2013届高考理科数学总复习（第1轮）广西专版课件99棱柱

第九章直线 平面 简单几何体 棱柱 第讲 9 1 如果一个多面体有 互相平行 而其余每相邻两个面的 互相平行 这样的多面体叫做棱柱 两个互相平行的面叫做棱柱的 其余各面叫做棱柱的 两侧面的公共边叫做棱柱的 两个底面所在平面的 叫做棱柱的高 2 侧棱 底面的棱柱叫做斜棱柱 侧棱 底面的棱柱叫做直棱柱 底面是 的直棱柱叫做正棱柱 两个面 交线 底面 侧面 侧棱 公垂线段 不垂直于 垂直于 正多边形 3 棱柱的各个侧面都是 所有的侧棱都 直棱柱的各个侧面都 正棱柱的各个侧面都是 4 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 5 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是 6 底面是 的四棱柱叫做平行六面体 的平行六面体叫做直平行六面体 底面是 的直平行六面体叫做长方体 的长方体叫做正方体 平行四边形 矩形 全等的矩形 全等的多边形 平行四边形 平行四边形 侧棱垂直于底面 矩形 棱长都相等 相等 7 平行六面体的对角线 并且在 处互相平分 8 长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的 9 设直棱柱的底面周长为c 侧棱长为l则其侧面积S侧 10 设棱柱的底面积为S 高为h 则其体积V 交于一点 交点 平方和 cl Sh 1 如图 在斜三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 BC1 AC 则C1在底面ABC上的射影H必在 A 直线AB上B 直线BC上C 直线AC上D ABC内部解 由AC AB AC BC1 知AC 平面ABC1 从而平面ABC1 平面ABC 因此 C1在底面ABC上的射影H必在两面的交线AB上 A 2 如图 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面边长为 侧棱长为4 E F分别为棱AB BC的中点 EF BD G 则点D1到平面B1EF的距离为 A B C D 解 在对角面BDD1B1中 作D1H B1G 垂足为H D 因为平面B1EF 平面BDD1B1 且平面B1EF 平面BDD1B1 B1G 所以D1H 平面B1EF 所以点D1到平面B1EF的距离d D1H 方法1 在Rt D1HB1中 D1H D1B1 sin D1B1H 因为D1B1 A1B1 4 sin D1B1H sin B1GB 所以d D1H 方法2 因为 D1HB1 B1BG 所以D1HB1B D1B1B1G 所以d D1H 方法3 连结D1G 则 D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半 即所以 3 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 E F G H分别是棱CC1 C1D1 D1D DC的中点 N是BC的中点 点M在四边形EFGH的边及其内部运动 则M只需满足条件时 就有MN AC 解 本题答案不唯一 当点M在线段FH上时均有MN AC 点M与F重合 1 在直平行六面体ABCD A1B1C1D1中 已知 BDC1和 ACD1都是正三角形 求证 这个直平行六面体是正方体 证明 由已知BC1 DC1 BCC1 DCC1 90 CC1 CC1 所以 BCC1 DCC1 所以BC DC 从而底面ABCD为菱形 题型1判断或证明棱柱的类型 因为 ACD1为正三角形 所以AC AD1 又BC1 AD1 所以AC BC1 因为BD BC1 所以AC BD 从而底面ABCD为正方形 所以直平行六面体ABCD A1B1C1D1为正四棱柱 因为AC BC1 BC BC ABC C1CB 90 所以 ABC C1CB 所以AB CC1 故该直平行六面体为正方体 点评 棱柱 直棱柱 正棱柱等之间具有一定的包含关系 而正方体又是特殊的正四棱柱 判断或证明一个棱柱为特殊的棱柱 找齐定义中的条件即可 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 面对角线A1B与平面A1B1CD所成的角为30 求证 此四棱柱为正方体 证明 设AB a B1B b 过点B作BO B1C于O 连结A1O 由A1B1 平面BCC1B1 得BO A1B1 所以BO 平面A1B1CD 所以 BA1O 30 所以又因为BB1 BC BO B1C 所以 所以即 a b 2 0 则a b 即AB BB1 所以此四棱柱为正方体 2 如图 在斜三棱柱ABCD A1B1C1D1中 A1AC ACB AA1C 侧棱BB1与底面所成的角为 AA1 BC 4 求斜三棱柱的底面积和高 解 在Rt AA1C中 AC AA1 tan AA1C 4 所以S ABC 4 4 8 题型2棱柱中的有关计算 作B1H 平面ABC 垂足为H 则 B1BH 在Rt B1BH中 B1H BB1 sin B1BH AA1 sin 6 点评 棱柱的性质是解决棱柱有关计算的基础 而合理地将条件及所求转化到某些三角形中则是关键 空间中的计算问题大多是转化到一些三角形中 运用边角关系去解 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为 高为2 过点B作平行于棱AC的截面 使截面与底面成60 的二面角 求这个截面的面积 解 连结A1B C1B 取A1C1的中点D 连结BD B1D 则BD A1C1 B1D A1C1 由已知 B1D sin60 3 BB1 2 所以在Rt BB1D中 tan BDB1 所以 BDB1 60 从而截面与上底面A1B1C1相交 设分别与A1B1 C1B1相交于E F 交B1D于M 连结BM 因为A1C1 平面BEF 所以A1C1 EF 所以B1M EF BM EF 所以 BMB1为截面与底面所成的角 由已知 BMB1 60 在Rt BB1M中 在Rt B1ME中 EM B1Mtan30 所以EF 所以S截 EF BM 3 如图 斜三棱柱ABC A1B1C1中 两个侧面AC1和AB1的面积之比为5 8 它们所成的二面角为60 棱柱的侧面积为60cm2 体积为cm3 求棱柱的侧棱长 解 考虑斜三棱柱的一个直截面DEF 如图 因为DF AA1 DE AA1 所以 EDF为题中所述的二面角的平面角 即 EDF 60 题型3有关棱柱侧面积和体积的分析与计算 且 DF DE 5 8 设DE 8x DF 5x 则在 EDF中 由余弦定理得EF 7x 再设侧棱长为l 则有方程组解得l 6 即棱柱的侧棱长为6cm 点评 棱柱的侧面积 底面积及体积的计算是立体几何中常见的计算题 对一些常见结论须熟悉 如棱柱的体积等于底面积乘以高 也可是直截面 即垂直侧棱的截面 乘以侧棱长 三棱柱三个侧面面积满足余弦定理等 1 有两个面互相平行 其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 2 斜棱柱与直棱柱是并列概念 正棱柱是直棱柱的子概念 即 欲正先直 3 从集合观点分析 正方体 正四棱柱 长方体 直平行六面体 平行六面体 四棱柱 4 将一个多面体的各个面展开到同一个平面