高中数学第一章常用逻辑用语章末复习课课件北师大版选修2_1

第一章常用逻辑用语 章末复习课 学习目标1 理解命题及四种命题的概念 掌握四种命题间的相互关系 2 理解充分条件 必要条件的概念 掌握充分条件 必要条件的判定方法 3 理解逻辑联结词的含义 会判断含有逻辑联结词的命题的真假 4 理解全称量词 存在量词的含义 会判断全称命题 特称命题的真假 会求含有一个量词的命题的否定 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一命题及其关系 1 判断一个语句是否为命题 关键是 1 为 2 能 2 互为逆否关系的两个命题的真假性 相同 陈述句 判断真假 3 四种命题之间的关系如图所示 知识点二充分条件 必要条件和充要条件 1 定义 若p 则q 形式的命题为真命题是指 由条件p可以得到结论q 通常记作 p q 读作 p推出q 此时我们称p是q的充分条件 同时我们称q是p的必要条件 一般地 如果既有p q 又有q p 就记作p q 此时 我们说 p是q的充分必要条件 简称充要条件 2 特征充分条件与必要条件具有以下两个特征 1 对称性 若p是q的充分条件 则q是p的条件 2 传递性 若p是q的充分条件 q是r的充分条件 则p是r的条件 即若p q q r 则p r 必要条件和充分条件一样具有传递性 但若p是q的充分条件 q是r的必要条件 则p与r的关系不能确定 充分 必要 知识点三简单的逻辑联结词与量词 1 常见的逻辑联结词有 2 短语 所有 任意 每一个 等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词 3 短语 有一个 有些 存在一个 至少一个 等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词 4 含有全称量词的命题叫作命题 含有存在量词的命题叫作 命题 且 或 非 全称 特称 题型探究 类型一充分条件与必要条件 充要条件的探究 命题角度1充分条件与必要条件的再探究例1设甲 乙 丙三个命题 若 甲是乙的充要条件 丙是乙的充分条件 但不是乙的必要条件 则A 丙是甲的充分条件 但不是甲的必要条件B 丙是甲的必要条件 但不是甲的充分条件C 丙是甲的充要条件D 丙不是甲的充分条件 也不是甲的必要条件 答案 解析 由 得甲 乙 可以理解为丙是乙的充分条件 但不是乙的必然结果 即丙 乙 乙 丙 则丙是甲的充分条件 但不是甲的必然结果 若p q 则p是q的充分条件 q是p的必要条件 即q的充分条件是p p的必要条件是q 如果将 必要条件 理解为 必然结果 则可认为p的必然结果是q q是p的必然结果 则p q易表述为以下几种说法 p是q的不充分条件 q的不充分条件是p q是p的不必要条件 p的不必要条件是q 反思与感悟 跟踪训练1使a b 0成立的一个充分不必要条件是A a2 b2 0B loga logb 0C lna lnb 0D xa xb且x 0 5 答案 解析 设条件p符合条件 则p是a b 0的充分条件 但不是a b 0的必然结果 即有 p a b 0 a b 0 p A选项中 a2 b2 0 a b 0 有可能是alogb 0 0b 0 故B不符合条件 C选项中 lna lnb 0 a b 1 a b 0 而a b 0 a b 1 符合条件 D选项中 xa xb且x 0 5 当0 51时a b 无法得到a b与0的大小关系 故D不符合条件 命题角度2充要条件的再探究例2设数列 an bn cn 满足 bn an an 2 cn an 2an 1 3an 2 n 1 2 3 证明 an 为等差数列的充分必要条件是 cn 为等差数列且bn bn 1 n 1 2 3 证明 必要性 设 an 是公差为d1的等差数列 则bn 1 bn an 1 an 3 an an 2 an 1 an an 3 an 2 d1 d1 0 所以bn bn 1 n 1 2 3 成立 又cn 1 cn an 1 an 2 an 2 an 1 3 an 3 an 2 d1 2d1 3d1 6d1 常数 n 1 2 3 数列 cn 为等差数列 充分性 设数列 cn 是公差为d2的等差数列 且bn bn 1 n 1 2 3 cn an 2an 1 3an 2 cn 2 an 2 2an 3 3an 4 得cn cn 2 an an 2 2 an 1 an 3 3 an 2 an 4 bn 2bn 1 3bn 2 cn cn 2 cn cn 1 cn 1 cn 2 2d2 bn 2bn 1 3bn 2 2d2 同理有bn 1 2bn 2 3bn 3 2d2 得 bn 1 bn 2 bn 2 bn 1 3 bn 3 bn 2 0 bn 1 bn 0 bn 2 bn 1 0 bn 3 bn 2 0 由 得bn 1 bn 0 n 1 2 3 由此不妨设bn d3 n 1 2 3 则an an 2 d3 常数 由此cn an 2an 1 3an 2 4an 2an 1 3d3 从而cn 1 4an 1 2an 2 3d3 4an 1 2an 5d3 两式相减得cn 1 cn 2 an 1 an 2d3 数列 an 是等差数列 利用充要条件的定义证明问题时 需要从两个方面加以证明 切勿漏掉其中一个方面 反思与感悟 跟踪训练2设 an 是各项为正数的无穷数列 Ai是边长为ai ai 1的矩形的面积 i 1 2 则 An 为等比数列的充要条件是A an 是等比数列B a1 a3 a2n 1 或a2 a4 a2n 是等比数列C a1 a3 a2n 1 和a2 a4 a2n 均是等比数列D a1 a3 a2n 1 和a2 a4 a2n 均是等比数列 且公比相同 答案 解析 类型二等价转化思想的应用 例3已知c 0 设p 函数y logcx在 0 上是减少的 q 不等式x x 2c 1的解集为R 如果p和q有且仅有一个为真命题 求c的取值范围 解答 函数y logcx在 0 上是减少的 01的解集为R 函数y x x 2c 在R上恒大于1 函数y x x 2c 在R上的最小值为2c 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想 本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化 原命题与其逆否命题之间的等价转化等 即以充要条件为基础 把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式 从而使复杂问题简单化 具体化 反思与感悟 跟踪训练3已知命题p x 1 x 5 0 命题q 1 m x0 1 若p是q的充分条件 求实数m的取值范围 解答 由命题p x 1 x 5 0 解得 1 x 5 命题q 1 m x0 p是q的充分条件 1 5 1 m 1 m 实数m的取值范围为 4 2 若m 5 p或q 为真命题 p且q 为假命题 求实数x的取值范围 解答 m 5 命题q 4 x 6 p或q 为真命题 p且q 为假命题 命题p q为一真一假 解得 4 x 1或5 x 6 故实数x的取值范围是 4 1 5 6 类型三分类讨论思想的应用 例4已知关于x的方程 m Z mx2 4x 4 0 x2 4mx 4m2 4m 5 0 求方程 和 的根都是整数的充要条件 解答 当m 0时 方程 的根为x 1 方程 化为x2 5 0 无整数根 m 0 当m 0时 方程 有实数根的充要条件是 16 4 4m 0 m 1 方程 有实数根的充要条件是 当m 1时 方程 为x2 4x 4 0 无整数根 当m 1时 方程 为x2 4x 4 0 方程 为x2 4x 5 0 此时 和 均有整数根 综上 方程 和 均有整数根的充要条件是m 1 分类讨论思想是中学数学中常用的思想方法之一 利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点 这是因为 其一 分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点 有利于对学生知识面的考查 其二 解分类讨论问题需要有一定的分析能力 一定的分类讨论思想与技巧 因此有利于对能力的考查 其三 分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系 解决分类讨论问题的实质是 整体问题化为部分来解决 化成部分后 可以增加题设条件 这也是解分类讨论问题总的指导思想 反思与感悟 跟踪训练4已知p 2 q x2 ax x a 若綈p是綈q的充分条件 求实数a的取值范围 解答 又 q x2 ax x a x2 a 1 x a 0 当a1时 1 x a 设q对应的集合为A p对应的集合为B 綈p是綈q的充分条件 RB RA 即A B 当a1时 1 x a 要使A B 则1 a 3 综上 实数a的取值范围为 1 3 当堂训练 2 3 4 5 1 1 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是A 若一个数是负数 则它的平方不是正数 B 若一个数的平方是正数 则它是负数 C 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 D 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 依题意 得原命题的逆命题 若一个数的平方是正数 则它是负数 答案 解析 2 已知命题p 任意x R x3 x4 命题q 存在x R sinx cosx 则下列命题中为真命题的是A p且qB 綈p 且qC p且 綈q D 綈p 且 綈q 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 已知命题p 若x y 则 xy 则x2 y2 在命题 p且q p或q p且 綈q 綈p 或q中 真命题是 填序号 当x y时 xy时 x2 y2不一定成立 故命题q为假命题 从而綈q为真命题 由真值表知 p且q为假命题 p或q为真命题 p且 綈q 为真命题 綈p 或q为假命题 答案 解析 2 3 4 5 1 4 对任意x 1 2 x2 a 0恒成立 则实数a的取值范围是 由x2 a 0 得a x2 故a x2 min 得a 0 答案 解析 0 2 3 4 5 1 5 1 若p 两条直线的斜率互为负倒数 q 两条直线互相垂直 则p是q的什么条件 两条直线的斜率互为负倒数 两条直线互相垂直 p q 又 一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率为0 两条直线也垂直 q p p是q的充分不必要条件 解答 2 3 4 5 1 2 若p 3x 4 2 q 0 则綈p是綈q的什么条件 綈q x 1 x 2 綈p是綈q的充分不必要条件 解答 规律