地图的数学基础2.doc

第二章 地图的数学基础 3 常见地图投影一. 方位投影以平面为投影面，使平面与椭球体相切或相割，将球面上的经纬线网投影到平面上形成方位投影。1、 变形分布规律其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。投影中心是没有变形的点，从投影中心向四周变形逐渐增大。在投影平面上，由投影中心向各方向的方位角保持不变。2、 正轴方位投影切点在北极或南极，又叫极地投影。经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。在正轴投影中，因为经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。一般用于绘制南、北半球地图或北极、南极区域地图。按变形性质又可以分为等积、等角、等距投影等。1） 正轴等角方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大；经线夹角等于相应的经差。投影变形情况： 无角度变形，任一点长度比相同，极值长度比相等（a=b），经纬线长度比相等(m=n)。 微分圆投影后保持正圆性质。 极点为投影中心，是无变形点，距投影中心愈远长度变形和面积变形愈大, 在投影边缘面积变形是中心的四倍。2） 正轴等距方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。经线投影后保持正长，所以投影后的纬线间距相等。投影变形情况： 经线方向没有长度变形（m=1），各纬圈间的距离与实地相等。 极点为投影中心，为无变形点。 等变形线是以极点为中心的同心圆，距投影中心愈远角度变形和面积变形愈大。等距切方位投影亦称波斯托等距方位投影。3） 正轴等积方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。投影变形情况： 没有面积变形，面积比等于1，但角度变形较大 沿经线长度比大于1，沿纬线长度比小于1，两者互为倒数，面积比等于1。 极点为投影中心，无变形，距投影中心越远，长度和角度变形越大。等积切方位投影也称为兰勃特（lambert）等积方位投影。3、 横轴方位投影切点在赤道，又叫赤道投影。经纬线形状：中央经线和赤道为互相正交的直线，其它经线为凹向对称于中央经线的曲线，纬线为凸向对称于赤道的曲线。多用于绘制东、西半球地图，按变形性质分又有等角、等积和等距投影。在正轴投影中，因为经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。而在横轴和斜轴投影中，一般讲经纬线方向不互相直交，因此经纬线方向不是主方向。那么什么方向是其主方向？（参考张书）引入垂直圈和等高圈的概念。垂直圈：过投影中心和球心的平面与地球表面相交的大圆。等高圈：垂直于垂直圈的各圆称为等高圈。等高圈的投影为同心圆，垂直圈投影后为同心圆的半径。在横轴与斜轴方位投影中，垂直圈与等高圈互相垂直，垂直圈与等高圈的方向与主方向一致。1） 横轴等积方位投影经纬线形状：中央经线和赤道为互相正交的直线，其它经线为凹向对称于中央经线的曲线，纬线为凸向对称于赤道的曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。投影变形规律：球面上任意一块面积投影后保持不变，即P=1，面积变形。角度变形较大，等变形线与等高圈平行。投影中心无变形，距投影中心愈近，角度变形和长度变形愈小，反之，愈大。2） 横轴等角方位投影经纬线形状：中央经线和赤道为互相正交的直线，其它经线为凹向对称于中央经线的曲线，纬线为凸向对称于赤道的曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。投影变形规律：无角度变形，任意点上各方向的长度比均相等，变形椭圆为圆。切点为无变形点，离无变形点愈远，变形愈大。面积等变形线与等高圈一致。 4、 斜轴方位投影切点在赤道和两极之间的任意一点上，又叫地平投影。经纬线形状：中央经线为直线，其它经线为凹向对称于中央经线的曲线，纬线为凹向于极地的曲线。示意图见书。1） 斜轴等积方位投影球面上任意一块面积投影后保持不变，即P=1，面积变形。投影中心无变形，距投影中心愈近，角度变形和长度变形愈小，反之，愈大。2） 斜轴等距方位投影垂直圈长度比等于1。投影中心无变形，距投影中心愈近，面积变形和角度变形愈小，反之，愈大。5、 几种方位投影变形性质的图形判别方位投影的几种类型，由于变形性质不相同，所以适合于不同的用途。一般在地图上应该注明投影名称。如果地图上没有注明投影名称，则可以根据中央经线上纬线间隔的变化判别它们的变形性质。由于各种方位投影的条件不同，所以垂直圈和等高圈的长度比不同，利用长度比不同，我们可以判别投影类型。等高圈在方位投影上表现为同心圆，其长度比从图形不易观察出来，但垂直圈是半径方向的，表现为直线。在正轴投影上，垂直圈表现为经线；在横轴投影上，为赤道和中央经线；在斜轴投影上，为中央经线。垂直圈的长度比在图形上是有反映的，它表现为中央经线上纬线间隔的变化。等角方位投影：在中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐扩大，80-90度相当于0-10度的1.8倍；等积方位投影：在中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐缩小，80-90度相当于0-10度的7/10；等距方位投影，在中央经线上纬线间隔相等。就制图区域来讲，方位投影适用于圆形轮廓的地区。按制图区域的地理位置而言，正轴投影适合于两极地区，横轴投影适合于赤道地区，其他地区适合于斜轴投影。对于中国全图，也有斜轴等积投影方案，投影中心取纬度+30度，经度=105度。方位投影可以分为透视方位投影和非透视方位投影两大类。透视方位投影的视点位于垂直于投影面的地球直径或其延长线上，由于视点位置不同，而有不同的透视方位投影，常见的有以下几种。中心射方位投影（球心投影）位于地球中心，按变形性质来说，属任意投影。平射方位投影（球面投影）位于地球表面，属等角投影。正射方位投影位于无限远，属任意投影。外心投影 视点位于离球心有限距离处。非透视方位投影是按照一定的条件构成的。在这类投影中有等距方位投影和等积方位投影。二. 圆锥投影1、 正轴圆锥投影使圆锥轴与地轴重合，圆锥体相切或相割于地球仪，视点在地球中心。将球面上的经纬网投影到圆锥面上，然后沿着一条母线将圆锥面切开，展平即成。1） 经纬线形状纬线投影在圆锥面上仍为圆，但剪开以后，在平面上，纬线为以顶点为圆心的同心圆弧，经线为自纬线圆心辐射的直线束，经线是同心圆弧的半径，经纬线直交，所以经纬线长度比即主方向长度比，经纬线方向即主方向。经线间的夹角与经差成正比。顶角小于360度。在正轴切圆锥投影中，切线无变形，相切的一条纬线叫标准纬线，或叫单标准纬线。在割圆锥投影中，割线无变形，两条相割的纬线叫双标准纬线。2） 投影变形分布规律 圆锥投影的各种变形是随纬度的变化而变化的。 同一条纬线上各种变形的数值各自相等，因此，等变形线与纬线平行，呈同心圆弧分布。 在切圆锥投影上，单标准纬线为无变形线，从标准纬线向南、北方向变形逐渐增大。 在割圆锥投影上，双标准纬线为无变形线，两条标准纬线之间的纬线长度比小于1，两条标准纬线以外的纬线长度比大于1，离标准纬线愈远，变形愈大。正轴圆锥投影按变形性质又有等角、等积、等距投影之分。无论哪一种又都有切圆锥与割圆锥之分。2、 正轴等角圆锥投影也称为兰勃脱（Lambert）正形圆锥投影。等角圆锥投影的条件是使地图上没有角度变形。其它变形规律的分布符合上述2）点中的各种变化。为了保持等角条件，必须使图上任一点的经线长度比与纬线长度比相等，即m=n。在单标准纬线等角圆锥投影中，标准纬线没有变形，其长度比等于1，从标准纬线向南、北方向变形逐渐增加，长度比均大于1。 在割圆锥投影上，双标准纬线为无变形线，两条标准纬线之间的纬线长度比小于1，因而经线长度比也要相应的小，且长度变形是向负的方向增加，即投影后的经纬线长度均比地面上相应的经纬线长度缩短了；两条标准纬线以外的纬线长度比大于1，经线长度比也要相应的大，并且长度变形向正的方向增加，即投影后的经纬线长度均比地面上相应的经纬线长度伸长了。同时在任一点上经线长度比与纬线长度比相等。等角圆锥投影的应用于相当广泛，书上也有介绍。特别是在我国1/100万比例尺地形图上，采用的就是这种投影，按纬差4度分带，各带投影的边纬与中纬变形的绝对值（两条标准纬线中变形为负，之外为正）相等。3、 正轴等积圆锥投影投影面上保持面积大小与椭球体面上相应的面积相等。该投影的条件是使地图上没有面积变形，即满足等面积的条件。，或ab=1，或a=1/b或b=1/a。其它的变形分布规律也可以从上述变形规律中一一得到。在切圆锥投影上，相切的纬线为标准纬线，长度比等于1，从标准纬线向南、北方向纬线长度比均大于1，因而经线长度比要相应的小，其值是纬线长度比的倒数。在割圆锥投影上，相割的两条纬线为标准纬线，其长度比等于1；两条标准之间，纬线长度比小于1，因而经线长度比要相应地大；纬线变形是向负的方向增加，即越来越短。而经线变形是向正的方向增加，即越来越长。（从公式中可以看出。）两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，纬线变形是向正的方向增加，经线长度比要相应地小，纬线变形向负的方向增加；同时任一点上经线长度比与纬线长度比互为倒数。等积圆锥投影常用来编制行政区划图、人口密度图及社会经济地图等。4、 正轴等距圆锥投影等距圆锥投影的条件是沿经线方向长度没有变形，即m=1。等距切圆锥投影，相切的线为标准纬线，没有变形。从标准纬线向南、北方向纬线长度比均大于1，经线长度比等于1，面积变形和角度变形均随离标准纬线愈远而愈大。等距割圆锥投影，相割的两条纬线为标准纬线，没有变形；两条标准纬线以内，纬线长度比小于1，面积变形向负的方向增加；两条标准纬线以外，纬线长度比大于1，经纬长度比等于1，面积变形向正的方向增加，角度变形随离标准纬线愈远，变形愈大；等距圆锥投影上虽然具有长度、面积和角度变形，但变形值却比较小，它的角度变形小于等积圆锥投影，面积变形小于等角圆锥投影。等距圆锥投影在我国出版的地图中不常见。在国外出版地图中还是有见的。5、 几种圆锥投影变形性质的图形判别（参见张书58页表2-15）圆锥投影的经线为放射状直线，夹角相等；纬线为同心圆弧。可以根据一条经线上的纬线间隔变化来判断：等角圆锥投影：沿着经线量取纬差相等的纬线间隔，从地图中心向南、北方向逐渐扩大。等积圆锥投影：若纬线间隔从地图中心向南、北方向逐渐缩小。等距圆锥投影：纬线间隔相等。三. 圆柱投影按投影面与椭球体的相对位置，也有正轴、横轴与斜轴的区分。1、 正轴圆柱投影1） 经纬线形状正轴圆柱投影的纬线为平行直线，经线为与纬线垂直的平行直线，经线间的间隔与相应的经度差成正比。2） 投影变形分布规律各种变形随纬度的变化而变化，在同一条纬线上，各种变形数值各自相等，因此等变形线与纬线平行，呈现平行线状分布。正轴切圆柱投影中，赤道没有变形，为标准纬线，长度比等于1，其它纬线长度比大于1，从赤道向南、北方向变形逐渐增大。正轴割圆柱投影中，相割的两条纬线没有变形，是两条标准纬线。在两条标准纬线之间长度比小于1，离开标准纬线越远，长度比越小。赤道长度比最小。在两条标准纬线以外长度比大于1，离开标准纬线愈远，长度比越大，变形越大。根据圆柱投影的变形分布规律，这种投影适宜于制作赤道附近和赤道两侧沿东西方向延伸地区的地图。经纬线正交，沿经纬线方向的长度比即最大、小长度比。2、 正轴等角圆柱投影（正轴等角圆柱投影）在世界地图的投影中常用正轴等角圆柱投影。圆柱轴与地轴重合的投影。等角正轴圆柱投影是由荷兰制图学家墨卡托（Mercator Gerardus,15121594）于1569年所创，所以又名墨卡托投影。1） 经纬线形状经线为等间隔的平行直线，纬线为垂直于经线的另一组平行直线。经线间隔相等，纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大。2） 投影变形分布规律任意点上各方向长度比相等，无角度变形。等角正轴切圆柱投影中，赤道没有变形，从赤道向面北方向变形逐渐增大。等角正轴割圆柱投影中，相割的两条纬线没有变形，是两条标准纬线。在两条标准纬线之间是负向变形，离开标准纬线愈远，变形愈大，赤道上负向变形最大。在两条标准纬线以外是正向变形，离开标准纬线愈远，变形越大。切圆柱等角投影适用于作赤道附近地区的地图，割圆柱投影适用于作和赤道对称的沿纬线方向延伸地区的地图。3） 特点墨卡托投影没有角度变形，且经线为平行直线，所以等角航线表现为直线。3、 横轴等角切椭圆柱投影高斯克吕格投影1） 投影原理这个投影是根据以下3个条件建立起来的。 中央经线和赤道被投影成互相垂直的直线，且为其他经纬线投影的对称轴。 投影后无角度变形。 中央经线投影后保持长度不变。我国规定1：1万、1：2.5万、1：5万、1：10万、1：25万、1：50万比例尺地形图，均采用此投影。2） 经纬线形状中央经线和赤道为互相垂直的直线。其他经线均为凹向对称为中央经线的曲线。其他纬线均为以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线。经纬线成直角相交。3） 投影变形角度没有变形。中央经线长度比等于1，没有长度变形。其余经线长度比均大于1，长度变形为正，距中央经线愈远变形愈大，最大变形在边缘经线与赤道的交点上。在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大，在同一条纬度上，在赤道上为最大，长度变形随经线的增加而增大。面积变形距中央经线愈远，变形愈大。4） 分带规定我国规定1：2.5万1：50万比例尺地形图采用经度6分带，1：1万比例尺地形图采用经差3分带。看书上68页图230。6分带：从0子午线起，自西向东（先东半球再西半球）每隔经差6为一投影带，全球分为60带，各带的带号用自然序数1，2，3，4，60表示。即以东经06为第1带，其中央经线为3E，东经612为第2带，其中央经线为9E，其余类推，我国位于东经72136之间，共包括11个投影带，即1323带，各带中央经线分别为75，81，135。带号n6与中央经线的经度L0的关系为： （对于东半球）利用上式可根据带号求中央经线的经度L0。若要根据带内某点以度为单位的经度L0求该点所在投影带的带号时，可利用下式，即： （对于东半球）3分带：从东经1.5开始，自西向东每隔3为一带，全球划分为120个投影带。我