证明面面垂直 例3在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面ABC AB BC AB BC 2 AA1 1 E为BB1的中点 求证 平面AEC1 平面AA1C1C 证明 由题意知直线AB BC B1B两两垂直 以点B为原点 分别以BA BC BB1所在直线为x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设平面AA1C1C的法向量为n1 x y z 令x 1 得y 1 故n1 1 1 0 设平面AEC1的法向量为n2 a b c 令c 4 得a 1 b 1 故n2 1 1 4 因为n1 n2 1 1 1 1 0 4 0 所以n1 n2 所以平面AEC1 平面AA1C1C 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法 1 常规法 利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直 线线垂直去证明 2 向量法 证明两个平面的法向量互相垂直 跟踪训练3如图 底面ABCD是正方形 AS 平面ABCD 且AS AB E是SC的中点 求证 平面BDE 平面ABCD 证明 设AB BC CD DA AS 1 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 连结AC 设AC与BD相交于点O 又因为AS 平面ABCD 所以OE 平面ABCD 又OE 平面BDE 所以平面BDE 平面ABCD 当堂训练 1 有如下四个命题 若n1 n2分别是平面 的法向量 则n1 n2 若n1 n2分别是平面 的法向量 则 n1 n2 0 若n是平面 的法向量 a与平面 平行 则n a 0 若两个平面的法向量不垂直 则这两个平面不垂直 其中为真命题的是 中平面 可能平行 也可能重合 结合平面法向量的概念 易知 正确 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 因为a b 2 4 4 6 4 4 0 所以l1 l2 2 若直线l1的方向向量为a 2 4 4 l2的方向向量为b 4 6 4 则l1与l2的位置关系是 答案 解析 垂直 2 3 4 5 1 a l 3 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为 2 0 4 则l与 的位置关系是 答案 解析 垂直 2 3 4 5 1 1 2 0 2 1 0 0 两法向量垂直 从而两平面垂直 4 平面 的一个法向量为m 1 2 0 平面 的一个法向量为n 2 1 0 则平面 与平面 的位置关系是 答案 解析 垂