60数学与应用数学专业《近世代数》.doc

近世代数学位考试大纲教材：近世代数基础，张禾瑞编，人民教育出版社，1978年修订本总 体 要 求 考生应理解近世代数中群、循环群、n阶对称群、变换群、陪集、子群、不变子群的定义及其性质；了解环、域、理想、唯一分解环的定义；能够计算群的元素阶、n阶对称群中元素间的运算，环中单位元、可逆元、零因子、素元，多项式环中元素间的运算；会求理想的生成元；掌握子群、不变子群和子环的判别方法；掌握和利用群、环同态和同构基本定理；掌握最大理想的判别方法；理解唯一分解环的判别方法。应注意各部分知识结构及知识间的内在联系，应有抽象思维、逻辑推理、准确运算等能力。内 容1、基本概念1.1知识范围1. 集合 映射 一一映射 代数运算 结合律 交换律 分配律2. 同态 同构 自同构3. 等价关系和分类1.2、要求1. 理解集合，映射，结合律，交换律，分配律等概念2. 掌握代数运算的概念及其与映射的关系3. 掌握同态映射，同构映射和自同构的概念，理解两个具有同构关系的集合之间的关系4. 理解关系和等价关系的概念，了解等价关系和分类之间的转换定理2、群2.1、知识范围1. 群的定义，单位元，逆元，消去律2. 群的同态，循环群，变换群，置换群3. 子群，子群的陪集，不变子群，商群2.1、要求1. 掌握群，有限群，无限群，群的阶和变换群的概念2. 掌握群中元素阶的定义，会求给定元素的阶3. 理解群同态，同构的定义，掌握群同态基本定理及其应用4. 掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，会求一些特殊循环群的生成元5. 理解置换与置换群的定义性质，有限群与置换群的同构关系，会求相应的运算6. 掌握陪集，不变子群的定义，了解子群与陪集之间的映射关系，掌握子群、不变子群的判别方法7. 理解商群的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质3、环与域3.1、知识范围1. 加群，环的定义，交换律，单位元，零因子，整环，除环，域2. 无零因子环的特征，子环，环的同态，多项式环3. 理想，剩余类环，商域3.2、要求1. 掌握加群的定义，熟悉环的定义，环中的计算规则2. 掌握环中单位元、可逆元和零因子的定义，会求相应的元素3. 掌握整环的概念及其判别4. 理解交换环、子除环的概念5. 掌握子环的定义与判别法6. 掌握理想和主理想的定义、运算和判别7. 掌握剩余类环、多项式环的构成与运算8. 掌握环基本同态定理及其性质、应用9. 理解什么是最大理想，掌握最大理想的判别法10. 了解商域的构成4、整环里的因子分解4.1、知识范围1. 素元，唯一分解环，主理想环2. 多项式环的因子分解，因子分解与多项式的根4.2、要求1. 掌握整除、素元和不可约元2. 掌握唯一分解的定义，了解整环中的元是否都有唯一解3. 理解判别唯一分解环的方法4. 理解主理想环的概念，了解本原多项式的性质和本原多项式的唯一分解性试 卷 结 构试卷总分 100分考试时间 120分钟试卷题型比例填空题约30% 选择题约15% 计算题约15% 证明题约40%试卷难易比例容易题约30% 中等难度题约50% 较难题约20%附录 样卷例题一、选择题（从下列备选答案中选择正确答案）例 设GZ，对G规定运算o，下列规定中只有（ A ）构成群。(A) aob=a+b-2 (B) aob=a b (C) aob=2 a+3 b （“”为数的乘法）二、填空题例 设是12阶循环群，则的生成元集合为 三、计算题例 设有置换，。求和；解：，；四、证明题例在整数环上的一元多项式环中，证明：不是主理想证明：因为一元多项式环是有单位元