高中数学第三单元导数及其应用3_1_1函数的平均变化率3_1_2瞬时速度与导数课件新人教b版选修1_1

3 1 1函数的平均变化率3 1 2瞬时速度与导数 1 了解导数概念的实际背景 理解平均变化率和瞬时速度 2 会求函数在某一点附近的平均变化率 3 会利用导数的定义求函数在某点处的导数 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一函数的平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图 并建立如图所示的平面直角坐标系 A是出发点 H是山顶 爬山路线用函数y f x 表示 自变量x表示某旅游者的水平位置 函数值y f x 表示此时旅游者所在的高度 设点A的坐标为 x1 y1 点B的坐标为 x2 y2 思考1 若旅游者从点A爬到点B 自变量x和函数值y的改变量分别是多少 答案 自变量x的改变量为x2 x1 记作 x 函数值y的改变量为y2 y1 记作 y 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度 答案 思考3 答案 梳理函数y f x 从x1到x2的平均变化率 函数值 自变量 斜率 知识点二瞬时变化率 思考1 物体的路程s与时间t的关系是s t 5t2 试求物体在 1 1 t 这段时间内的平均速度 答案 思考2 当 t趋近于0时 思考1中的平均速度趋近于多少 怎样理解这一速度 答案 梳理 1 物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s f t 当时 当 t趋近于0时 函数f t 在t0到t0 t之间的平均变化率为趋近于常数 这个常数称为t0时刻的瞬时速度 t0到t0 t 2 函数的瞬时变化率设函数y f x 在x0附近有定义 当自变量在x x0附近改变 x时 函数值相应地改变 y f x0 x f x0 如果当 x趋近于0时 平均变化率趋近于一个常数l 则数l称为函数f x 在点x0的瞬时变化率 知识点三函数在某一点处的导数与导函数 思考 f x0 与f x 表示的意义一样吗 f x0 表示f x 在x x0处的导数 是一个确定的值 f x 是f x 的导函数 它是一个函数 f x0 是导函数f x 在x x0处的函数值 答案 梳理 1 函数f x 在x x0处的导数函数y f x 在x x0处的称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 即f x0 瞬时变化率 f x0 或y 2 导函数定义如果f x 在开区间 a b 内每一点x导数都存在 则称f x 在区间 a b 可导 这样 对开区间 a b 内每个值x 都对应一个 于是在区间 a b 内f x 构成一个新的函数 我们把这个函数称为函数y f x 的导函数 记为f x 或y x y 3 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导函数f x 在点x x0处的函数值 即f x0 f x 确定的导数f x 题型探究 类型一函数的平均变化率 解答 因为f x 2x2 3x 5 所以 y f x1 x f x1 2 x 2 2x1 x 3 x 2 x 2 4x1 3 x 当x1 4 x2 5时 x 1 当x1 4 x2 4 1时 x 0 1 y 2 x 2 4x1 3 x 0 02 1 9 1 92 解答 由于k1 k2 k3 所以在x 3附近的平均变化率最大 求平均变化率的主要步骤 1 先计算函数值的改变量 y f x2 f x1 2 再计算自变量的改变量 x x2 x1 反思与感悟 答案 解析 x 2 如图所示是函数y f x 的图象 则函数f x 在区间 1 1 上的平均变化率为 函数f x 在区间 0 2 上的平均变化率为 答案 解析 类型二求瞬时速度 例2某物体的运动路程s 单位 m 与时间t 单位 s 的关系可用函数s t t2 t 1表示 求物体在t 1s时的瞬时速度 解答 物体在t 1处的瞬时变化率为3 即物体在t 1s时的瞬时速度为3m s 引申探究1 若本例的条件不变 试求物体的初速度 解答 物体在t 0处的瞬时变化率为1 即物体的初速度为1m s 2 若本例的条件不变 试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m s 设物体在t0时刻的瞬时速度为9m s 解答 则2t0 1 9 t0 4 则物体在4s时的瞬时速度为9m s 反思与感悟 1 不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题 2 求运动物体瞬时速度的三个步骤 求时间改变量 t和位移改变量 s s t0 t s t0 解答 跟踪训练2一质点M按运动方程s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若质点M在t 2s时的瞬时速度为8m s 求常数a的值 质点M在t 2时的瞬时速度即为函数在t 2处的瞬时变化率 质点M在t 2附近的平均变化率 类型三求函数在某一点处的导数 解答 反思与感悟 求一个函数y f x 在x x0处的导数的步骤如下 1 求函数值的变化量 y f x0 x f x0 解答 跟踪训练3已知f x 3x2 f x0 6 求x0 当堂训练 1 2 3 4 5 1 一物体的运动方程是s 3 2t 则在 2 2 1 这段时间内的平均速度是A 0 4B 2C 0 3D 0 2 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 答案 解析 3 当