高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_3_2抛物线的几何性质一课件新人教b版选修1_1

第二章 2 3抛物线 2 3 2抛物线的几何性质 一 1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等几何性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一抛物线的几何性质 思考1 类比椭圆 双曲线的几何性质 你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质 答案 范围 对称性 顶点 离心率 思考2 类比椭圆 双曲线的几何性质 结合图象 你能说出抛物线y2 2px p 0 的范围 对称性 顶点坐标吗 答案 范围x 0 关于x轴对称 顶点坐标 0 0 思考3 参数p对抛物线开口大小有何影响 答案 参数p p 0 对抛物线开口大小有影响 因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p 所以p越大 开口越大 梳理 0 0 1 知识点二焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A x1 y1 B x2 y2 则 题型探究 类型一由抛物线的几何性质求标准方程 例1已知抛物线的焦点F在x轴上 直线l过F且垂直于x轴 l与抛物线交于A B两点 O为坐标原点 若 OAB的面积等于4 求此抛物线的标准方程 解答 由题意 设抛物线方程为y2 2mx m 0 所以 AB 2 m 因为 OAB的面积为4 引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2 2px p 0 O为抛物线的顶点 OA OB 则 AOB的面积是A 8p2B 4p2C 2p2D p2 答案 解析 因为抛物线的对称轴为x轴 内接 AOB为等腰直角三角形 所以由抛物线的对称性知 直线AB与抛物线的对称轴垂直 从而直线OA与x轴的夹角为45 所以易得A B两点的坐标分别为 2p 2p 和 2p 2p 把握三个要点确定抛物线的几何性质 1 开口 由抛物线标准方程看图象开口 关键是看准二次项是x还是y 一次项的系数是正还是负 2 关系 顶点位于焦点与准线中间 准线垂直于对称轴 3 定值 焦点到准线的距离为p 过焦点垂直于对称轴的弦 又称为通径 长为2p 离心率恒等于1 反思与感悟 跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6 求抛物线的方程 解答 设抛物线的方程为y2 2ax a 0 点P x0 y0 因为点P到对称轴距离为6 所以y0 6 因为点P到准线距离为10 因为点P在抛物线上 所以36 2ax0 所以所求抛物线的方程为y2 4x或y2 36x 类型二抛物线的焦点弦问题 例2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 1 若直线l的倾斜角为60 求 AB 的值 解答 因为直线l的倾斜角为60 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 5 x1 x2 p 所以 AB 5 3 8 2 若 AB 9 求线段AB的中点M到准线的距离 解答 所以x1 x2 6 所以线段AB的中点M的横坐标是3 引申探究本例中 若A B在其准线上的射影分别为A1 B1 求 A1FB1 解答 由抛物线定义 AA1 AF 得 AA1F AFA1 又AA1 x轴 OFA1 AA1F OFA1 AFA1 同理得 OFB1 BFB1 A1FO B1FO 90 即 A1FB1 90 反思与感悟 1 抛物线的焦半径 2 过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦的端点为A x1 y1 B x2 y2 则 AB x1 x2 p 然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立 消元 由根与系数的关系求出x1 x2即可 跟踪训练2直线l过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线交于A B两点 若 AB 8 则直线l的方程为 x y 1 0或x y 1 0 答案 解析 抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 若l与x轴垂直 则 AB 4 不符合题意 所以可设所求直线l的方程为y k x 1 所以所求直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0 类型三抛物线的实际应用 例3某河上有一座抛物线形的拱桥 当水面距拱顶5m时 水面宽8m 一木船宽4m 高2m 载货的木船露在水面上的部分高为0 75m 货物的宽与木船相同 当水面上涨到与拱顶相距多少时 木船开始不能通航 解答 以桥的拱顶为坐标原点 拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系 如图 设抛物线的方程是x2 2py p 0 由题意知A 4 5 在抛物线上 设水面上涨 木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B B 时 木船开始不能通航 设B 2 y 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2m时 木船开始不能通航 反思与感悟 在建立抛物线的标准方程时 常以抛物线的顶点为坐标原点 对称轴为一条坐标轴建立坐标系 这样可使得标准方程不仅具有对称性 而且曲线过原点 方程不含常数项 形式更为简单 便于应用 跟踪训练3如图 有一座抛物线型拱桥 桥下面在正常水位AB时宽20米 水位上升3米就达到警戒线CD 这时水面宽度为10米 若洪水到来时 水位以每小时0 2米的速度从警戒线开始上升 则再持续多少小时才能到拱桥顶 平面直角坐标系是以桥顶点为点O的 解答 设所求抛物线的解析式为y ax2 设D 5 b 则B 10 b 3 即再持续5小时水位到达拱桥顶 当堂训练 1 2 3 4 5 设抛物线y2 2px或y2 2px p 0 p 4 1 以x轴为对称轴的抛物线的通径 过焦点且与x轴垂直的弦 长为8 若抛物线的顶点在坐标原点 则其方程为A y2 8xB y2 8xC y2 8x或y2 8xD x2 8y或x2 8y 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 3 已知过抛物线y2 8x的焦点作直线l 交抛物线于A B两点 若线段AB中点的横坐标为3 则AB的值为 1 2 3 4 5 10 答案 解析 由y2 8x 得p 4 设A x1 y1 B x2 y2 2 3 4 10 1 2 3 4 5 答案 解析 4 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 焦点在y轴上 焦点在x轴上 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 抛物线的通径的长为5 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 符合抛物线方程为y2 10 x的条件是 要求填写合适条件的序号 1 2 3 4 5 由抛物线方程y2 10 x 知它的焦点在x轴上 所以 符合 设点P 2 1 可得kPO kPF 1 也符合 而 显然不符合 通过计算可知 不合题意 应填 1 2 3 4 5 5 求适合下列条件的抛物线的标准方程 1 顶点在原点 对称轴为坐标轴 顶点到准线的距离为4 解答 因此 所求抛物线的标准方程为y2 16x或x2 16y 1 2 3 4 5 2 顶点是双曲线16x2 9y2 144的中心 准线过双曲线的左顶点 且垂直于坐标轴 解答 规律与方法 1 讨论抛物