高中数学 第二章 函数 2_4_1 函数的零点课件 新人教b版必修1

第二章 函数 2 4函数与方程2 4 1函数的零点 学习目标 1 理解函数零点的概念 2 会求一次函数 二次函数的零点 3 初步了解函数的零点 方程的根 函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 考查下列一元二次方程与对应的二次函数 1 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 2 方程x2 2x 1 0与函数y x2 2x 1 3 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 请列表表示出方程的根 函数的图象及图象与x轴交点的坐标 答案 预习导引 1 函数的零点 1 定义 一般地 如果函数y f x 在实数 处的值 即 则 叫做这个函数的 2 性质 当函数图象通过零点且穿过x轴时 函数值 两个零点把x轴分为三个区间 在每个区间上所有函数值 保持同号 等于零 f 0 零点 变号 2 二次函数零点与二次方程实根个数的关系 要点一求函数的零点例1求下列函数的零点 1 f x x2 2x 3 解 f x x2 2x 3 x 3 x 1 方程 x2 2x 3 0的两根分别是 3和1 故函数的零点是 3 1 2 f x x4 1 解 f x x4 1 x2 1 x 1 x 1 方程x4 1 0的实数根是 1和1 函数的零点为 1 规律方法函数零点的求法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程f x 0 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 跟踪演练1求函数y ax 1 x 2 的零点 解 1 当a 0时 令y 0得x 2 要点二函数零点个数的判断例2若函数f x ax2 x 1仅有一个零点 求实数a的取值范围 解 若a 0 则f x x 1为一次函数 易知函数仅有一个零点 若a 0 则函数f x 为二次函数 若其只有一个零点 则方程ax2 x 1 0仅有一个实数根 也可说成有两个相等的实数根 规律方法判断或求形如函数y ax2 bx c的零点时 首先对a分a 0和a 0两种情况讨论 然后对a 0的情况 利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况 即可判断函数零点的情况 跟踪演练2判断下列函数的零点个数 1 f x x2 7x 12 解由f x 0即x2 7x 12 0 得 49 4 12 1 0 方程x2 7x 12 0有两个不等的实数根 函数f x 有两个零点 在同一坐标系中画出h x 和g x 的图象知两图象只有一个交点 故函数有一个零点 即x3 1 0 x 0 x 1 即方程只有一个根 函数有一个零点 要点三函数零点性质的应用例3已知关于x的二次方程ax2 2 a 1 x a 1 0有两个根 且一个根大于2 另一个根小于2 试求实数a的取值范围 解令f x ax2 2 a 1 x a 1 依题意知 函数f x 有两个零点 且一个零点大于2 一个零点小于2 f x 的大致图象如图所示 解得0 a 5 a的取值范围为 0 5 规律方法解决此类问题可设出方程对应的函数 根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号 建立不等式 使问题得解 当函数解析式中含有参数时 要注意分类讨论 跟踪演练3已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的取值范围 解由已知抛物线f x x2 2mx 2m 1的图象与x轴的交点分别在区间 1 0 和 1 2 内 画出示意图 得 1 2 3 4 5 1 函数y x2 4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是 A 0 2 2B 2 0 2C 0 2 2D 2 0 2解析令x2 4 0 得x 2 故交点坐标为 2 0 所以函数的零点为 2 B 1 2 3 4 5 2 若函数f x 在定义域R上的图象是连续的 图象穿过区间 0 4 且方程f x 0在 0 4 内仅有一个实数根 则f 0 f 4 的值 A 大于0B 小于0C 等于0D 无法判断解析由题意可知 函数在零点左边和右边的函数值是异号的 所以f 0 f 4 0 B 1 2 3 4 5 3 如果二次函数y x2 mx m 3有两个不同的零点 则m的取值范围是 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 2 6 解析由题意 得 m2 4 m 3 0 即m2 4m 12 0 m 6或m 2 C A 0B 1C 2D 无数个 C 1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 5 若函数f x x2 ax b的零点是2和 4 则a b 解析 2 4是函数f x 的零点 f 2 0 f 4 0 2 8 课堂小结1 函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的 若方程没有实数根 则函数没有零点 反映在图象上就是函数图象与x轴无交点 如函数y 1或y x2 1就没有零点 2 判断函数的零点 可利用的结论 若函数y