【命题探究】高考数学知识点讲座 考点31 曲线与方程（含解析）新人教A版.doc

1 命题探究命题探究 2014 2014 版高考数学知识点讲座 考点版高考数学知识点讲座 考点 3131 曲线与方程曲线与方程 加 加 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 一一 考纲目标考纲目标 曲线方程的概念及求曲线方程的步骤 二二 知识梳理知识梳理 1 平面解析几何研究的主要问题 根据已知条件求出表示平面曲线的方程 通过方程 研究平面 曲线的性质 2 曲线的方程 方程的曲线 的定义 在直角坐标系中 如果某曲线 c 上的点与一个二元方程0 yxf的实数解建立了如下关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 纯粹性 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 完备性 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 3 定义的理解 设 p 具有某种性质 或适合某种条件 的点 q x y f x y 0 若设点 m 的坐标为 x0 y0 则用集合的观点 上述定义中的两条可以表述为 1 mp xy qpq 2 xy qmpqp 00 00 即 即 以上两条还可以转化为它们的等价命题 逆否命题 1 xy qmp 2 mp xy q 00 00 显然 当且仅当且 即时 才能称方程 pqqpp qf xy 0 为曲线 c 的方程 曲线 c 为方程 f x y 0 的曲线 图形 4 求简单的曲线方程的一般步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对表示曲线上任意一点 m 的坐标 2 写出适合条件 p 的点 m 的集合 3 用坐标表示条件 p m 列出方程0 yxf 4 化方程0 yxf为最简形式 2 5 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称 五步法 在步骤 中若化简过程是同解变形过程 或最简方程的解集与原始 方程的解集相同 则步骤 可省略不写 因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程 5 由方程画曲线 图形 的步骤 讨论曲线的对称性 关于 x 轴 y 轴和原点 求截距 方程组 的解是曲线与 轴交点的坐标 f xy y 0 0 x 方程组 的解是曲线与 轴交点的坐标 f xy x 0 0 y 讨论曲线的范围 列表 描点 画线 6 交点 求两曲线的交点 就是解这两条曲线方程组成的方程组 7 曲线系方程 过两曲线 f1 x y 0 和 f2 x y 0 的交点的曲线系方程是 f1 x y f2 x y 0 r 8 求轨迹有直接法 定义法和参数法 最常使用的就是参数法 三三 考点逐个突破考点逐个突破 1 1 曲线与方程的概念曲线与方程的概念 例1 曲线c的方程为f x y 0 点p x0 y0 则f x0 y0 0是点p在曲线c上的 a充分条件 b必要条件 c充要条件 d既不充分又不必要条件 答案 c 2 2 代入法求轨迹方程代入法求轨迹方程 例 2 1 1 设直线 x y 4a 与抛物线 y2 4ax 交于两点 a b a 为定值 c 为抛物线上任意一点 求 abc 的重心的轨迹方程 分析 是定点 影响 abc 的重心运动的因素是抛物线上的动点 故选 点的坐标作参 数 解 设 abc 的重心为 g x y 点 c 的坐标为 c x0 y0 a x1 y1 b x2 y2 由方程组 axy ayx 4 4 2 消去 y 并整理得 x2 12ax 16a2 0 3 x1 x2 12a y1 y2 x1 4a x2 4a x1 x2 8a 4a 由于 g x y 为 abc 的重心 3 4 3 3 12 3 0210 0210 ayyyy y axxxx x ayy axx 43 123 0 0 又点 c x0 y0 在抛物线上 将点 c 的坐标代入抛物线的方程得 3y 4a 2 4a 3x 12a 即 y 3 4a 2 3 4a x 4a 又点 c 与 a b 不重合 x 6 5 a 点评 与动点相关的点的坐标 也是常用的参数 即 点参数 本题用代入消元法消去了两个参数x0 y0 在设点参数时 经常使用这种消元技巧 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 应重视对化简 后方程的检验 检验时要注意观察特殊位置 2 2 过原点的直线l与曲线 y x2 2x 2 交于 a b 两点 求弦 ab 中点的轨迹 分析 ab 的中点是受 a b 两点的影响而运动的 而 a b 的运动是由于直线l的转动而导致的 因 此可以选择直线l的斜率 k 作为参数 解 设 ab 的中点 m x y a x1 y1 b x2 y2 直线l的斜率为 k 依题意 k 必须存在 且过原点 直线l的方程为 y kx 将此式代入 y x2 2x 2 并整理得 x2 2 k x 2 0 1 x1 x2 2 k x 2 21 xx 2 2k 2 又 y kx 3 由 2 3 消去 k 得 y 2x2 2x 又由于直线l与曲线有两交点 故 1 式中的判别式 0 2 k 2 8 0 解得 k 2 22 或 k 22 或 x2 或 x0 3 3 定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程 例3 试根据下列条件分别求曲线c1与c2的方程 1 c1的一个焦点为f 1 0 对应的准线方程为x 1 且曲线c1过点p 3 23 2 c2的离心率为e 3 3 一条准线方程为y 1 e 且中心在原点 解 用定义法 1 点p到准线的距离为3 1 4 pf e 1 曲线c1为抛物线 其方程为y2 4x 2 e 3 3 曲线c2为椭圆 设c2的方程为 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 则e a c 3 3 及3 1 2 ec a 可得 a 1 c 3 3 b2 a2 c2 3 2 c2的方程为 2 2 3 2 y x 1 4 4 直译法求轨迹方程直译法求轨迹方程 例4 已知 abc中 a b c所对应的边为a b c 且a c b a c b成等差数列 ab 2 求顶点c的 轨迹方程 解 bc ca 4 2 由椭圆的定义可知 点c的轨迹是以a b为焦点的椭圆 其长轴为4 焦距为2 短轴长为23 椭圆方程为1 34 22 yx 又a b 点c在y轴左侧 必有x 0 而c点在x轴上时不能构成三角形 故x 2 5 因此点c的轨迹方程是 1 34 22 yx 2 x0 向量 0 1 0 ma n 经过定点 a 0 a 以mn 为方向向量的直线 与经过定点 b 0 a 以2nm 为方向向量的直线相交于点 p 其中r 求点 p 的轨迹 c 的方程 若 2 2 a过 e 0 1 的直线 l 交曲线 c 于 m n 两点 求enem 的取值范围 解 设 p 点的坐标为 x y 则 ayxbpayxap 又 1 0 0 2 1 2 nmamna nma 故 由题知向量ap与向量 mnyaax 平行故 又向量bp与向量 2 nmyaax 平行故 两方程联立消去参数 得点 p x y 的轨迹方程是 6 2 2 222222 xaayxaayay 即 2 2 a 故点 p 的轨迹方程为 122 22 xy 此时点 e 0 1 为双曲线的焦点 若直线 l 的斜率不存在 其方程为 x 0 l 与双曲线交于 2 2 0 m 2 2 0 n 此时 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 enem 若直线 l 的斜率存在 设其方程为代入 1 kxy122 22 xy化简得 0 14 1 2 22 kxxk 直线 l 与双曲线交于两点 1 0 10 1 8 4 222 kkkk解得且 设两交点为 2211 yxnyxm 则 1 2 1 1 2 2 21 2 21 k xx k k xx 此时 1 1 2211221