高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13_5复数课件理苏教版

13 5复数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 复数的有关概念 知识梳理 1 定义 形如a bi a b R 的数叫做复数 其中a叫做复数z的 b叫做复数z的 i为虚数单位 2 分类 实部 虚部 b 0 b 0 a 0且b 0 3 复数相等 a bi c di a b c d R 4 共轭复数 a bi与c di共轭 a b c d R 5 模 向量的模叫做复数z a bi的模 记作或 即 z a bi a b R a c且b d a c b d a bi z 2 复数的几何意义 复数z a bi与复平面内的点及平面向量 a b a b R 是一一对应关系 Z a b 3 复数的运算 1 运算法则 设z1 a bi z2 c di a b c d R a c b d i ac bd bc ad i 2 几何意义 复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义 即 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 方程x2 x 1 0没有解 2 复数z a bi a b R 中 虚部为bi 3 复数中有相等复数的概念 因此复数可以比较大小 4 原点是实轴与虚轴的交点 5 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离 也就是复数对应的向量的模 考点自测 1 2016 全国乙卷改编 设 1 2i a i 的实部与虚部相等 其中a为实数 则a 答案 解析 1 2i a i a 2 2a 1 i a 2 2a 1 解得a 3 3 2 2016 泰州模拟 已知复数z满足 3 i z 10i i为虚数单位 则复数z的共轭复数是 答案 解析 1 3i 3 2016 南京一模 设i是虚数单位 若z cos isin 且其对应的点位于复平面内的第二象限 则 位于第 象限 z cos isin 对应的点的坐标为 cos sin 且点 cos sin 位于第二象限 答案 解析 二 答案 解析 原式 i3 i4 i1 i2 i3 i4 i 1 4 i2011 i2012 i2013 i2014 i2015 i2016 i2017 1 答案 解析 3 4i 题型分类深度剖析 题型一复数的概念 例1 1 2016 无锡模拟 若复数z 1 i m 2i i为虚数单位 是纯虚数 则实数m的值为 z m mi 2i 2 m 2 2 m i z为纯虚数 m 2 答案 解析 2 2 若z1 m2 m 1 m2 m 4 i m R z2 3 2i 则 m 1 是 z1 z2 的 条件 所以 m 1 是 z1 z2 的充分不必要条件 答案 解析 充分不必要 3 2016 天津 i是虚数单位 复数z满足 1 i z 2 则z的实部为 1 答案 解析 引申探究将本例 3 中的条件 1 i z 2 改为 1 i 3z 2 求z的实部 解答 解决复数概念问题的方法及注意事项 1 复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题 只需把复数化为代数形式 列出实部和虚部满足的方程 不等式 组即可 2 解题时一定要先看复数是否为a bi a b R 的形式 以确定实部和虚部 思维升华 跟踪训练1 1 2016 镇江模拟 若复数z满足 3 4i z 4 3i 则z的虚部为 答案 解析 2 2016 苏北四市调研二 已知复数z满足z2 4 若z的虚部大于0 则z 答案 解析 2i 设z a bi a b R b 0 则z2 a2 b2 2abi 4 因此a 0 b2 4 b 2 又b 0 b 2 z 2i 题型二复数的运算 命题点1复数的乘法运算例2 1 2016 四川改编 设i为虚数单位 则复数 1 i 2 答案 解析 1 i 2 12 i2 2i 1 1 2i 2i 2i 2 2016 全国乙卷改编 设 1 i x 1 yi 其中x y是实数 则 x yi 答案 解析 3 2015 课标全国 改编 若a为实数 且 2 ai a 2i 4i 则a 答案 解析 因为a为实数 且 2 ai a 2i 4a a2 4 i 4i 得4a 0且a2 4 4 解得a 0 0 命题点2复数的除法运算例3 1 2016 全国丙卷改编 若z 1 2i 则 答案 解析 i 2 2016 北京改编 复数 答案 解析 i 1 i 答案 解析 命题点3复数的综合运算例4 1 2016 山东改编 若复数z满足2z 3 2i 其中i为虚数单位 则z 答案 解析 设z a bi a b R 1 2i 答案 解析 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 1 复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算 可将含有虚数单位i的看作一类同类项 不含i的看作另一类同类项 分别合并即可 2 复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数 解题中要注意把i的幂写成最简形式 3 复数的运算与复数概念的综合题 先利用复数的运算法则化简 一般化为a bi a b R 的形式 再结合相关定义解答 思维升华 4 复数的运算与复数几何意义的综合题 先利用复数的运算法则化简 一般化为a bi a b R 的形式 再结合复数的几何意义解答 5 复数的综合运算 分别运用复数的乘法 除法法则进行运算 要注意运算顺序 要先算乘除 后算加减 有括号要先算括号里面的 跟踪训练2 1 2016 常州模拟 若i为虚数单位 复数z 1 2i 则 答案 解析 因为z 1 2i 所以z2 1 2i 2 3 4i i 答案 解析 答案 解析 题型三复数的几何意义 例5 1 ABC的三个顶点对应的复数分别为z1 z2 z3 若复数z满足 z z1 z z2 z z3 则z对应的点为 ABC的 答案 解析 由几何意义知 复数z对应的点到 ABC三个顶点距离都相等 z对应的点是 ABC的外心 外心 2 如图所示 平行四边形OABC 顶点O A C分别表示0 3 2i 2 4i 试求 解答 3 2i 2 4i 5 2i 解答 解答 B点对应的复数 即B点对应的复数为1 6i 因为复平面内的点 向量及向量对应的复数是一一对应的 要求某个向量对应的复数时 只要找出所求向量的始点和终点 或者用向量相等直接给出结论即可 思维升华 跟踪训练3已知z是复数 z 2i 均为实数 i为虚数单位 且复数 z ai 2在复平面内对应的点在第一象限 求实数a的取值范围 解答 设z x yi x y R z 2i x y 2 i 由题意得y 2 由题意得x 4 z 4 2i z ai 2 12 4a a2 8 a 2 i 解得2 a 6 实数a的取值范围是 2 6 典例 14分 已知x y为共轭复数 且 x y 2 3xyi 4 6i 求x y 解决复数问题的实数化思想 思想与方法系列26 规范解答 1 复数问题要把握一点 即复数问题实数化 这是解决复数问题最基本的思想方法 2 本题求解的关键是先把x y用复数的基本形式表示出来 再用待定系数法求解 这是常用的数学方法 3 本题的易错原因为想不到利用待定系数法 或不能将复数问题转化为实数方程求解 思想方法指导 解设x a bi a b R 则y a bi x y 2a xy a2 b2 3分 代入原式 得 2a 2 3 a2 b2 i 4 6i 5分 课时作业 1 2016 南通模拟 已知a 0 b 0 且 1 ai b i 5i i是虚数单位 则a b 答案 解析 由题意得 1 ai b i b a 1 ab i 5i 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2016 苏北联考 如果复数1 a i 3 a2i a R 成等比数列 那么a的值为 答案 解析 2 由题意知 a i 2 1 3 a2i 即a2 1 2ai 3 a2i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 由题图知复数z 3 i H 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2z 2i 2 z 1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 2016 新乡 许昌 平顶山调研 复数z1 z2满足z1 m 4 m2 i z2 2cos 3sin i m R 并且z1 z2 则 的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 化简得4 4cos2 3sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 已知0 a 2 复数z的实部为a 虚部为1 则 z 的取值范围是 由于复数z的实部为a 虚部为1 且0 a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 点 a b 在圆x2 y2 2外 答案 解析 点在圆外 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 复数 3 i m 2 i 对应的点在第三象限内 则实数m的取值范围是 z 3m 2 m 1 i 其对应点 3m 2 m 1 在第三象限内 故3m 2 0且m 1 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 已知集合M 1 m 3 m2 5m 6 i N 1 3 若M N 3 则实数m的值为 答案 解析 3或6 M N 3 3 M且 1 M m 1 3 m2 5m 6 i 3或m 3 m2 5m 6 0且m 1或m 3 解得m 6或m 3 经检验符合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x 2 2 y2 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 由根与系数的关系知 b 2 c 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 给出下列命题 若z C 则z2 0 若a b R 且a b 则a i b i 若a R 则 a 1 i是纯虚数 若z i 则z3 1在复平面内对应的点位于第一象限 其中正确的命题是 填上所有正确命题的序号 答案 解析 由复数的概念及性质知 错误 错误 若a 1 则 a 1 i 0 错误 z3 1 i 3 1 i 1 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又 a 5 a 1 0 a 5且a 1 故a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 若虚数z同时满足下列两个条件 z 是实数 z 3的实部与虚部互为相反数