建立一元二次方程解决几何问题

2 3用公式法求解一元二次方程 义务教育教科书北师版九年级上册 学校 教师 导入新课 说说下列关于x的方程中各项系数 1 知识回顾 3 a 9 b 2 c 导入新课 按配方法步骤解下列方程 把进一步计算你发现了什么 关于x的方程的解是由方程各项的系数的代数式组成的 如果把中的a b c用3 9 2来代替 你会发现什么呢 与用配方法求的方程的结果是一样 试一试 或 公式法 一般地 对于一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 老师提示 用公式法解一元二次方程的前提是 1 必需是一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 2 b2 4ac 0 你能用配方法解方程3x2 2x 1 0吗 原方程无解 解析 探究1 当b2 4ac 0时 原方程无解 用求根公式法解一元二次方程 1 2 解 2 解 把原方程化成一般形式 得 例3 解方程 x 2 1 3x 6 这里a 3 b 7 c 8 b2 4ac 7 2 4 3 8 49 96 47 0 原方程没有实数根 解析 去括号 x 2 3x2 6x 6 化简为一般式 3x2 7x 8 0 3x2 7x 8 0 用公式法解一元二次方程的一般步骤 3 代入求根公式 2 求出的值 1 把方程化成一般形式 并写出的值 4 写出方程的解 特别注意 当时无解 当时 方程有两个不相等的实数根 当时 方程有两个相等的实数根 当时 方程没有实数根 1 x2 7x 18 0 解 这里a 1 b 7 c 18 b2 4ac 7 2 4 1 18 121 0 即 x1 9 x2 2 用公式法解下列方程 2 解 化简为一般式得 这里a 4 b 4 c 1 b2 4ac 4 4 1 0 即 x1 x2 用公式法解下列方程 探究2 在一块长16m 宽12m的矩形荒地上 要建造一个花园 并使花园所占面积为荒地面积的一半 你能给出设计方案吗 探究2 我 小明 我的设计我做主 我的设计方案如图所示 其中花园四周小路的宽都相等 通过解方程 我得到小路的宽为2m或12m 你认为小明的结果对吗 为什么 你能将小明解答的过程重现吗 老师提示 在检验时 方程的根一定要符合问题的实际意义 否则 舍去 探究2 我的设计方案如图所示 其中花园每个角上的扇形都相同你能通过解方程 帮我得到扇形的半径x是多少吗 我 小亮 我的设计我做主 探究2 我的设计方案如图所示 其中花园是两条互相垂直的小路 且它的宽都相等 我 小颖 我的设计我做主 你能通过解方程 帮我得到小路的宽x是多少吗 典题精讲 如图 某中学准备在校园里利用围墙的一段 再砌三面墙 围成一个矩形花园ABCD 围墙MN最长可利用25m 现在已备足可以砌50m长的墙的材料 试设计一种砌法 使矩形花园的面积为300m2 典题精讲 解 设AB为xm 则BC为 50 2x m 根据题意得方程 x 50 2x 300 2x2 50 x 300 0 解得 x1 10 x2 15 当x1 10时50 2x 30 25 不合题意 舍去 当x2 15时50 2x 20 25 符合题意 答 当砌墙宽为15米 长为20米时 花园面积为300平方米 在今天这节课上 你有什么样的收获呢 有什么感想 课堂小结 1 一元二次方程当时了方程的根为 3 根的判别式 2 用公式法解一元二次方程的一般步骤 4 一元二次方程的在生活中应用 方案设计问题 课堂拓展 如图 某市近郊有一块长为60米 宽为50米的矩形荒地 地方政府准备在此建一个综合性休闲广场 其中阴影部分为通道 通道的宽度均相等 中间的三个矩形 其中三个矩形的一边长均为a米 区域将铺设塑胶地面作为运动场地 课堂拓展 1 设通道的宽度为x米 则a 用含x的代数式表示 2 若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米 请问通道的宽度为多少米 解 设通道的宽度为x米 则a 根据题意得 解得x1 2 x2 38 不合题意 舍去 答 中间通道的宽度为2米 1 已知关于x的一元二次方程x2 2x m 0 1 当m 8时 判断方程的根的情况 2 当m 8时 求方程的根 解 1 当m 8时 b2 4ac 22 4 1 8 4 32 28 0 原方程没有实数根 达标测评 2 当m 8时 原方程为x2 2x 8 0 即 x 2 x 4 0 x1 2 x2 4 2 解下列方程 1 x2 2x 8 0 2 9x2 6x 8 3 2x 1 x 2 1 3 不解方程判断下列方程根的情况 1 2x2 5 7x 2 4x x 1 3 0 3 x 1 3x 5 1 4 25x2 20 x 4 0 两个不相等的实数根 无实数根 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 达标测评 4 在一块长为16m 宽为12m的矩形荒地上建造一个花园 要求花园的占地面积是荒地面积的一半 如图是甲 乙两位同学的设计方案 请分别求出两种方案中小路的宽度 甲方案 在荒地四周修建等宽的小路 乙方案 在荒地中间修建等宽的 十字型 小路 达标测评 达标测评 解 甲方案 设小路宽xm 则得方程 16 2x 12 2x 16 12 解得 x1 2 x2 12 而矩形的宽为12m 若小路宽为12m 不符合实际情况 故x2 12m不合题意 故甲方案设计图中的道路的宽为