高中数学第三章三角恒等变换3_1_1两角和与差的余弦课件苏教版必修4

3 1 1两角和与差的余弦 第3章 3 1两角和与差的三角函数 学习目标1 了解两角差的余弦公式的推导过程 2 理解用向量法导出公式的主要步骤 3 理解两角和与差的余弦公式间的关系 熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征 并能利用公式进行化简求值 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一两角差的余弦 思考1 cos 90 30 cos90 cos30 成立吗 答案不成立 答案 思考2 单位圆中 如图 P1Ox P2Ox 那么P1 P2的坐标是什么 的夹角是多少 答案P1 cos sin P2 cos sin 的夹角是 答案 思考3 由思考2 体会两角差的余弦公式的推导过程 答案在直角坐标系xOy中 以Ox轴为始边分别作角 其终边分别与单位圆交于P1 cos sin P2 cos sin 则 P1OP2 由于余弦函数是周期为2 的偶函数 所以 我们只需考虑0 的情况 则a b a b cos cos 另一方面 由向量数量积的坐标表示 有a b cos cos sin sin 所以cos cos cos sin sin C 答案 两角差的余弦公式cos C 梳理 cos cos sin sin 知识点二两角和的余弦 思考 你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗 答案能 cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 答案 两角和的余弦公式cos C 特别提醒 1 公式中的角 是任意角 特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数 cos cos 是一个整体 2 公式特点 公式右端的两部分为同名三角函数的积 连接符号与左边角的连接符号相反 可用口诀 余余 正正号相反 记忆公式 梳理 cos cos sin sin 题型探究 类型一给角求值问题 例1求下列各式的值 1 cos40 cos70 cos20 cos50 解答 解原式 cos40 cos70 sin70 sin40 解答 解答 反思与感悟 对非特殊角的三角函数式求值问题 一定要本着先整体后局部的基本原则 如果整体符合三角函数公式的形式 则整体变形 否则进行各局部的变形 一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式 化为正负相消的项并消项求值 化分子 分母形式进行约分求值 要善于逆用或变用公式 跟踪训练1求下列各式的值 1 cos 35 cos 25 sin 35 sin 25 解cos 35 cos 25 sin 35 sin 25 cos 35 25 cos 60 解答 解答 类型二已知三角函数值求值 解答 解答 引申探究 解答 0 cos cos cos cos sin sin 反思与感悟 1 在用两角和与差的余弦公式求值时 常将所求角进行拆分或组合 把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角 2 在将所求角分解成某两角的差时 应注意如下变换 2 等 解答 所以cos2 cos cos cos sin sin 类型三已知三角函数值求角 解答 由 得cos cos cos cos sin sin 反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤 1 求角的某一个三角函数值 2 确定角的范围 3 根据角的范围写出所求的角 解答 当堂训练 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 2 若a cos60 sin60 b cos15 sin15 则a b 解析a b cos60 cos15 sin60 sin15 cos 60 15 cos45 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 解答 以上两式展开两边分别相加 得2 2cos 1 cos2 cos cos cos sin sin 1 2 3 4 5 解答 1 给式求值 或 给值求值 问题 即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值 求另外一些角的三角函数值 关键在于 变式 或 变角 使 目标角 换成 已知角 注意公式的正用 逆用 变形用 有时需运用拆角 拼角等技巧 2 给值求角 问题 实际上也可转化为 给值求值 问题